结构力学复习要点-知识大纲.pdf

结构力学 大纲 总的说来，学习结构力学必须注意以下三个问题： 1、平面杆件体系的几何构成分析，只有具备了基本的几何构成分析能力，才会判断一个杆件系统是否结 构，是静定结构还是超静定结构，哪些是多余约束。几何构成分析是“搭”杆件，而结构计算是“拆” 杆件，知道怎样“搭”结构才能正确、简便地“拆”结构，计算结构内力和变形。 2、在结构力学的学习中必须牢固建立“平衡”的思想，使“平衡”成为一种潜意识，结构整体是平衡的， 任何一个结点、一个杆件、几个杆件的集合体都是平衡的，都可用截面法取出隔离体建立平衡方程。必 须熟练 地运用平面力系的平衡方程，平衡方程记住并不困难，重要的是熟练灵活地运用。 3、静定结构内力分析必须过关，并且比较熟练，静定结构的内力分析是最基本的技能。整个结构力 学一环扣一环，静定结构内力分析是静定结构位移计算的基础，而静定结构内力和位移计算又是力法的 基础，力法又是位移法的基础，位移法又是力矩分配法的基础，固定荷载下结构计算又是移动荷载下结 构计算的基础。 第一章 绪论 本章 复习内容 ： 结构、结构计算简图、铰结点、刚结点、滚轴支座、铰支座、定向支座、固定支座等基本概念 。 1、首先必须深刻理解结构、结 构计算简图的概念。 结构力学中的概念，都可在理解的基础上用自己的语 言表达，不必死记教材上的原话，所谓理解概念，就是弄清其目的、条件、实现目的的手段、适用场合 等。 结构是建筑物中承载的骨架部分 ，本课程研究的是狭义的结构，即杆件结构。 实际的结构是很复杂的，完全按照结构的实际情况进行力学分析是不可能的 （可以断言，即使许多年后 科学更发达， 100按照结构的实际情况进行力学分析仍然是不可能的！因为结构的复杂性是无穷尽的， 科学的发展是无止境的）， 也是不必要的 （次要因素的影响较小，抓住主要因素即可满足工程误差要求）。 因此 ， 对实际结构去掉不重要的细节，抓住其本质的特点，得到一个理想化的力学模型，用一个简化的 图形来代替实际结构，就是结构计算简图。 获得结构计算简图没有现成的公式可以套用 ，必须发挥研究者和工程师的智慧（正是在这点上体现他们 水平的高低），经过长期研究和实践，他们总结出以下 6 方面的简化要点 ： 结构体系的简化（ 由空间到平面 ）；杆件的简化（ 用轴线代替杆 ）； 杆件间连接的简化（ 结构内部结点的简化 ）； 结构与基础间连接的简化（ 结构外部支座的简化） ； 材料性质的简化（ 杆件材料物理力学特性的简化 ）； 荷载的简化（ 结构受外部作用的 简化 ） 2、对支座的位移限制、约束反力的认识非常重要，因为土木工程结构都是非自由体，不可避免要处理各 种支座。特将本课程中常见的 4 种支座归纳如下： 固定支座 （或固定端） 位移限制：最严格 0 vu 约束反力： 3 个分量 MYX , X Y M 第二章 平面杆件体系的几何构成分析 在绪论之后，第二章并没有一头扎进去计算各种结构 ，因为结构是多个杆件组成的系统，必须对此杆件 系统进行几何构成分析，是否能作为结构承载，若是结构，它是怎样 “搭 ”成的，为正确、简便地 “拆 ”结 构进行分析打下基础。正如前面所述， 本 章非常重要，是结构力学分析的重要基础。 本章 复习内容 ： 深刻理解几何不变体系、刚片、自由度、约束、瞬铰、多余约束、二元体、瞬变体系等基本概念，深刻 理解几何不变体系的组成规律； 熟练掌握用几何不变体系的组成规律对平面杆件体系作几何构成分析。 教材上的 “平面杆件体系的计算自由度 ”不作要求，可以不学。 1、首先必须深刻理解几个基本概念，这几个概念层层递进。 几何不变体系 ： 不计材料应变情况下，体系的位置和形状不变。 在几何构成分析中与荷载无关，各个杆件都是刚体。 去掉对转动的限制 去掉对某方向平动的限制 去掉对转动的限制 去掉对某方向平动的限制 铰支座 位移限制：平动位移为零 0vu 约束反力： 2 个分量 YX, X Y 定向支座 （也称滑动支座） 位移限制： 0v 0u 约束反力： 2 个分量 X M M Y 滚轴（链杆）支座 位移限制： 0v 0u 约束反力： 1 个分量 Y X 刚片 ： 形状不变的物体，也就是刚体。 在几何构成分析中 ，刚片的选取非常重要，也非常灵活，可大可小，小至一根杆，大至地基基础，皆可 视为刚片。 自由度 ： 体系运动时可以独立改变的坐标的数目。 在平面内，一点有 2 个自由度，一刚片有 3 个自由度。 约束 ： 减少自由度的装置。 一根链杆（或链杆支座）相当于 1 个约束； 一个铰（或铰支座）相当于 2 个约束， 注意两根链杆和一个铰在约束方面的功能完全可等同，可根据几 何构成分析的需要相互转换， 另外注意 瞬铰 的概念，两根链杆直接铰接在一点，该点可视为实铰， 两根 链杆延长后相交在一点，该点则是瞬铰， 一个瞬铰也相当于 2 个约束，两根链杆若平行，瞬铰在 平行方 向的无穷远处； 一个刚结点（或固定端）相当于 3 个约束。 多余约束 ： 增加一个约束，体系的自由度并不减少，该约束就是多余约束。 注意一个约束是否多余约束，必须视必要约束而定。只有必要约束确定后才能确定多余约束，不能直接 说哪个约束是多余约束。 2、必须深刻理解几何不变体系的组成规律。 教材上列出 4 个规律， 其实基本的规律只有一个，就是三角 形规律， 即小学数学就传授的 “三角形是稳定的 ”。 