概率论第五章习题解答全.pdf

第五章习题解答1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和1920h的概率。解 设这16只元件的寿命为 iX ， 1,2, ,16i ，则 161 iiX X ，因为 ( ) 100iE X ， 2 2( ) 10000iD X 于是随机变量 16 161 12 1600 160040010000 16i ii iX n X XZ n 近似的服从 (0,1)N1600 1920 1600 1920 400 400XP X P 1600 0.8400XP 16001 0.8400XP 1 (0.8) 1 0.7881 0.2119 .2（1）一保险公司有10000个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额不超过2700000美元的概率；（2）一公司有50张签约保险单，每张保险单的索赔金额为 iX ， 1,2, ,50i （以千美元计）服从韦布尔分布，均值 ( ) 5iE X ，方差 ( ) 6iD X 求50张保险单索赔的合计总金额大于300的概率。解 （1）设每个投保人索赔金额为 iX ， 1,2, ,10000i ，则索赔总金额为 100001 iiX X 又 ( ) 280iE X ， 2( ) 800iD X ，所以， 索赔总金额不超过2700000美元的概率 2700000 1 270000P X P X 100001 280 10000 2700000 28000001 800 100 80000ii XP 100001 2800000 101 80000 8ii XP 100001 28000001 1.2580000ii XP 近似的服从 (0,1)N 即 2700000 1 ( 1.25)P X (1.25) 0.8944 （2） 300 1 300P X P X 501 50 5 300 2501 6 50 300ii XP 501 50 5 51 6 50 3ii XP 50 1 50 51 2.896 50ii XP 1 (2.89) 1 0.9981 0.0019 3、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立，且在（0.5，0.5）上服从均匀分布，（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？解 设每个加数的舍入误差为 iX ， 1,2, ,1500i ，由题设知 iX 相互独立同分布，且在（0.5，0.5）上服从均匀分布，从而0.5 0.5( ) 02iE X ， 2(0.5 0.5) 1( ) 12 12iD X (1)、记 15001 iiX X ，由独立同分布的中心定理有 1500 01 1251500 12X X 近似的服从 (0,1)N ，从而 | | 15 1 | | 15P X P X 1 15 15P X 15 151 125 125 125XP 15 151 ( ) ( )5 5 5 5 32(1 ( )5 2(1 (1.34) 2(1 0.9099) 0.1802 。 （2）、记 1n iiX X ，要使 | | 10 0.90P X ，由独立同分布的中心极限定理，近似地有| | 10 10 10P X P X 10 10 12 12 12XP n n n 102 ( ) 1 0.9012n 即 10( ) 0.9512n ，查表得 (1.64) 0.95 令 10 1.6412n ，解得 443n 。即最多可有443个数相加，可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90。4、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，圴方为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？解 设每只零件的重量为 iX ， 1,2, ,5000i ，由独立同分布的中心极限定理知50001 0.5 50005000 0.1ii X 近似地服从 (0,1)N 则 2510 1 2510P X P X 50001 0.5 5000 2510 25001 5000 0.1 50ii XP 50001 0.5 5000 101 5000 0.1 50ii XP 101 ( ) 1 (1.414)7.07 10.92070.0793。5、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取 100根，求其中至少有30要短于3m的概率。解 把从这批木柱中随机地取一根看作一次试验，并假定各次试验相互独立，在100次试验中长度不小于3m的根数记作X，则X 是随机变量X ，且 (100,0.8)X b ，其分布律为 100100 0.8 0.2k k kP X k C ， 0,1,2, ,100k 所求的概率为 70P X 由德莫弗拉普拉斯定理可求它的近似值100 0.8 70 100 0.8 70 100 0.8 0.2 100 0.8 0.2XP X P 80 10 16 16XP 80 5 4 2XP 51 ( ) 1 0.9938 0.00622 。 6、一工人修理一台机器要两个阶段，每一阶段需要时间（小时）服从均值为0.2的指数分布，第二阶段所需要的时间服从均值为0.3的指数分布，且与第一阶段独立。现有20台机器需要修理，求他在8小时内完成任务的概率。