《概率论》考研试题.pdf

2 0 0 5 -2 0 1 2 年 全国硕士研究生入学统一考试概率论与数 理统计部分 试题 2012考 研数 学 (三 )一、选择题 （ 7）设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从区间 (0,1)上的均匀分布 ，则 + 2 2 1 ( ) （ A） 14 （ B） 12 （ C） 8 （ D） 4 （ 8） 设 1 2 3 4X X X X， ， ， 为 来自总 体 N 2（ 1， ） （ 0） 的 简单随 机样本，则统计量 1 23 4| + -2|X XX X 的分布 ( ) （ A） N（ 0， 1） （ B） (1)t （ C） 2(1) （ D） (1,1)F二、填空题 （ 14） 设 , ,ABC是随机事件 ， ,AC互不相容 ， 1 1( ) , ( ) ,2 3PAB PC= = 则 ( C)P =_.三、解答题 （ 22）已知随机变量 X,Y以及 XY的分布律如下表所示： X 0 1 2 P 12 13 16 Y 0 1 2 P 13 13 13 XY 0 1 2 4 P 712 13 0 112 求（ 1） ( 2 )PX Y= ;（ 2） cov( , ) XYX YY 与 .（ 23）设随机变量 X和 Y相互独立，且均服从参数为 1的指数分布 ， m in(, ), =m ax(, ).V XYU XY=求（ 1）随机变量 V的概率密度 ； （ 2） ( )EUV+ . 2012数 学（ 一）一、 选择题 （ 7） 设随 机 变 量 X与 Y相 互独 立 ， 且分 别 服从 参 数 为 1与 参数 为 4的指数分布，则 = 。设 YXZ = ( )求 1 2, ,., nZZ Z的概率密度 ( )2,zf( )设 1,z 为来自总体 Z的简单随机样本，求 2的最大似然估计量 2( )证明 2 为 2的无偏估计量 . 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 年 考研 数学 （一 ）一、 选择题 (7)设 ( ) ( )xFxF 21 , 为两个分布函数 ， 其相应的概率密度函数 ( ) ( )xfxf 21 , 是连续函数，则必为概率密度的是 (A) ( ) ( )xfxf 21 (B) ( ) ( )xFxf 122(C) ( ) ( ) xFxf 21 (D) ( ) ( ) ( ) ( )xFxfxFxf 1221 +(8)设 随 机 变 量 X与 Y相 互 独 立 ， 且 EX与 EY存 在 ， 记 m ax ,U xy= , ,V xy= ,则 ( )EUV= YX (A)EUEV (B)EXEY (C)EUEY (D)EXEV三、解答题 (22) X 0 1 P 1/3 2/3 Y -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 ( ) 122 =YXP ,求：( ) ),( YX 的分布；( ) XYZ= 的分布；( ) XY .(23)设 nxxx , 21为来自正态总体 ( )20,N 的简单随机样本 ， 其中 0已知， 0 2 未知， x和 2S 分别表示样本均值和样本方差。 ( )求参数 2的最大似然估计 2( )计算 2( )E 和 2( )D . 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 年数学 （数三）一、选择题 (7)设 ( ) ( )xFxF 21 , 为两个分布函数 ， 其相应的概率密度函数 ( ) ( )xfxf 21 , 是连续函数，则必为概率密度的是 (A) ( ) ( )xfxf 21 (B) ( ) ( )xFxf 122(C) ( ) ( ) xFxf 21 (D) ( ) ( ) ( ) ( )xFxfxFxf 1221 +(8)设总体 X服从参数 ( )0 的泊松分布 ， ( )2, 21 nXXX n为来自总 体的简单随机样本，则对应的统计量 nni ini i XnXnTXnT 111,1 11211 += = (A) 2121 , DTDTETET (B) 2121 , DTDTETET (C) 2121 , DTDTETET (D) 2121 , DTDTETET 为概率密度 ,则 ,ab应满足(A) 2 3 4a b+ = (B)3 2 4a b+ =(C) 1a b+ = (D) 2a b+ =二、填空题 (14)设 随 机 变 量 X 概 率 分 布 为 ( 0,1,2, ),!CPX k kk= = =则 2EX= . 