将其中 一根链杆视为刚片 将其中 两根链杆视为刚片 将其中 三根链杆视为刚片 注意两 刚片法则、三刚片法则中的铰与两根链杆可互相替换；注意二元体法则、两刚片法则、三刚片法 则中 “三铰不共线 ”、 “三链杆不互相平行或相交于一点 ”的条件，若不满足，则为瞬变体系。 3、给大家推荐几何构成分析的基本思路和步骤 若有基础，首先看基础以外部分与基础的联系数：等于 3，则只分析基础以外部分，若几何不变，则整 体几何不变，若几何可变，则整体几何可变；不等于 3，则须将基础作为一个刚片来分析； 观察是否有二元体，剔除所有的二元体； 从基本的刚片（特别是铰接三角形）出发，不断地扩大刚片，用两刚片法则或三刚片法则来分析，有 些 杆件较多的体系可能须多次运用两刚片法则或三刚片法则来分析。 在分析中，选刚片时要注意利用体系的对称性，另外所有的杆件必须用完，不能遗漏。 另外，做几何构成分析的习题，不必长篇大论，话不在多，在于说到点子上，推荐大家采用图解的方式， 简明扼要，如下例所示。 例题 1：分析下图体系的几何构成。 三角形规则 （三根链杆两两铰接形成三 角形，则几何不变，无多余联系。） 二元体法则（即 教材上的规律 1） 等价的说法： 连续增 加或去掉若干二元 体，不改变原来部分 的几何不变性。 两刚片法则（即教材 上的规律 1 和规律 4） 三刚片法则（即 教材上的规律 3） A C D B E F G 解：基础以上部分与基础用三根链杆相连，只分析基础以上部分， 第三章 静定结构的受力分析 本章计算 梁、刚架、三铰拱、桁架、组合结构 这 5 种静定平面结构的内 力，并画出必要的内力图，是结 构力学的另一重要基础。 要学好本章，首先必须建立以下认识： 千万不能轻视本章，认为静定结构的内力计算仍然是利用截面法和静力学的平衡方程，没什么新东西， 其实基本的东西就那么几点，记住几点基本的东西并不难，难就难在灵活自如地运用。 本章将从材料力学中单根杆内力计算过渡到杆件系统的内力计算，这是一个质的飞跃。完成这个过渡 的工具就是上一章的几何构成分析，计算 (“拆 ”)顺序与构造（ “搭 ”）顺序相反。 在本章中要深化对 “平衡 ”的认识，静定结构的内力计算就是始终与平衡打交道，结构整体 是平衡的， 任何一个结点、一根杆、一个局部都是平衡的，尤其是结点的平衡，有助于我们从一根杆过渡到另一根 杆计算内力，将各根杆串成杆件结构。 本章 复习 要求： 深刻理解： 轴力、剪力、弯矩、三铰结构、三铰拱、桁架、简单桁架、联合桁架、组合结构等基本概念； 由弯矩、剪力、载荷集度微分关系导出的杆件内力特点，多跨静定梁的几何构成与内力特点，刚架中刚 结点的平衡特点，刚架内力图的特点，梁和刚架、三铰拱与桁架、组合结构的内力（承载）特点； 熟练掌握： 截面法求指定截面的内力，分段叠加法画弯矩图，由弯矩、剪力、载荷集度微分关系画剪力 图，简单刚架、主从刚架、三铰刚架的内力计算， 桁架中零杆的判断， 结点法和截面法求桁架杆件的轴 力，静定组合结构的内力计算。 1、关于截面内力的定义 材料力学中定义了轴力、扭矩、剪力、弯矩等四种内力，在结构力学中基本上只涉及轴力、剪力、弯矩： 链杆（二力杆） 的任一截面只有 轴力 ， 以受拉为正（与材力中相同） ； 梁式杆 的任一截面有 轴力、剪力、弯矩 三种内力， 剪力以使隔离体顺时针转为正（与材力中相同） ,与材 力中 （使梁下部受拉为正） 不同，弯矩不规定正负号 （因为结力中有各种方位的杆）， 而是根据截面法求 出的弯矩判断哪侧受拉，在弯 矩图中画在受拉一侧 。 2、关于截面法 截面法是求所有平面结构 （不管何种承载方式、不管静定或超静定） 的指定截面内力的通用方法 。请大 家记住用 6 个字概括的截面法的 3 个步骤： 截开 ：用假想的截面（平面或曲面）将结构在指定截面处 完全 切开，取出一部分作为隔离体（研究对象）。 G F E B D C A N M 铰接三角形 ADC 作为刚片 铰接三角形 BDE作为刚片 链杆 FG 作为刚片 原体系几何 不变， 无多余联系 与 、 与 、 与 分别由铰 D、 瞬铰 M、瞬铰 N 相连，三铰不共线 三刚片法则 代替 ：先画出隔离体受到的已知荷载，再将去掉部分对隔离体的作用效果用相应的约束反力（支座反力 和内力）代替并画出，方向可假设，实际方向由求出的约束反力的正负号确定。 平衡 ：对隔离体列出平衡方程，求出内力。 3、由弯矩、剪力、载荷集度微分关系导出的杆件内 力特点 在材力中得到了 弯矩 M 、 剪力 Q 、 分布载荷集度 q 间的连锁微分关系： qdxdQQdxdM , 根据此关系，任一根杆（以水平杆为例）的内力图的特点可总结如下： 荷载情况 弯矩图特点 剪力图特点 无荷载作用 斜直线 水平直线 均布荷载 q 作用 二次抛物线，凸的方向与 q 方向相同 斜直线 集中力 P 作用 集中力作用截面处有尖点，尖的 方向与 P 的方向相同 集中力作用截面处有突变（台阶），从 x 正向看台阶升降方向与 P 的方向相 同，台阶升降值为 P 集中力偶 m 作用 集中力偶作用截面处有突变，突 变值为 m 集中力偶作用截面处仍然光滑 上表列出的特点有助于 速画及检查 弯矩图、剪力图，记住它们并不难，关键是时时处处熟练、灵活地运 用，要形成一种下意识的条件反射，看到某根杆的荷载情况，就在脑海中形成弯矩图、剪力图的形状。 