资源描述
1 数学 物理方 程与特 殊函数 习题 练习一 1 写出 长为 L 的 弦振 动的边 界 条件 和初 始条 件： （1）端 点 L x x = = , 0 是 固定 的； （2）初 始状 态为 ) (x f ； （3）初 始速 度为 ) (x g ； （4）在 任何 一点 上， 在时刻 t 时 位移 是有 界的. 2 写出 弦振 动的 边界 条件： （1）在 端点 0 = x 处，弦 是移 动的， 由 ) (t g 给出； （2） 在端点 L x = 处， 弦不 固定 地自 由移动. 3 验证函 数 ) (xy f u = 是方程 0 = y x yu xu 的 解， 其中 f 是 任意 连续 可微 函数. 练习二 1. 证明 x e t x u t 2 sin ) , ( 8 = 是 如 下定 解问 题的解: 2 2 2 x u t u = ， 0 ) , ( ) , 0 ( = = t u t u ， x x u 2 sin ) 0 , ( = . 2. 设 F 、G 是二 次可 微函数 ， （1）证 明 ) 5 2 ( ) 5 2 ( ) , ( t x G t x F t x y + + = 是 方程 xx tt y y 25 4 = 的通解 ； （2）求 其 满足 条件 , 0 ) , ( ) , 0 ( = = t y t y x x y 2 sin ) 0 , ( = , 0 ) 0 , ( = x y t 的解. 3（ 1 ）求二阶偏微分方程 2 2 z xy xy = 的通解， （2 ）求该方程满足定解条 2 ( ,0) , (1, ) cos zx x z y y = = 的特解. 2 练习三 1. 求下 列固 有值 问题 的固有 值 和固 有函 数： () () 0 , (0) ( ) 0. X x Xx X Xl l += = = 2 求如 下定 解问 题的 解： = + = = = = . 0 ) 0 , ( , 2 5 sin 6 2 3 sin 3 ) 0 , ( , 0 ) , ( ) , 0 ( , 0 , 0 , 2 x u l x l x x u t l u t u t l x u a u t x xx tt 3. 求解 以下 定解 问题 ： 2 +2 , 0 1 , 0 , (0, ) (1, ) 0, ( ,0) 0, ( ,0) -2 sin . tt xx t uu u x t u t ut ux ux x = = ). ( ) 0 , ( , 0 ) , ( , 0 ) , 0 ( , 0 , 0 , 2 x l x x u t l u t u t l x u a u xx t 2. 求 下列 固 有值 问题 的固有 值 和固 有函 数： () () 0 , (0) ( ) 0. X x Xx X Xl l += = = 3. 求如 下定 解问 题的 解： 3 , 0 2, 0, (0, ) (2, ) 0, ( ,0) 4c o s . 5 4 t xx x xt t ut ux uu u x = = = = 练习五 1求下 列定 解问 题的 解： 0, 0 1, 0 1, (0, ) 0, (1, ) 0, ( ,0) 1 cos3 , ( ,1) 3cos2 . xx yy xx uu x y u y uy ux x ux x += u u 度， 试求 稳恒 状态 下该导 热 版的 温度 分布 规律 (, ) ur . 问题归结为在稳恒状态下，求解拉普拉斯方程 0 xx yy uu u =+= 边值问 题， 即在 极坐 标系 下求解 定解 问题 ： ( ) 2 12 22 1 20 11 0 , , 0 2 , ( , ) 0 , ( , ) , 0 2 , (, ) (, 2 ) . uu r r rr rr r r ur ur u ur ur + = = = = + 自然边界条件 3 求下 列定 解问 题的 解： 2 22 11 0 , 0 1 , 0 , 2 ( ,0) 0, ( , ) 0, 0 1, 2 (1, ) ( ), 0 . 22 uu rr rr r r ur ur r u + = = = = 练习六 4 1求解 如下 定解 问题 ： cos , (0 1, 0), (0, ) (1, ) 0, ( ,0) 0. t xx xx uu x x t u tut ux =+ = = = 2求解 如下 定解 问题 ： 2 sin , (0, ) ( , ) 0, 0, ( ,0) 0, ( , 0) 0, 0 . tt xx t x u au t l u t ult t ux u x x l = + = = = = 3 求下 列定 解问 题的 解： 22 22 1 2 , 1, 1. xx yy xy u u xx y u += += + = 练习七 1 求定 解问 题的 解： 2 , 0 , 0 , (0, ) 0, ( , ) 1, 3 ( ,0) sin , ( ,0) ( ). tt xx t u au x l t u t ult xx ux u x xl x ll = = = = += 2. 求定 解问 题的 解： 8 cos sin , 0 , 0, 2 (0, ) sin , ( , ) 0, ( ,0) 0. t t xx x x u u te x t ut t ut ux =+ + = = = 5 3. 