三、解答题（ 22） 设二维随机变量 ( )X Y+ 的概率密度为 2 22 2( , ) e , , ,x xy yf xy A x y + = 求常数及 A条件概率密度 | ( | ).YXf y x(23)设总体 X的概率分布为 X 1 2 3 P 1 2 2其 中 (0,1) 未 知 ,以 iN来 表 示 来 自 总 体 X的 简 单 随 机 样 本 (样 本 容 量 为 n)中等于 i的个数 ( 1,2,3),i = 试求常数 1 2 3, , ,aa a 使 31 i iiT aN= 为 的无偏 估计量 ,并求 T的方差 . 2009年 数 学 （ 三）一、选择题 （ 7）设事件 A与事件 B互不相容，则（）（ A） ( ) 0PAB= （ B） ( ) ( ) ( )PAB PAPB=（ C） ( ) 1 ( )PA PB= （ D） ( ) 1PA B =（ 8） 设随机变量 X与 Y相互独立 ， 且 X服从标准正态分布 )1,0(N ,Y的概率分布为 2110 = YPYP ，记 ( )zFz 为随机变量 XYZ= 的分布函数，则函数 ( ) zFz 的间断点个数为（）（ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 二、填空题 （ 14） 设 1 2, ,., mXX X为来自二项分布总体 B(n,p)的简单随机样本 ， _X和 2S 分 别 为 样 本 均 值 和 样 本 方 差 。 记 统 计 量 2T X S= ， 则 ET=_.三、解答题 （ 22） （本题满分 1 1 分） 设二维随机变量 ),( YX 的概率密度为 ( , ) 0e y xf xy 0 = -x 其 他 （ I）求条件概率密度 | ( | )YXf y x（ II）求条件概率 1| 1P X Y= （ 2 3 ） （本题满分 1 1 分） 袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现有放回的从袋中取两次 ，每次取一球，以 ZYX , 分别表示两次取球的红、黑、白球的个数。（ I）求 01 =ZXP（ II）求二维随机变量 ),( YX 的概率分布 . 2008年一、选择题 （ 7） 随机变量 ,XY独立同分布且 X分布函数为 ( )Fx ， 则 m ax ,Z XY=分布函数（ ） ( )A ( )2F x . ( )B ( ) ( )FxFy .( ) C ( ) 21 1 Fx . ( )D ( ) ( )1 1Fx Fy .（ 8）随机变量 ( ) 0,1X N ， ( ) 1,4Y N 且相关系数 1XY = ，则（ ）( ) A 2 1 1PY X= =. ( )B 2 1 1PY X= =.( ) C 2 1 1PY X= + = . ( )D 2 1 1PY X= + = .二、填空题 (14)设 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 1 的 泊 松 分 布 ， 则 2PX EX= = . 三、解答题 (22)（本题满分 1 1 分）设随机变量 X与 Y相互独立， X概率分布为 ( )1 1,0,13PX i i= = = ， Y的概率密度为 ( ) 1 0 10Y yf y = 其 它 ，记 Z X Y= + （ 1 ）求 1 02PZ X = . （ 2 ）求 Z的概率密度 .（ 23） （本题满分 1 1 分） 1 2, , , nXX X是总体为 2( , )N 的简单随机样本 .记 11n iiX Xn= ， 2 211 ( )1n iiS X Xn = ， 2 21T X Sn= （ 1 ）证 T是 2的无偏估计量 .