4、关于分段叠加法画弯矩图 在材力中一般用列弯矩方程画弯矩图，在结构力学中禁止大家用列弯矩方程画弯矩图！ 因为结力中杆件 多、荷载复杂，用列弯矩方程画弯矩图将烦不胜烦，建议大家用 分段叠加法画弯矩图 ： 根据杆上荷载情况将杆分为若干段； 用截面法求控制截面（不同节段的过渡截面）的弯矩； 在轴线上将弯矩标在受拉一侧，然后分段连线： 对无荷载作用的区段，直接连实线， 对有均布荷载作用的区段，先用虚线连接，然后叠加上与区段长度相同的简支梁受均布荷载作用的抛物 线（注意是纵坐标的叠加，而不是图形的简单叠加）。 5、由弯矩、剪力、载荷集度微分关系画剪力图 与分段叠加法画弯矩图类似， 根据杆上荷载情况将杆分为若干段； 用截面法求控制截面的剪力； 在轴线上按正负号将剪力标在杆的两侧，然后分段连成实线。 一般地，从杆的一端开始，逐段推进，无荷载区段画与杆轴平行的直线，在集中力作用处用台阶过渡， 均布荷载区段 则求出两端控制截面的剪力，连成斜线。 6、多跨静定梁的 几何构成与 内力 特点 7、刚结点的 变形与 平衡特点 几何构成特点 ： 分级（基本部分，第一级附属部分，第 二级附属部分） 内力特点 ： 某一级上受荷载作用，在该级和高于该级的 部分才有内力，低于该级的部分无内力。 计算顺序 ： 与几何构造顺序相反，从低级到高级。 多跨静定梁的 A A ABM ACN ACM ACQ ABQ ABN 01S 02S 一个刚结点处可有多根杆刚结， 深刻理解刚结点的变形和平衡特点有助于后面位移法的学习与理解。 现 以两杆刚结点为例说明其变形和平衡特点。 刚结点的变形特点 （如右图所示）： 两杆在 A 端不能有 相对 移动和 相对 转动，只能有 整体的 线位移和转角， 变形前后两杆夹角不变 。 刚结点的平衡特点 （如下图所示）： 结构力学中的 结点不是一个纯几何点，而是一个小区域（用极限的思想理解，要多小有多小），因此 要将 A 结点取出作为隔离体，必须分别在 A 点偏左和偏下处切断两根杆。 结点与杆端有作用力和反作用力，满足牛顿第三定律。两根杆 A 端的弯矩、剪力、轴力是结点给予的， 相应地，结点受到两根杆 A 端的反作用，因此研究结点的平衡，就可将两杆 A 端的内力情况综合起来， 有助于从一根杆过渡到另一根杆。 杆端或结点的受力必须用两个下标，前一个下标表示结点，后一个下标表示杆的另一端（远端）。另 外，为了简便，结点与杆端间的作用力、反作用力在书写上不加区分，如上图中结点与水平杆 A 端的作 用力矩与反作用力矩都用 ABM 表示。 对结点，可列出平衡方程如下： 00 00 00 ABACA ACAB ACAB MMm NQY QNX 最后的力矩平衡方程中，轴力和剪力对 A 的力矩皆为零，因为结点区域是分别在 A 点偏左和偏下无穷 小处切断两根杆取出的。 对两杆刚结点，在无集中力偶作用时，两杆的 A 端同侧受拉。这点有助于快速地从一根杆的弯矩图过 渡到另一根杆的弯矩图。 8、三铰结构的支座反力 及内力计算 三铰刚架、三铰拱、三铰组合结构都是三铰结构，是由基础、基础以外的两个部分通过不在一条直线上 的三个铰两两相连，按三刚片法则组装起来的静定平面结构。 若与基础相连的两个铰等高，则可按 以下 顺序求支座反力和内力，作到一个方程解一个未知数： 先以整体为对象，求竖直支座反力； 再以基础以外的任一部分为对象，求水平支座反力及第三铰处反力。 9、桁架零杆的判断 在特定荷载作用下，桁架中内力为零的杆件称为零杆。 首先判断桁架的零杆，将有助于用结点法或截面法计算桁架。零杆的三种基本情况为： 两根杆汇交于一铰结点，结点上无外荷载，此两杆皆为零杆。 2S 1S 03S 1S 2S 03S 04S 因为结点平衡， 1S 和 2S 的合力为零， 因此 01S ， 02S 。 三根杆汇交于一铰结点，其中两根杆共线，结点上无外荷载，另外一根不共线的杆为零杆。 因为结点平衡，在垂直于共线的两根 杆轴线方向投影，因此 03S 对称桁架（支座、几何形状、荷载皆对称），对称轴上 K 形结点的两根斜杆为零杆。 在垂直于 1S 和 2S 的方向 投影， 0s ins in 43 SS 43 SS 根据对称性， 43 SS ， 因此 043 SS 。 10、静定组合结构的合理计算顺序 组合结构既有梁、刚架结构（全为受弯构件）的特点，也有桁架结构（全为轴向拉压构件）的特点。一 定要分清哪些是梁式杆，哪些是链杆。要根据体系的几何构成特点选择合理的计算顺序，选择合理的截 面，在计算出所有链杆轴力前 ，不要截断梁式杆。 一般顺序是：先求出支座反力；再用截面法切开两刚 片或三刚片的联系部分，求出约束反力；再用结点法，或取梁式杆整体为对象，求出其它链杆的轴力； 最后分析梁式杆的荷载，计算梁式杆的内力。 第 四 章 结构的 位移计算 本章起承上启下的作用，教材上内容比较庞杂，有些理论部分讲得有点深奥，建议大家按如下的标准学 习本章： 对理论推导和证明可不作要求，大家可根据自身基础酌情学习； 但对基本概念，基本原理的特点和适用范围等，公式的条件、适用范围、符号的含义一定要仔细、 深刻地理解； 对求刚 体体系、变形体体系位移的基本技能一定要熟练掌握，否则会影响下一章力法及以后结构动 力学课程的学习。 