求解 以下 定解 问题 ： +2 , 0 1 , 0 , (0, ) (1, ) 0, ( ,0) sin . t xx x x uu u x t u t ut ux e x = = = = 练习八 1 求定 解问 题的 解： 3 2 2 4 2 , 0 3, 0 (0, ) 1, (3, ) 18 , 0, ( ,0) (2 ), 0 3. x t xx x x uu e x t u t ut e t ux x e x = + = + 2. 求定 解问 题的 解： 32 6( 1), (0 2), (0, ) 0, (2, ) 1, ( ,0) sin 3 . 4 t xx x uu x x u t ut ux x x x x = = = = + 3 求定 解问 题的 解： 2 sin , 0 1, 0 1, (0, ) 1, (1, ) 2, 1 ( ,0) 1 , ( ,1) 1 sin . xx yy uu x x y u y uy ux x ux x x += = = =+ =+ 练习九 1 求特 征值 问题 的特 征值与 特 征函 数： = = = + ). ( ) ( ), ( ) ( , 0 l X X X X X X 2. 试证 明特 征值 问题 6 = = = + + . 0 ) ( ) 1 ( , 0 ) ( ) ( ) ( 2 e y y x y x y x x y x l 的固有 函数 系 ) ( x y n 在区间 , 1 e 上带 权函数 x 1 正交. 练习十 1设 一无 限长 的弦 作自 由 振动， 弦的 初始 位移 为 ) (x , 初始 速 度为 ) (x k ( k 为 常数), 求 此振 动在 时刻t 在 x 处的位 移 ) , ( t x u , 即求 如下 定解 问题的 解： 2 , , 0 , ( ,0) ( ), ( ,0) ( ). tt xx t u au x t ux x u x k x = + + = = = = ， 2. 求解 以下 三维 波动 方程的 Cauchy 问题： 2 ( ) , , , , 0 , ( , , ,0) , ( , , ,0) . tt xx yy zz t u a u u u xyz t u x y z yz u x y z xz = + = = 有界. 3设 , A 均为 常数, 用积 分变换 法 求解 下列 问题 ： 2 , 0, 0, ( ,0) ( ,0) 0, ( 0 ,) s i n , (,) ( ) . tt xx t u au x t ux u x u t A t uxt M x = = = = 练习十三 1用 积分 变换 法求 解下 列 定解问 题： 2 , 0 1 , 0 , (0, ) 0, (1, ) 0, ( ,0) cos3 , ( ,0) 0. tt xx xx t u au x t ut ut ux x u x = = = = = 2用 积分 变换 法求 解下 列 定解问 题： 2 , - , 0 , ( ,0) ( ). t xx u tu x t ux x = = 3. 用积 分变 换法 求解 定解问 题 ： 8 2 + , - , 0 , ( ,0) ( ). t xx u a u ku x t ux x = = 练习十四 1证明 二维 调和 函数 的积分 表 达式 ： = C 0 . 1 ln 1 ln 2 1 ) ( ds n u r r n u M u 2在 下半平 面 0 y 内 求解 拉普拉 斯 方程 的边 值问 0 0, , 0, (). xx yy y uu x y u fx = + = + = 3. 设A 为 常数 ，分 别用 分 离变量 法和 格林 法求 解如 下定解 问题 ： 11 0, 0 1, 2 (1, ) cos ( ). uu u r rr r r r uA + + = = 4. 设 , AB 为 常数 ，用 试探 法求如 下 定解 问题 的解 ： 11 0, , 2 cos sin ( ). u u u ra rr r r r u AB ra + = = + u 2 设 R K 表示以原点 为中心以 R 为半径 的球体, R 表示以 原点为中 心以 R 为半径 的球面. 若 R r 0 , 且u 满足 下面 的定解 问题: 9 0, ( , , ) , 1, 2, rR Rr u xyz K K uu = = = 证明： 在 Rr KK 内, 1 2. u ， 试 证明 解的唯 一性 （ 提示 ：用 格林 第一 公 式）. 5. u 是 3 内的 光滑 函数， 若 0 u ，则 称 u 是下调 和的 。 证明 以下 两 个命 题等 价： （1） u 在 3 内下调 和。 （2） 对 任意 闭球 面 r ， 0 r u dS n 成立，其 中 n 是 r 的单 位外 法向 量。 