解 设修理第i（ 1,2, ,20i ）台机器，第一阶段耗时 iX ，第二阶段为 iY，则共耗时为i i iZ X Y 已知因为指数分布的数学期望为 ，方差 2 ，即 ( ) 0.2iE X ， ( ) 0.3iE Y ，2( ) 0.2iD X ， 2( ) 0.3iD Y ，又第一阶段和第二阶段是相互独立的，故( ) ( ) ( ) ( ) 0.2 0.3 0.5i i iE Z E X Y E X E Y 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0.2 0.3 0.13i i i i iD Z D X Y D X D Y 20台机器需要修理的时间由独立同分布的中心极限定理，20台机器需要维修的时间可认为近似地服从正态分布，即20 20 201 1 1201( ) 20 0.5 (10,2.6)20 0.13( )i i ii i iiiZ E Z Z ND Z 而所求概率 201 0.8iip P Z 8 10( )2.62 2( ) ( ) ( 1.24)1.61252.6 1 (1.24) 1 0.8925 0.1075 即不大可能在8小时内完成任务。（因为完成任务的可能性不到20%） 7、一家食品店有三种蛋糕出售，由于出售哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5。若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率。（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。解 设第i格为为 iX （ 1,2, ,300i ），其分布律由此得 ( ) 1 0.3 1.2 0.2 1.5 0.5 1.29 iE X （即平均收入）2( ) 1 0.3 1.44 0.2 2.25 0.5 1.713iE X 2 2 2( ) ( ) ( ( ) 1.713 (1.29) 0.0489i i iD X E X E X 以X表示总收入，即 3001 iiX X ，由独立同分布中心极限定理，得300 3001 1300 1.29 387 (387,14.67)300 0.0489 14.67i ii iX X N 则收入超过400元的概率为300 3001 1 400 1 400i ii iP X P X 3001 387 400 3871 14.67 14.67ii XP 400 3871 ( )14.67 131 ( ) 1 (3.39)3.83 1 0.9997 0.0003 。（2）以Y记300只蛋糕中售价为1.2元的蛋糕数，于是(300,0.2)Y b ， ( ) 300 0.2 60E Y （出售这种蛋糕的平均只数），( ) 300 0.2 0.8 4.8D Y (二项分布的方差) iX 1 1.2 1.5ip 0.3 0.2 0.5 售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率为 60 1 60P Y P Y 60 60 601 4.8 4.8YP 1 (0) 1 0.5 0.5 （即有50%的可能售出60只价格为1.2元的蛋糕。）8、（1）一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行过程期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。（2）一个复杂系统由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性（即部件正常工 作的概率）为0.9，且必须至少有80%的部件正常工作才能使整个系统工作，问n至少为多大时才能使系统的可靠性不低于0.95。解 （1）设正常工作的部件数为10iX ，第i个部件在整个运行期间工作，第i个部件在整个运行期间损坏（ 0,1,2, ,100i ），由题设知 iX （ 0,1,2, ,100i ）相互独立，且 1 0.9iP X ， 0 0.1iP X ，设 1001 iiX X ，则 (100,0.9)X b 。由德莫弗拉普拉斯定理知， 100 0.9100 0.9 0.1X 近似地服从正态分布 (0,1)N ，从而 85 1 85P X P X 100 0.9 85 100 0.91 100 0.9 0.1 100 0.9 0.1XP 5 51 ( ) ( ) (1.67) 0.95253 3 （2）设观察每个部件是否损坏为一次试验，记损坏的部件数为X ，则X 是一个随机变量，且 ( ,0.1)X b n ，由于当有20%的部件不工作时系统就不能工作，因此若设 0.2N n（取整数），则当正常工作的部件数 N 时，系统就不能正常工作。根据德莫弗拉普拉斯定理 0.1 0.1 0.9 0.1 0.9 0.1X n N nP X N P n n 0.1 0.1 0.3 0.3X n N nP n n 0.1( ) 1 0.95 0.050.3N nn 查表得 (1.65) 0.95 （由标准正态分布的对称性。），由于 0.2N n （取整数），故可以认为 0.1 0.1N n n ，令 0.1 0.1 1.650.3 0.3N n nn n ，有 4.95n ， 24.5n 即 当n至少为25时，才能使系统的可靠性不低于0.959、已知在某十字路口，一周事故发生数的数学期望为2.2，标准差为1.4（1）以X 表示一年（以52周计）此十字路口事故发生数的算术平均，试用中心极限定理求X 的近似分布，并求 2P X 。 （2）求一年事故数小球100的概率。解 （1）设该十字路口第i周发生事故次数为 iX ，则 iX （ 0,1,2, ,52i ）是相互独立的随机变量，已知 ( ) 2.2E X ，标准差 ( ) 1.4D X ，则方差 2 21.4 1.96 ，于是 iX 服从正态分布 2(2.2,1.4 )N ，由中心极限定理，2 21.4( , ) (2.2, )52X N Nn 。（见教材P122之（2.3）式）。 又 2.2 2 2.2 2 1.4 1.452 52XP X P 2.2 0.2 1.4 0.194152XP ( 1.03) 1 (1.03) 1 0.8485 0.1515 。