本章 复习 要求： 深刻理解： 位移、广义位移、刚体位移 、 弹性位移、虚功 等基本概念； 刚体体系虚功原理、虚位移原理、 虚力原理，变形体虚功原理，单位力法求荷载作用下静定结构位移的公式，图乘法的公式特点 ； 熟练掌握： 用虚力原理 求 支座移动时静定结构的位移， 图乘法求荷载作用下静定梁、刚架的位移 。 1、 关于位移的概念 结构位移计算的目的有两个，一是验算结构的变形是否符合要求，二是为超静定结构的计算作准备。 位移除常规的 角位移 （ 截面绕其对称轴转过的角度）、 线位移 （截面的形心沿某方向移动的距离）外，还 1 2 1P 2P 11 12 21 22 有 广义位移 或 相对位移 ，即某两个截面的相对转角或相对线位移。 若结构产生位移时，结构内部产生应变，杆的轴线弯成曲线，这种位移可称为 弹性位移 ；若结构产生位 移时，结构内部无应变，杆的轴线仍为直线，这种位移可称为 刚体位移 。 引起位移的因素包括 荷载作用、温度改变、支座移动、制造和装配误差 ，前两者使结构产生弹性位移（应 变），后两者只引起结构的刚体位移。 位移计算虽然是一个几何问题，但最好的解法并非几何方法，而是利用虚功原理。 2、 实功与虚功的概念 上面提到，结构位移计算的基本方法是利用虚功原理，整章基本上都在与虚功打交道，因此深刻理解虚 功的概念非常重要， 可以与实功对照着理解 。 大家在物理课程学过， 功就是力与在力的方向的位移的乘积， 若是常力直接相乘，若是变力则用积 分处理。仔细推敲功的概念就会发现，它只要求是同一点、同一方向的力与位移的乘积， 对此力和位移 是否有因果关系并未作要求， 因此就有两种情况： 如果做功的力与位移一一对应，有因果关系，该位移就是由该力引起的，这种功就称为实功， 如果做功的力与位移没有因果关系，即该位移与该力不相干（这是 完全可能的），它们只是在同一点、同 一方向，这种功就称为虚功，注意“虚”字在此并非不存在的意思，只是强调做功的力与位移独立无关。 下面举个简单的例子： 右图所示简支梁，先在 1 截面施加 荷载 1P （是指从零慢慢加至最终值）， 梁变形到绿线位置，然后在 2 截面 施加荷载 2P （在此过程中 1P 保持不变）， 梁最终变形至红线位置（为了演示清楚， 位移画得比较大，实际都是小变形）。在此例中有： 实功 11121 P ， 22221 P （此例中实功为变力做功） 虚功 121P 3、 刚体虚功原理的两种应用 刚体虚功原理 对于具有 理想约束 的刚体体系，设体系上作用 任意的平衡力系 ，又设体系 发 生 约束许可的无限小的刚体位移 ，则 主动力 在位移上所作的虚功之和为 零。 刚体虚位移原理：在上述刚体虚功 原理中，平衡力系是实际的、待求 的；而约束许可 的无限小的刚体位 移是虚设的。 刚体虚位移原理可用来求静定结 构的约束反力，因为某些静定结构 杆件比较多，取很多隔离体求某个 约束反力可能比较繁琐，因此可以 解除该约束，用约束反力代替，使 之变为主动力，原结构也变成了几 何可变的机构，约束许可的无限小 的虚位移的关系较易确定，列出虚 功方程求出反力。 刚体虚位移原理是机动法作影响 线的基础，必须掌握。 刚体虚位移原理的本质是用几何 手段求平衡问题。 刚体虚力原理：在上述刚体虚功原理中，平衡 力系是虚设 的；而约束许可的无限小的刚体位 移是实际的。 刚体虚力原理可用来求静定结构支座移动时发 生的刚体位移，因为直接找几何关系求结构某 位移可能比较复杂，因此可以在要求位移的方 向虚设单位力（因为虚设的力系只需满足平衡 条件，越简单越好），求出因虚设的单位力引起 的支座反力，列出虚功方程求出位移： i iicR （注意式中支反力与实际的支座位 移同向则乘积为正，否则为负） 刚体虚力理的本质是用平衡手段求几何（位移） 问题。 4、 对变形体虚功原理的理解 变形体虚功原理是整章的基础，可以把本章所有的内容串起来，因为刚体虚力原理也不过是其特殊情况。 对变形体虚功原理的 推导尽管不作要求，但对其本身及与其它原理、方法的关系的理解必须深刻： 变形体虚功原理： 虚设的力系，满足平衡条件，其它的支反力和内力皆由 虚设的单位力（与待求位移的地点和方向一致 ）引起 dNdQdMcR ii1 实际发生的位移， 是待求的结构某截面沿某方向的位移 变形体虚功原理的实质是外力的虚功之和等于内力的虚功之和 结构位移计算的一般公式： ii cRdNdQdM 适用性体现在：各种型式的结构（梁、刚架 ）；各种形式变形（拉压、剪切、弯曲）； 各种因素（荷载、温度改变 ）；静定和超静定结构；线弹性和非线性情况 荷载作用下结构位移计算公式： dsEANN dsGAQQkdsEIMM P PP 梁和刚架： dsEIMM P （不计剪切、轴向变形） （对曲杆结构用积分，对等截面直杆 结构用图乘法） 桁架： iP lEANN 组合结构： iPP lEANNdsEIMM （前一项对梁式杆求和，后一项对链 杆求和） 小变形、线 弹性情况 温度改变时结构 的位移公 式： dsMh t dsNt 0 注意公式右边每项 符号的判断 小变形情况 静定结构 支座移动、 制造和装 配误差下 的位移： i iicR 小位移情况 去掉多余约束，用多余未知力 1X 代替，就是 力法的基本未知量 满足平衡条件的 1X 有无数个 5、 图乘法应用的注意事项 基于单位力法的图乘法是求荷载作用下结构位移的最重要的方法，必须熟练掌握。 EIAydsEIMM P 0 教材上对图乘法已有详细说明和实例，请大家仔细学习。