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1 概率论第一课 一、 无放回类题目 例 1：盒子中有 4红 3白共 7个球，不用眼瞅，七个球摸起来是一样 的，现无放回的摸 4次，那摸出两个红球两个白球的概率是多少？ P= C 条件一总条件一取 C 条件二总条件二取 C 总取 P=C42C32C 74 例 2：隔壁山头共有 11只母猴儿，其中有 5只美猴儿、 6只丑猴儿， 在大黑天看起来是一样的。今儿月黑风高，我小弟冒死为我掳来 5只， 问天亮后，发现有 2只美猴儿、 3只丑猴儿的概率是多少？ P= C 条件一总条件一取 C 条件二总条件二取 C 总取 P=C52C63C 115 关于 Cnm 的计算： 2 二、 有放回类题目 例 1：盒子中有 5红 6白共 11个球，不用眼瞅， 11个球摸起来是一样的，现有 放回的摸 5次，那摸出两个红球三个白球的概率是多少？ 例 2：在小弟为我抓回的 5只母猴儿中，有 2美 3丑，每天我都随机挑一只母猴 儿来，为她抓虱子。就这样，过去了 101天，抓了 101次虱子，问这 101次中， 为美猴儿服务 50次、丑猴儿服务 51次的概率是多少？ 三、 需要画图的题目 例 1：已知 0x1， 0y)= = 1 2 例 2：已知 1x1， 1y1，求 x+y1的概率是多少？ P(x2 +y2 1)=S圆S 正 =124 =4 四、 条件概率 公式： P(B|A)=P(AB)P(A) 解释： 事件 A：掷一次骰子，朝上点数大于 3 事件 B：掷一次骰子，朝上点数是 6 P(B|A)：掷一次骰子，已知朝上点数大于 3，朝上点数是 6的概率 P(AB)：掷一次骰子，朝上点数是 6的概率 P(A)：掷一次骰子，朝上点数大于 3的概率 例 1：小明概率论考试得 80分以上的概率是 80%，得 60分以上的概率是 85%， 已知这次考试小明概率论没挂，那么小明得 80分以上的概率是多少？ 事件 A：小明得 60分以上 事件 B：小明得 80分以上 P(B|A)：小明得 60分以上时，小明得 80分以上的概率 P(AB)：小明得 80分以上的概率 P(B|A)=P(AB)P(A) =8085 =1617 例 2：某地区今年会发生洪水的概率是 80%，今明两年至少有一年会 发生洪水的概率是 85%，假如今年没有发生洪水，那么明年发生洪水 的概率是多少？ 事件 A：今年没有发生洪水 事件 B：明年发生洪水 P(B|A)：今年没有发生洪水的情况下，明年发洪水的概率 P(AB)：今年没有发生洪水，明年发生洪水的概率 4 P(B|A)=P(AB)P(A) =85 80180 =520 =14 五、 全概率公式 公式 ： A、 B等个体均可能发生某事 ， 则 P(发生某事 )=P(A 出现 )P(A 发生某 事 )+P(B出现 )P(B发生某事 ) 例 1：某高速公路上客车中有 20%是高速客车， 80%是普通客车 ，假设高速客车 发生故障的概率是 0.002，普通客车发生故障的概率是 0.01。求该高速公路上有 客车发生故障的概率。 P(有客车发生故障 ) =P(高速车出现 )P(高速车故障 )+P(普通车出现 )P(普通车故障 ) =20%0.002+80%0.01 =0.0084 例 2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴 博士与傻狍子的概率都是 50%，猴博士考核通过的概率是 100%，傻狍子考核通 过的概率是 1%，那么抽中的员工通过考核的概率是多少？ P(抽中的员工通过考核 ) =P(猴博士出现 )P(猴博士通过 )+P(傻狍子出现 )P(傻狍子通过 ) =50 100 +50 1 =50.5 六、 贝叶斯公式 公式 ： A、 B等个体均可能发生某事 ， 则 P(已知有个体发生某事时，是 A发生的 )=P(A出现 )P(A发生某事 )P(发生某事 ) 例 1：某高速公路上客车中有 20%是高速客车， 80%是普通客车，假设高速客车 发生故障的概率是 0.002，普通客车发生故障的概率是 0.01。求该高速公路上有 客车发生故障时，故障的是高速客车的概率。 