练习十六 1证明: (1) ); ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 0 1 0 x J x J x x J x xJ dx d = (2) + = . ) ( ) ( 2 ) ( 0 2 1 1 2 c x J x x xJ dx x J x (3) 20 0 () () 2 () ; Jx Jx J x = (4) 1 22 01 0 0 () () ( 1 ) () ( 1 ) () . nn n n x Jx d x x Jx n x Jx n x Jx d x = + 2设 0 u 为 常数 ， 求 解如 下定解 问题 ： 10 0 1 ( ), 0 1, 0 ( 1 ,) 0 , (,) ( 0 ) , ( ,0) . t rr r u ku u r t r u t urt M r ur u = + = = 当 3. 设 A 为 常数 ， 求解 如下 定 解问题 （用 固有 函数 展开 法） ： 2 1 ( ) , 0 1, 0 ( 1 ,) 0 , (,) ( 0 ) , ( ,0) 0, ( ,0) 0. tt rr r t u au u A r t r u t urt M r ur u r = + = = ). 0 (x 1 ) 0 , ( u , 3 cos u(x,0) 0) (t 0 t) (l, u 0, t) (0, u 0) t l, x (0 t x x 2 x l x u a u xx tt 四 （15 分 ）求 下述 有界弦 的 强迫 振动 问题 2 14 sin , (0 , 0) 2 (0, ) 3, ( , ) 6, ( 0) 4 ( ,0) 3(1 ), ( ,0) sin , (0 ). tt xx t x u au x l t l u t ult t xx ux u x x l ll = + =+ = = 六 （10 分 ）用 积分 变换法 求 无限 长杆 的热 传导 问题 2 , (- , 0), ( ,0) cos , ( 0). t xx u au x t ux x t = 12 七 （10 分） 利用 波动 方程 2 xx tt u a u = 的通解 公式 ) ( ) ( ) , ( at x g at x f t x u + + = 求无界 弦的 自由 振动 问题 2 22 -0 0 , (- , 0), | , | sin , (0 ). tt xx x at x at u au x t u x u xx xl = += = = = + = + = = = 由叠加 原理 可得 l x n t l a n b t l a n a a t b t x u n n n cos ) sin cos ( 2 1 2 1 ) , ( 1 0 0 = + + + = 代入初 始条 件得 解： l x l at t t x u 3 cos 3 cos ) , ( + = 。 四解 设 ) ( ) , ( ) , ( x w t x v t x u + = ， 3 3 4 sin 32 ) ( 2 2 2 + + = x l l x a l x w ,则 v 满足 2 2 2 , (0 , 0) (0, ) 0, ( , ) 0, ( 0) 44 ( ,0) sin , ( ,0) sin , (0 ). 32 tt xx t v av x l t v t vlt t lx x vx v x x l ll = = = 14 1 2 2 22 0 22 0 2 2 ( , ) ( cos sin )sin 4 24 sin sin d 32 32 0 4 4 24 sin sin d 4 0 4 ( , ) si 32 nn n l n l n n at n at n x vxt a b l ll l n l x nx ax a l al l n l n l x nx bx a n al l l n l uxt = = + = = = = = = = 2 2 43 4 4 4 n 3 ( cos sin )sin 32 4 x l at l at x x ll l a l l + + + + 五解 ) ( ) ( ) , ( t T r F t r u = ，代入 方程 得要 求 22 2 () () () 0 , () () 0 . rF r r F r rFr T t aTt l l + = += 由边界 条件 和有 界性 条件 + = | ) 0 ( | , 0 ) ( F R F 解特征 值问 题 22 () () () 0 . ( ) 0,| (0) | , rF r r F r rFr FR F l + = = + = ) 3 ( , 0 , 0 ) 0 , ( (2) 0, , 0 ) , ( ) , 0 ( ) 1 ( 0 , 0 , 2 x x u t t u t u t x B u a u xx t 四、(10 分)用行 波法 求解下 列 问题 ： 2 2 , , 0, ( ,0) sin , ( ,0) 4 , . tt xx x t u u xt x t u x x u x xe x = + = + y , x ） 上 的格 林函数 ， 并利 用此格 林函 数写 出下 列拉 普拉斯 方程 第一 边值 解的 形式 22 0, , 0, ( ,0) ( ), , (,)0 xx yy uu x y ux f x x uxy x y + = = + + + 当 时. 八、（ 10 分） 设u 在区域 3 R 内 调和 ， 以点 a 为球心 R 为 半径 的球 ) , ( R a B . 