在此强调几点： 应用条件：等截面直杆。 M 和 PM 肯定至少有一个是直线图。 标距 0y 应取自直线弯矩图中， A 和 0y 在杆的同侧则乘积为正，否则为负。 对二次抛物线弯矩图，只需记住标准的二次抛物线面积公式 lhA 32 ，其它非标准的二次抛物线可分 解成直线和标准的二次抛物线的叠加。 对分段折线弯矩图必须分段考虑，对梯形弯矩图最好分解计算。 第 五 章 力法 力法是分析超静定结构的第一种典型的方法 ，它以前面的几何构成分析、静定结构的内力分析、静定结 构的位移计算三章为基础，同时又为位移法打下基础。前面的基础打好了，学习力法就比较轻松。学习 本章，首先 必须仔细琢磨、深刻理解力法的基本原理 ，若对力法基本原理的理解不深就盲目做题，总会 产生这样那样的困惑，就不能作到万变不离其宗，举一反三。 本章 复习 要求： 深刻理解： 超静定次数 、 柔度系数 、 对称结构 、 对称荷载 、 反对称荷载 等基本概念； 超静定次数的确定 原则，力法的基本原理，力法的三个“基本”（基本未知量、基本体系、基本方程），力法计算超静定结 构的标准步骤，超静定结构在 荷载作用下的内力与变形特点， 超静定结构在支座移动等因素作用下的内力与变形特点，对称结构在对称或反对称荷载作用下的内力与 变形特点。 熟练掌握： 判断超静定次数，确定多余约束， 用力法计算荷载作用下超静定梁、刚架的内力， 利用对称性取半边结构，简化力法计算， 支座移动情况下用力法计算超静定结构。 1、 关于结构的超静定次数与多余约束 正确判断超静定次数是用力法计算超静定结构的前提。教材上提到用公式确定结构的超静定次数， 建议 大家不用此方法，还是利用几何构成分析来确定超静定次数和多余约束 ，因为那两个公式并不太好应用， 容易出错，即使算出了超静定次数，还是要利用几何构成分析来确定多余约束。 判断超静定次数的基本原则： 去掉一根链杆支座或切断一根链杆，或在梁式杆中加入一个单铰，则去掉 1 个约束； 去掉一个铰支座或切断一个单铰，则去掉 2 个约束； 去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，则去掉 3 个约束； 要正确保留必要约束，不要把原结构拆成几何可变体系；另外要明确，一个超静定结构可以拆成多种 形式的静定结构，但去掉的多余约束的个数相同。 2、 深刻理解力法的基本原理 力法的基本原理和三个“基本”（基本未知量、基本体系、基本方程） 在 教材的第二节，通过一个典型的 一次超静定梁作了阐述。在此作图解式的说明： 要回到（忠实于）原结构须满足变 形协调条件： 01111 PX 就 是 力法的基本方程 即 满足平衡条件的 1X 有无数个， 满足平衡条件和变形条件的 1X 有且仅有一个 确定超静定次数，确定多余未知力 nXXX , 21 ，取基本结构 画基本结构的 1n 个弯矩图 Pn MMMM , 21 3、 深刻理解力法典型方程中每一个方程、每一项、每个符号的含义 n 次超静定结构的力法的基本方程是利用叠加原理导出的，无论结构是什么型式、力法的基本未知量 和基本体系怎么选取，其力法的基本方程均为此形式，也称 力法的典型方程 ： 0 0 0 2211 22222121 11212111 nPnnnnn Pnn Pnn XXX XXX XXX 或 0 PX 在深刻理解力 法基本原理的基础上，深刻理解力法典型方程中每一个方程、每一项、每个符号的含义后， 不管各种类型的考试中填空题、选择题、判断题、简答题等如何考查，都可在理解的基础上用自己的语 言解答，而不必死记硬背： 每个方程代表了某个多余约束处的变形条件，即基本体系在外载荷和所有多余未知力（基本未知量）共 同作用下该多余约束处位移为零； 每一项代表了基本体系在一个因素单独作用下某个多余约束处的位移； 柔度系数 ij 表示了基本体系在单位力 1jX 作用下沿 iX 方向产生的位移（附带说明： 柔度系数、自由 项皆有两个下标，第一个下标表示产生位移的地点，第二个下标表示产生位移的原因，可简称为“前地 点、后原因” ），柔度矩阵为对称矩阵（位移互等定理），主系数 ii 恒大于零； 自由项 iP 表示了基本体系在外载荷单独作用下沿 iX 方向产生的位移。 4、 力法计算超静定结构的标准步骤 大家在深刻理解力法的基本原理和典型方 程后，一定会觉得 力法是非常标准化、模式化、程序化的一种 方法 ，不论用力法计算何种型式的超静定结构（在荷载作用下），都可分为以下标准的五大步（以弯曲变 形体系为例）： 超静定结构 （原结构， 受外荷载作用） 静定结构 （ 力法的基本体系 ，或 基本结构 ） 受外荷载和多余未知力作用 起过渡的桥梁作用 用图乘法求柔度 ij （只需求柔度矩阵的对角线元素、上三角或下三 角部分）和自由项 ip 解 n 元一次线性方程组，求出基本未知量 nXXX , 21 利用叠加原理求超静定结构的弯矩 PiiPnn MMXMMXMXMXM 2211 5、 对称性的利用 对称结构在是指几何尺寸、支座、杆件刚度都关于某根轴线对称的结构，结构力学中对称结构是较常见 的， 在前面静定结构的分析中已处理过对称静定结构的内力和变形，细心的同学可能已总结过它们的特 点， 现在对荷载作用下的对称超静定结构，最好利用对称性简化力法的计算。 