P(有客车发生故障 ) =P(高速车出现 )P(高速车故障 )+P(普通车出现 )P(普通车故障 ) 5 =20%0.002+80%0.01 =0.0084 P(已知有客车发生故障，是高速客车发生的 ) =P(高速客车出现 )P(高速客车故障 )P(有客车故障 ) =20 0.0020.0084 = 121 例 2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个 考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是 50%，猴博士考核通过的概率 是 100%，傻狍子考核通过的概率是 1%，求抽中的员工通过考核时， 被抽中的员工是傻狍子的概率。 P(抽中的员工通过考核 ) =P(猴博士出现 )P(猴博士通过 )+P(傻狍子出现 )P(傻狍子通过 ) =50 100 +50 1 =50.5 P(已知有员工通过考核，是傻狍子通过的 ) =P(傻狍子出现 )P(傻狍子通过 )P(抽中的员工通过考核 ) =50 150.5 = 1101 概率论第二课 七、 已知 (x)与 (x)中的一项，求另一项 公式： fX(x)=FX(x) FX(x)= fX(x)dxx 6 例 1：设 X 的分布函数 FX(x) = 0， x 1 lnx， 1 x e 1， x e ，求 X 的密度函数 fX(x)。 fX(x)=FX(x)= 0， x 1 (lnx)， 1 x e 1， x e 0， x 1 1 ， 1 x e 0， x e 1 x， 1 x 2时， FX(x)= fX(x)dxx =1 当 0x2时 ， FX(x)= fX(x)dxx =x24+x 当 x0时， FX(x)= fX(x)dxx = 0dxx =0 FX(x)= 0， x 2 八、 已知 (x)与 (x)中的一种，求 P 公式： P(aXb)=FX(b)FX(a)= fX(x)dxba 例 1：设 X的分布函数 FX(x)= 0， x 1 lnx， 1 x e 1， x e ，求概率 P(x2 4) P(x24)=P(2x2) =FX(2)FX(2) =ln20 =ln2 例 2：设 X的密度函数 fX(x)= 1 2x+1， 0 x 2 0， 其他 ，求概率 P(1x2) P(10)， 求 a和 b。 FX(+)=1 a+be(+)=1 a+be=1 a+ be+=1 a=1 F上 (0)=F下 (0) 0=a+be(0) 0=a+be0 a+b=0 a = 1 a+b = 0 a = 1 b = 1 例 2：设 X的密度函数 fX(x)=ax+1， 0 x 20， 其他 ， 求常数 a。 fX(x)dx+ =1 fX(x)dx0 + fX(x)dx20 + fX(x)dx+2 =1 0dx0 + (ax+1)dx20 + 0dx+2 =1 0+2a+2+0=1 解得 a=12 十、 求 分布律 例 1：从编号为 1、 2、 3、 4、 5、 6的 6只球中任取 3只，用 X表示从中取出的最大号 码，求其分布律。 X可能的 取值为 3， 4， 5， 6 P(X=3)=C22C11C30C 63 =120 P(X=4)=C32C11C20C 63 =320 8 P(X=5)=C42C11C10C 63 =310 P(X=6)=C52C11C 63 =12 分布列： 十一、 已知 含有未知数的分布列 ， 求未知数 例 1： 已知分布列如下，求 k的值。 120+ 320+310+k=1 解得 k=12 概率论第三课 十二、 已知 X分布列，求 Y分布列 例 1：已知 X的分布列，求 Y=X2+1的分布列。 X 2 0 2 P 0.4 0.3 0.3 根据 X的所有取值 ， 计算 Y的所有取值 Y=(2)2 +1=5 Y=02 +1=1 Y=22 +1=5 将表格里 X那一列对应换成 Y Y 5 1 5 P 0.4 0.3 0.3 化简一下： Y 1 5 P 0.3 0.7 例 2：已知 X的分布列，求 Y=2X1的分布列。 X 3 4 5 6 9 P 1 20 3 20 3 10 1 2 根据 X的所有取值 ， 计算 Y的所有取值 Y=231=5 Y=241=7 Y=251=9 Y=261=11 将表格里 X那一列对应换成 Y X 5 7 9 11 P 1 20 3 20 3 10 1 2 也可以表示成： Y( 5 7 9 11 1 20 3 20 3 10 1 2 ) 十三、 已知 ()，求 () 例 1：设 X的分布函数为 FX(x)= 0， x 0 x2， 0 x 1 1， x 1 ，求 Y=2X的分布 函数。 