试证明 对任 何 R 0 ，如下 球平 均值公 式成 立： = ) ( 3 . ) , , ( 4 3 ) ( a B dxdydz z y x u a u 数学物理方程与特殊函数测试题（二）参考答案 一. 解: 对应 方程 的特 征方 程为 , 0 2 = + l r (1) 当 0 l 时,方 程通 解为 ) cos( ) sin( ) ( 2 1 l l C C X + = ,代入 定解条 件后 得 特征值 2 n n = l , 特征函数为 ) sin( ), cos( ) ( n n X n = , . , 2 , 1 = n （3 分） 所以特 征方 程的 特征 根为 2 n n = l , 0, 1, 2, . n = 特征函 数为 18 1, cos( ), sin( ); 1, 2, . (3 ) nn n = 分 . 二. 解: 由分 离变 量法 ，令 ) ( ) ( ) , ( t T x X y x u = ，代 入方 程（1 ）得特 征值问 题: 0 ) ( ) ( = + x X x X l , (0) ( ) 0. X Xl = = （5） 0 ) ( ) ( 2 = + t T a t T l (6) （5 分） 则(5) 特征 值为: 2 ) ( l n n l = ，对 应特 征函数 为: ) sin( ) ( x l n x X n = , ,. 2 , 1 = n . 将 n l 代入方程（6 ） ，得其通解为： ) l t a n sin( D ) l t a n cos( C (t) T n n n + = ， ,. 2 , 1 = n . 于 是， 得到 问题(1)-(4)的一系 列特 征解 ： = = ) ( ) ( ) , ( t T x X y x u n n n ) sin( ) cos( l t a n D l t a n C n n + ) x l n sin( , ,. 2 , 1 = n (5 分） 由叠加 原理 ，原 问题 的解 可表示 为： = = = = 1 1 ) , ( ) , ( n n n y x u y x u ) l t n sin( ) l t n sin( a D a C n n + ) sin( x l n . 由初始 条件(3) 和(4) 得： , 3 , 0 6 3 a l D D C n = = = 其余 0 = n D .故 原问 题的 解为： ) 6 sin( ) 6 cos( ) 3 sin( ) 3 cos( 3 ) , ( l x l at l x l at a l y x u = . (5 分) 三. 解: 由相 应的 特征 值问 题可知 ： = = 1 ) sin( ) ( ) , ( n n nx t u t x u (4) （5 分） 由傅立 叶变 换知: = = 1 2 ), sin( ) ) 1 ( 1 ( n n n B nx B (5) 将(4)(5) 代入 方程(1) 有: , 0 ) 1 ( 1 2 ) ( ) ( 2 2 = + n n n n B t u n a t u (6) 利用初 始条 件(3)得到: (0) 0. n u = (7) （5 分） 19 解(6)(7) 有: e ) ( n a B ) t ( u t n a n n 2 2 1 1 1 2 3 2 = , 所以原 问题 解为: = = 1 2 ) sin( 1 ) ) 1 ( 1 ( ) , ( 2 2 3 2 n t n a n n a B nx e t x u （5 分） 四. 解: 2 () 2 0 () 1 11 ( , ) sin( ) sin( ) 4 2 22 xt xt t xt x t uxt s t x t e d d d t t t xt x + + = + + 4 ) ( ) ( 12 1 cos sin 2 2 xt e e t x t x t x + + = + （5 分） ( 若用 积分 变换, 对比 给分). 五. 解 1: 记u 关于 y 的拉氏 变换为u , 对 方程 两边 作拉 氏变换, 有: , 1 1 ) , 0 ( , 1 1 2 s s s u s u s x + = = （5 分） 解此 常微 分方 程, 得: s s s x u 1 1 2 2 + + = , （3 分） 用逆拉 氏变 换, 得到 原方 程 的解为: . 1 ) , ( + + = y xy y x u （5 分） 解 2 记u 关于 x 的拉 氏变换 为 u , 对方 程两 边作 拉氏 变换, 有: , t t ) , t ( u , t y u t y 1 1 0 1 1 2 + = = （5 分） 解此 常微 分方 程, 得: t t t y u 1 1 2 2 + + = （3 分） 用逆 拉氏 变换, 得到 原方 程的解 为: . 1 ) , ( + + = y xy y x u （5 分） 六. 