对称结构 的内力与变形特点总结： 对称结构受对称或反对称荷载作用，用力法计算，有两种处理方式： 选取对称的基本结构，在对称荷载作用下只考虑对称基本未知量，在反对称荷载作用下只考虑反对 称基本未知量； 沿对称轴切开结构，根据对称轴截面上的内力或位移特点，安上相应的支座，对任一个半边结构计 算，然后根据内力图对称性补齐成整体的内力图。 对称结构受非对称荷载作用，可将荷载分成对称和反对称两组（除非荷载分解很复杂），再利用对称 性计算。 6、 支座移动时用力法计算超静定结构 与荷 载作用下超静定结构的力法计算相比，支座移动时用力法计算超静定结构相对难些， 难点在于此时 力法的基本方程不标准，没有统一的形式 ，但基本方程中自由项的计算比前面简单得多。 取不同的基本体系，力法的基本方程差别较大。 一般来说，凡与基本未知量对应的支座位移参数都出 现在力法基本方程的右边项中，其他的支座位移参数都出现在力法基本方程的右边项中。 与前面荷载作用下超静定结构的内力、变形特点相反，支座移动（还有温度改变、制造和装配误差） 对称结构 受对称荷载作用： 变形正对称； 正对称性质的内力（弯矩、轴力）图正对称， 反对称性质的内力（剪力）图反对称； 对称轴截面上：反对称性质的内力（剪力）为零， 与正对称性质内力对应的位移（转角、轴向位移）为零。 受反对称荷载作用：结论与上相反 分析结构的变形，将结构拆成若干根互不联系的超静定杆（将结 点处的转角（刚结点）和独立线位移视为超静定杆的支座位移） 用力法计算各个超静定杆在外荷载、支座位移作用下的杆端弯矩， 建立杆端弯矩与结点位移的关系。此步中将导出一个适用于各种 方位、各种支座（结点）情况、各种荷载的杆件的杆端弯矩与外 荷载、支座位移的关系式，具体做题时直接套用此公式。 作用下，超静定结构的内力与各杆的 绝对刚度 有关，而位移与各杆的 相对刚度 有关。 7、 超 静定结构与静定结构的全面比较 学习了静定结构和超静定结构的内力和位移计算后，可以对两种类型的结构作一个全面的比较，以加深 对它们的理解。 结构类型 比较项目 静定结构 超静定结构 几何构成 特点 无多余约束 有多余约束，因此在地震等突发灾害不易倒塌 内力特点 荷载作用下内力由平衡方程唯一确 定，与各杆件的刚度无关 荷载作用下，内力不能由平衡方程唯一确定， 与各杆件的 相对 刚度有关 温度改变、支座移动、制造和装配 误差等因素不引起内力 温度改变、支座移动、制造和装配误差等因素 引起内力，与各杆件的 绝对 刚度 有关 内力分布不均匀，费材料 内力分布均匀，省材料 变形特点 荷载作用、温度改变情况下产生弹 性变形，与各杆件的 绝对 刚度有关 荷载作用、温度改变、支座移动、制造和装配误差等因素皆引起弹性变形，荷载作用下与各 杆件的 绝对 刚度有关，温度改变、支座移动、 制造和装配误差等因素作用下与 相对 刚度有关 支座移动、制造和装配误差等因素 引起刚体位移，与各杆件的刚度无 关 结构刚度小，变形大、不均匀 结构刚度大，变形小、均匀 第 六 章 位移法 位移法是结构力学中计算超静定结构（当然它还可用来计算静定结构）的另一种 非常典型的方法，它是 力矩分配法、分层法、反弯点法、 D 值法等渐进方法（专业课中使用较多）的基础，也是矩阵位移法、 有限单元法的基础，也是结构力学的精华和难点所在。与力法的序言中所述的相同，首先必须仔细琢磨、 深刻理解位移法的基本思想。 本章 复习 要求： 深刻理解 结点位移、弦转角、杆端弯矩、固端弯矩、刚度等基本概念；位移法的基本思想、基本未知量、 基本体系（结构）、基本方程，深刻理解位移法的杆端弯矩方程，深刻理解位移法建立平衡方程的两种方 法。 熟练掌握用 位移法的两种具体方式求解无侧移的连续梁和刚架，以及简单的有侧移刚架 的计算 。 1、 深刻理解位移法的基本思想与基本步骤 位移法的基本思想是“先拆后合”。 在拆开处综合各杆端的受力情况，利用平衡条件建立关于结点位 移的方程，求出结点位移，进而求出各杆的杆端弯矩、杆端剪力， 作出结构的内力图。 2、 深刻理解位移法中的符号约定 在位移法中要套用公式写杆端弯矩，因此符号约定（ 结点转角、弦转角、杆端弯矩一律以顺时针为正 ） 非常重要，在此对符号约定作以下说明： 结点转角、弦转角、杆端弯矩在未求出之前一律假设正号，实际的方向根据求出的量的正负号确定； 弦转角是什么含义？为什么要规定弦转角的符号？ 弦转角就是从杆的变形前的弦线到变形后的弦线所转过的角度，注意弦线与轴线有差 别，弦线是将杆件 的两端截面形心连成的直线，而轴线是杆的各个截面形心连成的。 杆的两端的支座线位移可能各种各样，但从力法的例 7 13 可知，只有 垂直于杆轴 的 相对 位移才引起杆 端弯矩。在小变形情况下，垂直 于杆轴的相对位移等于弦转角乘以杆的长度。 前面第三章中说，结力中弯矩不象材力中那样规定正负号，弯矩图上不标正负号，画在受拉一侧，为 何现在规定杆端弯矩以顺时针为正？ 其实并不矛盾，可以统一起来 3、 关于位移法的杆端弯矩方程 位移法的 杆端弯矩方程是为位移法的第二大步服务的，对每一根拆成的超静定杆，不必再原始地用力法 计算一遍，而是直接套通用的杆端弯矩的公式。 现对杆端弯矩方程作以下说明： 一根超静定杆的杆端弯矩包括：外载荷的贡献；支座位移（转角和垂直于杆轴的相对位移）的贡献。 可以用叠加原理写出总的杆端弯矩。 