写出 X=?Y Y=2X X=Y2 用 ?y替换 FX(x)中的 x，结果 为 FX(?y) FX (y2)= 0， y2 0 (y2)2， 0 y2 1 1， y2 1 判断 ?y中是否有负号 若无，则 FY(y)= FX(?y) 若有，则 FY(y)=1 FX(?y) FY(y)=FX (y2)= 0， y 0 y2 4 ， 0 y 2 1， y 2 10 例 2：设 X的分布函数为 FX(x)= 0， x 0 x2， 0 x 1 1， x 1 ，求 Y=X的分布 函数。 写出 X=?Y Y=X X=Y 用 ?y替换 FX(x)中的 x，结 果为 FX(?y) FX(y)= 0， y 0 (y)2， 0 y 1 1， y 1 判断 ?y中是否有负号 若无，则 FY(y)= FX(?y) 若有，则 FY(y)=1 FX(?y) FY(y)=1FX(y)= 1， y 0 1y2， 1 y 0 0， y 1 十四、 已知 ()，求 () 例 1：设 X的 密度 函数为 fX(x)=1， 0 x 10， 其他 ，求 Y=2X的 密度 函数 。 写出 X=?Y Y=2X X=Y2 用 ?y替换 fX(x)中的 x， 结果为 fX(?y) fX (y2)=1， 0 y 20， 其他 令 fY=(?y) fX(?y) fY=(y2) fX (y2)=12 fX (y2)= 1 2， 0 y 2 0， 其他 判断 ?y中是否有负号 若无，则 fY(y)=fY 若有，则 fY(y)=fY fY(y)=fY= 1 2， 0 y 0 0， x 0 P(a1 X 0 0， x 0 (1)P(X1000)= f(x)+1000 dx= 12000e x2000+1000 dx=e0.5 (2)P(1000X2000)= f(x)dx20001000 = 12000e x 200020001000 dx =e1+e0.5 十九、 符合正态分布，求概率 公式： P(a X b) = (b )(a ) P(X b) = 1(b ) 例 1：设随机变量 X服从正态分布 N(1.5,4)，求： (1)P(1.5X3.5)； (2)P(X3.5)。 其中 ： (0)=0.5， (0.75)=0.7734， (1)=0.8413， (2.25)=0.9878 =1.5， =4=2 (1)P(1.5X3.5)=(3.51.52 )(1.51.52 )=(1)(0)=0.3413 13 (2)P(X3.5)=(3.51.52 )=(1)=0.8413 二十、 正态分布图像 公式： 图像关于 对称 面积表示概率，总面积为 1 越小 ， 图像越陡 例 1： 例 2： 14 常见分布 的其他表示方法 均匀分布 Ua,b 二项分布 Bn,p 指数分布 E() 正态分布 N(,2) 例 ： X在 2,5上服从均匀分布，求 X的取值大于 3的概率。 即 XU2,5，求 X的取值大于 3的概率。 某种电子元件的使用寿 X(单位 :小时 )服从 = 12000的指数分布 即 某种电子元件的使用寿命 X(单位 :小时 )服从 XE( 12000) 概 率论第 五 课 二十一、 已知二维离散型分布律，求 ? 例 1： 已知 二维随机变量 X， Y的分布律 如下表 ： 求 ： (1)P(X=0)， P(Y=2) (2)P(X1， Y2) (3)P(X+Y=2) (4)X， Y的分布律 (5)Z=X+Y的分布律 解 ： (1)P(X=0)=0.2+0.1+0.1=0.4 P(Y=2)=0.1+0.2=0.3 (2)P(X1， Y2)=0.2+0.1=0.3 (3)P(X+Y=2)=0.1+0.3=0.4 (4) (5)P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.2 15 P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.3=0.4 P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=0.1+0.2=0.3 P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=0.1 二十二、 已知二维离散型分布律，判断独立性 公式：如果任意 xi， yi 均满足 P(X=xi， Y=yi)=P(X=xi)P(Y=yi) 那么 X、 Y相互独立 否则 X、 Y不相互独立 例 1： 已知 二维随机变量 X， Y的分布律 如下表 ： 请 判断 X、 Y的 独立性 。 