解: ) ( ) ( ) , ( t T r F t r u = ，代入 方程 得 0 ) ( ) ( , 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 = + = + + t T a t T r F r r F r r F r l l （5 分） 由边界条件和有界性条件 + = | ) 0 ( | , 0 ) ( F R F , 解特征值问题 + = = + + | ) 0 ( | , 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 F R F r F r r F r r F r l ) ( ) ( , ) ( ) 0 ( 0 2 ) 0 ( r R J r F R m m m m m m l = = , t R a m m m e a t T 2 ) 0 ( ) ( ) ( m = （5 分） 20 由叠加 原理 = = 1 ) 0 ( 0 ) ( ) ( ) , ( 2 ) 0 ( m m t R a m r R J e a t r u m m m ) ( ) ( ) ( 4 ) , ( ) ( ) ( 4 ) ( 2 d ) ( ) 1 ( ) 0 ( 0 ) ( 1 ) 0 ( 2 1 2 ) 0 ( ) 0 ( 2 ) 0 ( 2 1 2 ) 0 ( ) 0 ( 2 ) 0 ( 2 1 2 0 ) 0 ( 0 2 2 2 ) 0 ( r R J e J J t r u J J J R r r R J R r r a m t a R m m m m m m m m R m m m m m m m m m m m m m = = = = （5 分） 七 . 解 : 设上半平面内任意一点 ) y , x ( M 0 0 0 关于 0 = y 的对称点 ) y , x ( M ) y , x ( M 0 0 1 1 1 1 = ，因此 1 0 0 1 = = = y MM MM r r q ，从 而， 所求 格林 函数为: ) y y ( ) x x ( ln ) y y ( ) x x ( ln r ln ) r ln( ) M , M ( G MM MM 2 0 2 0 2 0 2 0 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 + + + = = （5 分） 2 0 2 0 0 0 0 1 y ) x x ( y y G n G y y + = = = = , 于是， 所求 问题 的解 为 . dx y ) x x ( ) x ( f y ds n G ) M ( f ) y , x ( u + + = = 2 0 2 0 0 0 0 1 （5 分） 八. 解: 由 球面 平均 值公式,有: ) ( 3 4 ) ( 4 ) ) , , ( ( . ) , , ( 3 0 2 0 ) ( ) ( a u dr a u r dr dS z y x u dxdydz z y x u a a B r = = = （5 分） 所以 = ) a ( B . dxdydz ) z , y , x ( u ) a ( u 3 4 3 （5 分） 21 数学物理方程与特殊函数测试题（三） 一、(10 分)设 l a, 是正 常数, 用分离 变量 法求解 定解 问题 2 , (0 , 0 (0, ) ( , ) 0, 35 ( ,0) 3sin( ) 5sin( ), ( ,0) 0. 22 tt xx x t u au x l t u t u lt xx ux u x ll = + = = = （ ） 六、 （15 分） 求如 下定 解 问题： 22 = = + = . 1 ) 0 , ( 0, ) 0 , ( , | ) (0, | , 0 ) (1, ) 0 , 1 (0 1 2 r r u r u t u t u t r u r u u t r rr tt 七、（ 15 分 ）用 试探 法和 格林函 数法 求解 如下 定解 问题： 6, ( , , 0), (, 0 ,) (, z ) . xx yy zz uuu x z y ux z f x + + = + = 八、（ 10 分 ）叙 述调 和函 数的极 值原 理， 并用 其证 明如下 方程 解的 唯一 性: (,) , (, ,) (, ,) . (, ,) u Fxyz x yz u f xyz xyz = = 数学物理方程与特殊函数测试题（三）参考答案 一. 解: 设 ) ( ) ( ) , ( t T x X y x u = ,带入方 程分 离 变量， 得到 下面 两个 常微 分方程 = + = + , 0 ) ( ) ( , 0 ) ( ) ( 2 t T a t T x X x X l l （2 分） 由边界 条件 得 . 0 ) ( ) 0 ( = = l X X 考虑 固有 值问题 ： = = = + . 0 ) ( ) 0 ( , 0 ) ( ) ( l X X x X x X l 其固有 值为 ： ,. 2 , 1 , 2 ) 1 2 ( 2 = = n l n n l ， 对 应 的固 有函 数为： . 2 ) 1 2 ( sin ) ( x l n x X n = （4 分） 将 n l 代入 另外 一个 常微 分方 程，得 其通 解为 ： t l a n t l a n T 2 ) 1 2 ( sin D 2 ) 1 2 ( cos C (t) n n n + = ， ,. 