杆端弯矩的公式较多，可以总结如下： FABBAAB MliiiM 624 统一为 先假设杆端弯矩为正，写杆 端弯矩的表达式 根据平衡条件求出各杆端弯矩，可能有正有负 根据杆端弯矩正负号确定顺时针或逆时针 根据顺时针或逆时针确定受拉侧画出弯矩图 若给定弯矩图，由弯矩图定杆端 弯矩的受拉侧 根据受拉侧定顺时针或逆时针 根据顺时针或逆时针定正负号 FMliiiM 近远近近 624 近端转角 单独贡献 远端转角 单独贡献 外载荷的 单独贡献 垂直于杆轴相对 位移的单独贡献 FBABABA MliiiM 642 4、 关于位移法 中的固端弯矩 为了正确地写出杆端弯矩表达式中的固端弯矩，特作以下两点说明： 首先必须会确定写固端弯矩的计算模型。固端弯矩是对拆成的超静定杆件，仅考虑荷载作用、不考虑 支座移动时的杆端弯矩，因此确定固端弯矩模型的原则是： 结点位移（位移法的基本未知量）为零，支 座保留原状 。 对固端弯矩，建议 只记忆或在教材的表 8-1 查找其绝对值，其符号由变形图确定 ，因为表 8-1 中只给 出了水平方位的梁在几种荷载下的固端弯矩，不可能包含所有情况，而结构中的杆件有各种支座布局（如 左端链杆、右端固定）、各种方位、各种荷载情况。 如图 (a)，先勾画出变形图，有两个反弯点，第一个反弯点左边 向上凸、右边向下凸，第二个反弯点左边向下凸、右边向上凸， 向哪边凸一定是哪边受拉 ，因此杆的 A 端上边受拉，弯矩为 逆时针， B 端上边受拉，弯矩为顺时针， 12,12 22 qlMqlM FBAFAB (a) (b) 对图 (b)情况，类似地分析得到 12,12 22 qlMqlM F BAFAB 如图 (c)，先勾画出变形图， 只有一个反弯点， 反弯点左边向上凸，因此杆的 A 端上边受拉， 弯矩为逆时针， 163PlM FAB 远端固支 ： 0B FABAAB MliiM 64 FBAABA MliiM 62 远端铰支或链杆 ： 0BAM 由 0BA 消去 B ，故 FABAAB MliiM 33 远端滑动 ： 0,0 BAB Q 由 0BAQ 消 去 ，故 FABAAB MiM FBAAAB MiM P A B 反弯点 q A B 反弯点 反弯点 q A B 反弯点 反弯点 (c) 如图 (d)，先勾画出变形图，只有一个反弯点， 反弯点左边向下凸、右边向上凸， 因此杆的 A 端下边受拉，弯矩 为顺时针， B 端上边受拉，弯矩 为顺时针， 3,6 22 qlMqlM FBAFAB (d) 5、 关于位移法的基本未知量的判断 位移法的基本未知量数目刚结点转角数 +结点 独立 线位移数 结点独立线位移的判断是难点。 在不计杆件轴向变形（注意教材 P408的解释）的前提下 ，有两种手段判 断结点独立线位移： 勾画结构变形图或弦线图，根据变形图或弦线图确定结点独立线位移； 刚结点改铰结点法：将结构所有的刚结点（包括固定支座）改为铰结点 （因为刚结点的转角已作为位 移法的未知量） ，为使此铰接体系成为几何不变需要添加的最少的链杆数 （成为静定结构） 即为结点独立 线位 移数。 6、 关于位移法的基本体系 基于位移法的基本思想，有两种具体的做法： 直接取隔离体建立平衡方程，就是教材上第五节以前用的方式，这种方式是位移法的入门方法，优点 是简便、直观、易懂，缺点是不能象力法那样标准化、模式化、程序化，没有统一形式的平衡方程。 采用位移法的基本体系，就是教材上第五节讲述的，这种方法虽然不很直观易懂，但是非常标准化、 模式化、程序化，有统一形式的平衡方程，对以后学习力矩分配法、矩阵位移法、结构动力学也很有帮 助。 教材上第五节对此方法讲得很细致、很精彩，希望大家仔细学习、品味 ，加深理解和体会，熟练掌握 此方式。在此强调两点： 直接建立平衡方程和采用基本体系建立平衡方程本质上是相同的，即前面讲的“先拆后合”与此节的 “先锁后松”无本质差别； 与力法中一样，位移法的基本思路也是过渡法，过渡的桥梁就是基本体系，位移法也有三个基本（基 本未知量、基本体系、基本方程），也要深刻理解位移法基本方程的每个方程、每一项、每个符号的含义： 每个方程代表了一个平衡条件，即某个附加约束在荷载和支座位移作用下的总反力为零； 每一项代表了一个单独因素作用在某个附加约束中产生的反力； 刚度系数 ijk 表示了仅第 j 个附加约束发生单位位移时在第 i 个附加约束中产生的反力（仍然是“前地点、 后原因”），刚度矩阵仍为对称矩阵（反力互等定理），主系数仍恒大于零； 自由项 iPF 表示了外载荷单独作用下在第 i 个附加约束中产生的反力。 7、 位移法与力法的全面比较 学习了力法和位移法两种计算超静定结构的典型方法后，可以对两 种方法作一个全面的比较，以加深对 它们的理解。 方法 比较项目 力法 位移法 基本思路 过渡法，过渡桥梁为力法基本体系 过渡法，过渡桥梁为位移法基本体系 q A B 反弯点 基本未知量 多余未知力 结点位移 基本方程 变形协调条件 平衡条件 基本顺序 先考虑平衡条件（选基本未知量），再考 虑变形条件（求基本未知量） 先考虑变形条件（选基本未知量），再考虑变形条件（求基本未知量） 提出的时间顺 序 先 后，位移法站在力法的肩膀上 比较适用的结 构特点 结点较多而支座的超静定次数低 结点较少而支座的超静定次数高 适用的结构类 型 只能用于计算超静定结构（因为力法的基 本未知量是多余约束力） 能用于计算静定和超静定结构（因为位移 法的基本思想是“先拆后合”） 第 七 章 力矩分配法 力矩分配法的理论基础是位移法， 适用范围是连续梁和无侧移刚架 。