（2）设 521 iiX X ，则 52 2.2 100 52 2.2 100 1.4 52 1.4 52XP X P 52 2.2 14.4 ( 1.43)10.0961.4 52XP 1 (1.43) 1 0.9236 0.0764 10、某种汽车氧化氮的排放量的数学期望为0.9g/km，标准差为1.9g/km某汽车公司有这汽车100辆，以X 表示这些汽车氧化氮排放量的算术平均值，问当L为何值时X L 的概 率不超过0.01。解 设每辆汽车的氧化氮排放量为 iX（ 1,2, ,100i ），则 iX 是相互独立的随机变量，且( ) 0.9iE X ， ( ) 1.9iD X ， 2 21.9 ，由中心极限定理知， 21.9(0.9, )100X N于是 1 P X L P X L 0.9 0.9 0.91 1 ( )0.191.9 100 1.9 100X L LP 令 0.91 ( ) 0.010.19L ，即 0.9( ) 0.990.19L 查表有 (2.33) 0.9901 令 0.9 2.330.19L ，得 1.3427L g/km11、随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室测量某种化合物的PH值，各人测量的结果是随机变量，且相互独立，服从同一分布，数学期望为5，方差为0.3。以X，Y分别表示第一组和第二组所得的结果的算术平均值。（1）求 4.9 5.1P X ； （2）求 0.1 0.1P X Y 解 因为 ( ) ( ) 5E X E Y ， 0.3( ) ( ) 80D X D Y （1） 由中心极限定理知X近似服从 (5,0.380)N ，于是4.9 5 5 5.1 54.9 5.1 0.380 0.380 0.380XP X P 0.1 0.1( ) ( )0.0612 0.0612 2 (1.63) 1 2 0.9484 1 1.8968 1 0.8968 。（2） 因为 ( ) ( ) ( ) 0E X Y E X E Y ， ( ) ( ) ( ) 0.3 40D X Y D X D Y 由中心极限定理知X Y 近似服从 (0,0.3 40)N ，故 0.1 0.1 0.1 0.1 0.340 0.340 0.340X YP X Y P 0.1 0.1( ) ( )0.340 0.340 0.12 ( ) 10.087 0.12 ( ) 1 2 (1.15) 10.087 2 0.8749 1 1.7498 1 0.7498 。12、一公寓有200住户，一户拥有汽车数X的分布分赴为X 0 1 2kp 0.1 0.6 0.3 问需要多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车邻六事鬼概率至少为0.95。解 设需要的车位数为n, 设第i（ 1,2, ,200i ）户有车辆数为 iX ，则( ) 0 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2iE X 2( ) 0 0.1 1 0.6 4 0.3 1.8iE X 2 2 2( ) ( ) ( ( ) 1.8 1.2 0.36i iD X E X E X 因为共有200户，各户占有车位相互独立，从而近似地有2001 (1.2,0.36)ii X N 所求概率为2001 0.95iiP X n ，即 2001 200 1.2 200 1.2 ( ) ( )200 0.36 72ii n nP X n 240( ) 0.958.49n 查表知 (1.65) 0.9505 0.95 ，令 240 1.658.49n ，解得 254n 由此知至少需要254个。 13、某电子器件的寿命（小时）具有数学期望（未知），方差 2 400 。为了估计，随机地取n只这种器件 ，在时刻 0t 投入测试（测试是相互独立的）直到失效，测得其寿命 1 2, , , nX X X ，以 11 n iiX Xn 作为的估计，为使 | | 1 0.95P X ， 问n至少为多少？解 由独立同分布中心极限定理， 2020X X nn 近似的服从 (0,1)N| | | 1 20 20X nP X P n ( ) ( )20 20n n 2 ( ) 120n 要使 | | 1 0.95P X ，即 2 ( ) 1 0.9520n ，亦即 ( ) 0.97520n 查表知 (1.96) 0.975 ，得 1.9620n ， 39.2n ， 1536.64n 故n至少为1537。14、某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率为0.8，医院任意抽查100个服用此药品的病人，若其中多于75人治愈，就接受此种断言。（1）若实际上药品对这种疾病的治愈率为0.8，问接受这一的概率是多少？（2）若实际上此药品的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？解 （1）设 X 表示服用此种药品而治愈的病人数，则 (100,0.8)X b ，此时( ) 100 0.8 80E X ( ) 100 0.8 0.2 16D X ， ( ) 4D X 由德莫弗拉普拉斯中心极限定理，X 近似的服从 ( , (1 ) 100 0.8,100 .8 0.2 (80,16)N np np p N N 若实际上药品对这种疾病的治愈率为0.8，接受接受这一断言，即 75X 75 1 75P X P X 80 75 801 4 4XP 80 51 44 100XP 1 (1.25) (1.25) 0.8944 （2）若实际上此药品的治愈率为0.7，接受这一断言即 75X ，而( ) 100 0.7 70E X ( ) 100 0.7 0.3 21D X ， ( ) 4.58D X 接受这一断言即 75X 75 1 75P X P X 70 75 701 4.58 4.58XP 1 (1.09) 1 0.8621 0.1379