2 , 1 = n . （6 分） 由叠加 原理 ，原 问题 的解 可表示 为： 23 . 2 ) 1 2 ( sin 2 ) 1 2 ( sin D 2 ) 1 2 ( cos C ) , ( 1 n n = + = n x l n t l a n t l a n y x u 由初始 条件 得 = 0 , 5 , 3 n C ， 3 , 2 , 3 , 2 = = n n n . 0 = n D （9 分） 故原问 题的 解为 ： ). 2 5 sin( ) 2 5 cos( 5 ) 2 3 sin( ) 2 3 cos( 3 ) , ( x l t l a x l t l a y x u + = （10 分） 二. 解： 方程 所对 应的 固有函数系 为 = ,. 1 , 0 , cos n x l n ， （2 分） 设 = = 0 cos ) ( ) , ( n n x l n t u t x u ， = = 0 , cos ) ( cos n n x l n t f x l t （6 分） 由傅 里叶 级数 可知 = , 0 , ) ( t t f n . 1 , 1 = n n （8 分） 将级数 形式 代入 方程 得： 22 11 () ( ) () , () ( ) () 0 , nn a na u t u t tu t u t ll +=+= 1 n （10 分） 又由初 始条 件有 , 0 ) 0 ( = n u 解常微 分方程 得 , 0 ) ( = t u n , 1 n . 1 ) ( ) ( ) ( 2 2 ) ( 4 0 2 ) ( ) ( 1 t l a t t l a e a l t a l d e t u t t t = = （13 分） 故方程 的解 为： 24 . cos 1 ) ( ) ( , ( 2 ) ( 4 2 x l e a l t a l t x u t l a = （15 分） 三 解：设问 题的 解为 ), ( ) , ( ) , ( x w t x v t x u + = （2 分） 带入方 程得 x l w v a v xx xx tt 4 sin 16 ) ( 2 + + = ， 为使关 于 v 的方程 及边 界条 件为齐次 的， ) (x w 需 满足 = = = + . 2 ) ( , 1 ) 0 ( , 0 4 sin 16 2 l w w x l w a xx （6 分） 上面常 微分 方程 的解 为 ). 1 ( 4 sin ) ( 2 2 2 l x x l a l x w + + = （8 分） 因此， ) , ( t x v 满足 = = = = . 4 sin ) 0 , ( , 0 ) , ( ) , 0 ( , 2 2 2 2 x l a l x v t l v t v v a v xx t （10 分） 满足方 程及 边界 条件 的解 为 = = 1 ) ( , sin ) , ( 2 n t l a n n x l n e c t x v （12 分） 又由初 始条 件 = , , 0 2 2 2 a l c n , 4 , 4 = n n 所以 . 4 sin ) , ( 2 ) 4 ( 2 2 2 x l e a l t x v t l a = （14 分） 25 原问题 的解 为 ) ( ) , ( ) , ( x w t x v t x u + = ). 1 ( 4 sin . 4 sin 2 2 2 ) 4 ( 2 2 2 2 l x x l a l x l e a l t l a + + + = （15 分） 四解： + + + + + + = ) ( ) ( 0 2 1 2 1 ) sin( ) sin( 2 1 ) , ( t t t t t a x t a x t at x at x dyd a ydy a at x at x t x u （5 分） t t t d t tx at x at x t + + + + = 0 ) ( ) sin( ) sin( 2 1 （7 分） . 6 1 ) sin( ) sin( 2 1 3 t tx at x at x + + + + = （10 分） 或（ 3 6 1 cos sin t tx at x + + + = ） 五. 解: 记 ) , ( ) , ( t x u L s x U = ，对 方程 关于t 作 拉普拉 斯变 换， s U s U xx 1 2 = （4 分） 对边界 条件 作拉 普拉 斯变 换得 , 0 ) , 0 ( = s U ). ( , 0 ) , ( x s x U （6 分） 解方程 得 ). 1 ( 1 ) , ( 3 = s a x e s s x U （8 分） 取拉普 拉斯 逆变 换， 并利用 延 迟性 质得 = = , 2 1 , 2 1 ) , ( ) , ( 2 2 1 tx x t s x U L t x u . , 0 x t x t （10 分） 六. 