它的特点是避免了解方程，单结点 力矩分配得到的是精确解，多结点力矩分配得到的是渐进解。 本章 复习 要求： 深刻理解： 转动刚度、分配系数 、 传递系数 、 锁紧结点 、 放松结点 等基本概念； 单结点、受结点集中力 偶作用情况的力矩分配过程与特点，单结点、受任意荷载作用情况的力矩分配过程与特点，多结点、受 任意荷载作用情况的力矩分配过程与特点。 熟练掌握： 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架的内力 。 1、 深刻理解力矩分配法的几个基本概念 转动刚度 ABS ：表示杆端对转动的抵抗能力（ A 端为施力端， B 端为远端），在数值上等于使杆端产生 单位转角时须施加的力矩。 远端自由 远端滑动 远端铰支 远端固定 0 3 4 i i i S AB 转动刚度与远端支承情况、杆的线刚度有关。 分配系数 Aj ：表示了结点 A 受外力矩作用时各杆 A 端分 担的抵抗弯矩的比例， 1, A AjA Aj AjAj SS 传递系数 AjC ：表示了传递到远端的弯矩与近端分配的弯矩的比值， 远端滑动 远端铰支 远端固定 1 0 2 1 AjC 传递系数仅与远端支承情况有关。 2、 深刻理解几种结点和荷载情况力矩分配法的关系 第 八 章 影响线 前面各章讨论的都是结构受固定荷载作用的内力和位移，要分析结构受移 动荷载（如吊车轮压、楼面上 的人群荷载、桥梁上的汽车轮压等）作用下的内力和位移则要利用影响线这个工具。本章只要求掌握静 定结构的内力影响线， 静定结构的内力影响线都是由分段直线组成的 。 要学好本章，必须把握两点： 一是深刻理解影响线的概念 ，若影响线的概念认识得不深入，遇到稍复杂 的静定结构的影响线，脑子就易产生各种混乱； 二是深刻理解影响线与固定荷载的内力图的既区别、又 联系的辩证关系 ，要认识到影响线与内力图不同，也要看到影响线其实也不是什么新东西，仍然要使用 静定结构内力分析的基本方法，因为移动荷载作用在结构上就是无限多 种固定荷载作用在结构上的情况 的集合。 本章 复习 要求： 深刻理解： 移动荷载、影响线 、 结点荷载 等基本概念； 静力法作影响线的特点，简支梁的支座反力、弯 矩、剪力的影响线，外伸梁的影响线、结点荷载作用下梁的影响线与简支梁影响线的关系，机动法作影 响线的特点。 熟练掌握： 静力法作单跨梁、外伸梁、多跨静定梁、结点荷载作用下的单跨梁的支座反力与内力的影响 线；利用影响线求固定荷载作用下静定梁结构的支座反力和指定截面的内力。 1、 深刻理解影响线与内力图的区别与联系 单位荷载在结构上移动时结构的某指定截面的量值（支座反力、弯矩、剪 力、轴力等）的变化规律的图 形就是影响线 ，它与固定荷载作用下结构的内力图的关系总结如下： 单结点、受结点集中力偶 M （顺时针为正）作用：最基本、最标准的力矩分配法， 近端（结点）的分配弯矩 MM AiAi 远端的传递弯矩 AiAiiA MCM 单结点、受任意外荷载作用：须借用位移法的基本体系中附加刚臂的思想，转化 成标准的力矩分配，包括以下三步， 锁紧 （实质是将任意荷载转化为结点荷载） FiAM ， FAiM ， A FAiA MM 放松（分配和传递） AiAiiA AAiAi MCM MM )( 综合 iAFiAiA AiFAiAi MMM MMM 多结点、受任意外荷载作用：借用位移法的基本体系中附加刚臂的思想，每次仅放松 一个结点、锁住其它结点，即转化为单结点、受任意荷 载作用的力矩分配，进行若干轮次后，各结点将趋于平 衡，综合开始的固端弯矩及各轮次的分配或传递弯矩即 为最终总的杆端弯矩的近似值。 类别 比较项目 内力图 影响线 横坐标 杆件的不同截面 单位荷载的不同作用位置 纵坐标 杆件的不同截面的内力值 与单位荷载的不同作用位置对应的同一截面的内力 荷载位置 不变 变化 考察的截面 变化 不变 影响线可视为将单位荷载作用在不同位置时结构的内力图中同一横坐标处的纵坐标取出而画成的图形； 内力图则可视为将结构的不同截面的内力影响线中与特定的单位荷载作用位置对应的内力取出而画成的 图。 2、 深刻理 解机动法作影响线的特点 用静力法作影响线时可能需取许多隔离体来列方程，尤其是对象多跨静定梁这样的杆件较多的结构。 实际上，静定结构的支反力和截面内力都可视为约束反力（支座反力是外部的约束反力，截面内力是内 部的约束反力），因此可解除与该支座反力或截面内力对应的约束，结构就成为机构，勾画出虚位移图， 此时机构上的主动力只有单位荷载与该支座反力或截面内力，虚功方程只有两项，就可方便地求出该支 座反力或截面内力的变化规律： )(1)( xxZ P Z 使机构沿 Z 的正方向发生虚位移，作出单位荷载作用点的虚位移图，即得到 Z 的影响线的轮廓，再令 1Z ，即可得到影响线图的纵坐标值。 机动法作影响线时注意两点： 使机构沿 Z 的正方向发生虚位移后，要画单位荷载作用点的虚位移（特别是象结点荷载作用的梁的某 个截面内力影响线的情况），最终由单位荷载作用点的虚位移图得到影响线。 横坐标以上的图形，单位荷载的虚功为负，影响线值为正；横坐标以下的图形 ，单位荷载的虚功为正， 则 Z 的虚功为负，影响线值为负。