（ 2 ）当 0, 1 = =时 ，求 DT.2007年 一、选择题 (9)某 人 向 同 一 目 标 独 立 的 重 复 射 击 ， 每 次 射 击 命 中 目 标 的 概 率 为 p )10( p ，则此人第次射击恰好第次命中的概率为 （ ）(A) 2)1(3 pp (B) 2)1(6 pp (C) 22 )1(3 pp . (D) 22 )1(6 pp (10)设 随 机 变 量 ( , )XY 服 从 二 维 正 态 分 布 ， 且 X与 Y不 相 关 ， )(),( yfxf yX 分别表示 X， Y的概率密度，则在 Y y= 的条件下， X的条件概率密度 )|(| YXf YX 为 （ ） (A) )(xfX (B) )(yfy (C) )()( yfxf yX . (D) )( )(yf xfYX 二、填空题 (16)在区间 (0,1)中随机地取两个数 ， 则这两个数之差的绝对值小于 1 2的概率为 . 三 、解答题(23)（本题满分 11分） 设二维随机变量 ( , )XY的概率密度为 2 , 0 1,0 1, ( , ) 0 x y x yf xy 2Y;( )求 z X Y= + 的概率密度 ( )zf z(24)（本题满分 11分） 设总体 X的概率密度为 1, 0 ,2 1( ; ) 1,2(1 ), 0 x f x x = 其 他 , 其 中 参 数 (0 1) （ B） ( ) ( ).PA B PB （ C） ( ) ( ).PA B PA = （ D） ( ) ( ).PA B PB =（ 14） 设 随 机 变 量 X服 从 正 态 分 布 21 1( , )N ， Y服 从 正 态 分 布 22 2( , )N ，且 1 2| | 1 | | 1,P X PY 则（ ） （ A） 1 2. （ C） 1 2. 三、解答题 （ 22） 随机变 量 x的概率 密度为 ( ) ( )2 1, 1 02 1,0 2 , ,4 0,x x f x x y x Fxy = = 令其 他 为 二维随机变量 ( , )XY的分布函数 .( )求 Y的概率密度 ( ) Yf y ( ) 1,42F （ 23） 设总体 X的概率密度为 ( ) ( )0 1,0 1 1 2 0 10 xFX x = 其 中 是 未 知 参 数其 它 , 1 2 n, .,XX X 为 来 自 总 体 X的 简 单 随 机 样 本 ,记 N为 样 本 值 1 2, ., 1nx x x中 小 于 的 个 数 ,求 的最大似然估计 . 2005年一、填空题 （ 6） 从数 1,2,3,4中任取一个数 ， 记为 X,再从 X,2,1中任取一个数，记为 Y,则 = 2YP _.二、选择题 （ 13） 设二维随机变量 ( , )XY 的概率分布为X Y 0 1 0 0.4 a1 b 0.1 已知随机事件 0 =X 与 1 =+YX 相互独立，则（ ）(A) a 0.2, b 0.3= = (B)a 0.4, b 0.1= =(C) a 0.3, b 0.2?= = (D)a 0.1, b 0.4= =（ 14） 设 )2(, 21 nXXX n为来自总体 (0,1)N 的简单随机样本 ， X为样本均值， 2S 为样本方差，则 () (A) )1,0(NXn (B) ).( 22 nnS (C) )1()1( ntS Xn (D) ).1,1()1( 2 2 21 = nFXXnn i i（ 13） （数三） 设 21, 是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 21, ，则 1， )( 21 +A 线性无关的充分必要条件是 ()(A) 0 1 = . (B) 02 = . (C) 01 . (D) 02 .（ 14） （ 数三 ） 设一批零件的长度服从正态分布 ),( 2N ， 其中 2, 均 未知 .现从中随机抽取 16个零件，测得样本均值 )(20cmx= ，样本标 准差 )(1cms= ，则 的置信度为 0.90的置信区间是 ()(A) ).16(4120),16(4120( 05.005.0 tt +(B) ).16(4120),16(4120( 1.01.0 tt +(C) ).15(4120),15(4120( 05.005.0 tt +(D) ).15(4120),15(4120( 1.01.0 tt +三 、解答题 （ 22） （本题满分 13分）设二维随机变量 ( , )XY的概率密度为 . ,20,10,0,1),( 其他 xyxyxf nXXX n为来自总体 2(0, )N 的简单随机样本 ， X为样本均值，记 .,2,1, niXXY ii=求 ： （ I） iY的方差 niDYi ,2,1,= ；（ II） 1Y与 nY的协方差 ).,( 1 nYYCov（ III）若 21( )ncY Y+ 是 2的无偏估计量，求常数 c.