例 2： 已知 二维随机变量 X， Y的分布律 如下表 ： X、 Y是相互独立的 ， 求 、 的值 。 16 1 6+ 1 9+ 1 18 + 1 3+ 2 9+ 1 9=1 二十三、 已知 F(x,y)， 求 f(x,y) 公式 ： f(x,y)= 2F(x,y) xy 例 1： 二十四、 已知 f(x,y)， 求 F(x,y) 例 1： 已知二维随机变量的联合密度函数 f(x,y)= 21 4 x 2y， x2 y 1 0， 其他 求 F(x,y)。 17 18 例 2： 已知二维随机变量的联合密度函数 为 ： f(x,y)=x+y， 0 x 1， 0 y 10， 其他 ， 求 F(x,y)。 19 20 二十五、 已知 F(x,y)， 求 P 公式 ： P(Xx0， Yy0)=F(x0， y0) 例 1： 二十六、 已知 f(x,y)， 求 P 例 1： 21 例 2： 22 二十七、 求 F(x,y)或 f(x,y)中含有的未知数 公式 ： F(+ , +)=1， F( , )=0， F(x , )=0， F( , y)=0 f(x,y)+ + dxdy=1 例 1： 23 例 2： 二十八、 求均匀分布的 f(x,y)与 P 公式 ： 例 1： 24 概率论第六课 二十九、 求边缘分布函数 公式： FX(x)=F(x,+)， FY(y)=F(+,y) 例 1： 三十、 求边缘密度函数 25 三十一、 判断连续型二维变量的独立性 公式： 例 1： 三十二、 已知 f(x,y)， Z=X+Y，求 (z) 公式： fZ(z)= f(x,zx)+ dx 例 1： 26 三十三、 已知 f(x,y)， Z=，求 (z) 公式： fZ(z)= f(yz,y)+ |y|dy 27 三十四、 已知 f(x,y)，且 X,Y相互独立， Z=max(X,Y)，求 (z) 公式： FZ(z)=FX(z)FY(z) 例 1：设随机变量 X， Y独立同分布，且 X的分布函数为 x3 +2x， 求 Z=max(X,Y)的分布函数 。 三十五、 已知 f(x,y)，且 X,Y相互独立， Z=min(X,Y)，求 (z) 公式： FZ(z)=11FX(z)1FY(z) 例 1：设随机变量 X， Y独立同分布，且 X的分布函数为 x3 +2x， 求 Z=minX,Y的分布函数。 概率论第七课 三十六、 求离散型的期望 E(X) 公式： E(X) = xipi 28 例 1：已知 一个工厂 一周获利 10万元的概率为 0.2，获利 5万元的概率为 0.3， 亏损 2万元的概率为 0.5，该工厂一周内利润的期望是多少？ X 10 5 2 P 0.2 0.3 0.5 E(X) = xipi = 100.2+50.3+(2)0.5 = 2.5（ 万元 ） 三十七、 求连续型的期望 () 公式： E(X) = xf(x) dx+ 例 1： 三十八、 已知 = ()， 求 () 公式：离散型 E(Y) = g(xi)pi，连续型 E(Y) = g(x)f(x)dx+ 例 1： 29 例 2： 三十九、 求方差 () 公式： D(X) = xi E(X)2 pi 离散型 D(X) = E(X2)E2(X) 连续型 /离散型 例 1： 例 2： 30 D(X) = E(X2)E2(X)= 2 3 ( 4 5)2= 2 75 四十、 根据 ()、 () 的性质进行复杂运算 公式： 例 1： 31 四十一、 ()、 () 与各种分布的综合题 公式： 例 1： 例 2： 概率论第八课 四十二、 Cov、 、 D相关类题目 公式： 32 例 1：已知 A=2X+Y， B=2XY， X与 Y相互独立， D(X)=D(Y)=1，试求 Cov(A,B)。 例 2：已知 D(X)=1， D(Y)=4， XY=0.5，试求 D(X+Y)。 33 四十三、 利用切比雪夫不等式求概率 公式： P|XE(X)|D(X)2 ( 为任意正数 ) 例 1： 四十四、 多项独立同分布，求总和怎样的概率 公式： 例 1： 34 例 2：