解 设 ) ( ) ( ) , ( t T r F t r u = ，代 入方 程得 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 = + = + + t T t T r F r r F r r F r l l （5 分） 26 由边界 条件 和有 界性 条件 . | ) 0 ( | , 0 ) 1 ( + = F F 解特征 值问 题 + = = + + | ) 0 ( | , 0 ) 1 ( 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 F F r F r r F r r F r l ， 其固有 值和 固有 函数 为 ) ( ) ( , ) ( ) 0 ( 0 2 ) 0 ( r J r F m m m m m m l = = , （9 分） 将 n l 代入 另外 一个 常微 分方 程，得 其通 解为 ： ) sin( ) cos( ) ( ) 0 ( ) 0 ( t d t c t T m m m m m m m + = （10 分） 由叠加 原理 = + = 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) sin( ) cos( ) , ( m m m m m m r J t d t c t r u m m m ， 由初始 条件 得 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( 2 1 d ) ( ) 1 ( 0 ) 0 ( 2 1 3 ) 0 ( ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 ( 2 1 1 0 ) 0 ( 0 2 m m m m m m m m J J J r r J r r d c m m m m m m = = = （13 分） 故方程 的解 为 ). ( ) sin( ) ( ) ( ) ( 4 ) , ( ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 2 1 3 ) 0 ( ) 0 ( 2 r J t J J t r u m m m m m m m m m m m = = （15 分） 七 解：容 易得 到方 程的 一个特 解为 . 3 ) , , ( 2 * y z y x u = （形 式有 很多） （3 分） 令 * u u v = ， 则 v 满足 = = = ). , ( | , 0 0 z x f v v y （5 分） 设右半平面内任意一点 ) , , ( 0 0 0 0 z y x M 关于 0 = y 的对称点 111 (, ) Mxy = 10 00 (, ,) Mx yz ，因此 所求 格林 函数 为: 27 ) ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ( 4 1 ) 1 1 ( 4 1 ) , ( 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 1 0 z z y y x x z z y y x x r r M M G MM MM + + + + + = = （9 分） 2 / 3 2 0 2 0 2 0 0 0 0 ) ( ) ( 2 1 z z y x x y y G n G y y + + = = = = , （13 分） 于是， . ) ( ) ( ) , ( 2 1 ) ( ) , ( 2 / 3 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 + + + = = dxdz z z y x x z x f y ds n G M f z y x v ， （14 分） 原问题 的解 为 . 3 ) ( ) ( ) , ( 2 1 ) , ( 2 0 2 / 3 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 + + + + = y dxdz z z y x x z x f y z y x u ， （15 分） 八 解: 极值 原理 ： 若函 数在 内调和 ， 在 + 上连续 ， 且不为 常数 ， 则它 的最 大值和 最小 值只 能在 边界 上取得 。 （5 分） 假设 1 u ， 2 u 为 方程 的两个 解 ，则 2 1 u u v = 满足 = = . 0 | , 0 v v 由极值 原理 . 0 = v 所 以方 程的解 事 唯一 的。 （10 分） 28 数学物理方程与特殊函数测试题（四） 一 、 （15 分） 用分 离变量 法 求解 如下 定解 问题 2 , 0 2, 0, (0, ) (2, ) 0, 0, 3 ( ,0) 4 , ( ,0) 3sin , 0 2. 4 tt xx x t uu x t ut u t t x ux x x u x x = = = = = 二 、（ 15 分） 设 a 为正 常数， 求 以下 定解 问题 2 sin , 0 , 0, (0, ) 0, ( , ) 0, 0, 3 ( ,0) 0, ( ,0) sin , 0 . tt xx t x u au t x lt l u t ult t x ux u x x l l = + = = 三、 （15 分） 求以
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