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2014 -2015学年度第二学期数学分析2A试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号一二三四五六七八总分核分人得分一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若在连续，则在上的不定积分可表为（ ）. 2.若为连续函数，则（ ）. 3. 若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（ ）. 4. 若收敛，则必有级数收敛（ ） 5. 若与均在区间I上内闭一致收敛，则也在区间I上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）.二. 单项选择题（每小题3分，共15分）1.若在上可积，则下限函数在上（ ）A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（ ） A. 在上一定不可积； B. 在上一定可积,但是； C. 在上一定可积，并且； D. 在上的可积性不能确定. 3.级数 A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若，则级数一定收敛； B. 若，则级数一定收敛； C. 若，则级数一定收敛； D. 若，则级数一定发散； 5.关于幂级数的说法正确的是（ ） A. 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题5分，共10分） 1. 2. 四. 判断敛散性（每小题5分，共15分） 1. 2. 3. 五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1. 2. 六已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10分）七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分10分)八. 证明：函数在上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分） 2014 -2015学年度第二学期数学分析2B卷 答案 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号一二三四五六七八总分核分人得分一、 判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 二.单项选择题（每小题3分，共15分） 1. B ; 2.C ; 3.A ; 4.D; 5.B三.求值与计算题（每小题5分，共10分）1.解：由于-3分 而 -4分 故由数列极限的迫敛性得： -5分2. 设 ，求解：令 得 =-2分= -4分=-5分四.判别敛散性（每小题5分，共10分） 1. 解： -3分 且 ，由柯西判别法知， 瑕积分 收敛 -5分 2. 解： 有 -2分 从而 当 -4分 由比较判别法 收敛-5分五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分） 1. 解：极限函数为-2分 又 -3分 从而故知 该函数列在D上一致收敛. -5分2. 解：因当 时，-2分而 正项级数 收敛， -4分由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.-5分3. 解：易知，级数的部分和序列一致有界，-2分而 对 是单调的，又由于，-4分所以在D上一致收敛于0，从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D上一致收敛。-5分六. 设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）解：解方程组得圆与抛物线在第一象限的交点坐标为：， -3分则所求旋转体得体积为： -7分 =- = -10分七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分） 解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系则分析可知做功微元为： -5分 故所求为： -8分 =1250 =12250（千焦）-10分八设是上的单调函数，证明：若与都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛. （本题满分9分） 证明：是上的单调函数，所以有 -4分又由与都绝对收敛，所以 收敛，-7分由优级数判别法知：在上绝对且一致收敛.-2013 -2014学年度第二学期数学分析2A试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号一二三四五六七总分核分人得分一. 判断题（每小题2分，共16分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若在a,b上可导，则在a,b上可积. ( )2.若函数在a,b上有无穷多个间断点，则在a,b上必不可积。 （ ）3.若均收敛，则一定条件收敛。 （ ）4.若在区间I上内闭一致收敛，则在区间I处处收敛（ ） 5.若为正项级数（），且当 时有： ，则级数必发散。（ ） 6.若以为周期，且在上可积，则的傅里叶系数为： （ ） 7.若，则 （ ） 8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（ ）二. 单项选择题（每小题3分，共18分）1. 下列广义积分中，收敛的积分是（ ）A B C D 2.级数收敛是部分和有界的（ ）A 必要条件 B 充分条件 C充分必要条件 D 无关条件 3.正项级数收敛的充要条件是（ ）A. B.数列单调有界 C. 部分和数列有上界 D. 4.设则幂级数的收敛半径R=（ ） A. B. C. D.5. 下列命题正确的是（ ）A 在绝对收敛必一致收敛B 在一致收敛必绝对收敛C 若，则在必绝对收敛D 在条件收敛必收敛6.若幂级数的收敛域为,则幂级数在上 A. 一致收敛 B. 绝对收敛 C. 连续 D.可导三. 求值或计算（每题4分，共16分）1. ；2. 3 .4.设在0,1上连续，求四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性. 1.； 2. 3. ； 4.五 、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，共10分）1. 2. ；六.应用题型（14分）1. 一容器的内表面为由绕y轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有水（），若再加水7（），问水位升高了多少米？ 2. 把由，x轴，y轴和直线所围平面图形绕x轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积，并求满足条件的. 七证明题型 （10分） 已知与均在a,b上连续，且在a,b上恒有，但不恒等于，证明： 2013 -2014学年度第二学期数学分析2B试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号一二三四五六七总分核分人得分一、 判断题（每小题2分，共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.对任何可导函数而言，成立。（ ）2.若函数在上连续，则必为在上的原函数。（ ）3.若级数收敛，必有。（ ）4.若，则级数发散.5.若幂级数在处收敛，则其在-2,2上一致收敛.（ ）6.如果在以a,b为端点的闭区间上可积，则必有.（ ）7.设在上有定义，则与级数同敛散.（ ）8.设在任子区间可积，b为的暇点，则与同敛散.（ ）9.设在上一致收敛，且存在，则.二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 函数在上可积的必要条件是（ ）A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数2. 下列说法正确的是（ ）A. 和收敛，也收敛 B. 和发散，发散C. 收敛和发散，发散D. 收敛和发散，发散3. 在收敛于，且可导，则（ ） A. B. 可导 C. D. 一致收敛，则必连续 4.级数 A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定5.幂级数的收敛域为： A.（-0.5,0.5） B.-0.5,0.5 C. D.三.求值与计算题（每小题4分，共16分）1. 2. 3. 4.四.判别敛散性（每小题4分，共16分）1.；2.3.4.五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1. 2. 六.应用题型（16分） 1.试求由曲线及曲线所平面图形的面积. 2.将表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可使之误差不超过十万分之一.7. （9分）证明：若函数项级数满足：（） ；（）收敛.则函数项级数在D上一致收敛.014 -2015学年度第二学期数学分析2A卷答案 三. 判断题（每小题3分，共21分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 二.单项选择题（每小题3分，共15分） B, C, C, D, A三.计算与求值（ 每小题5分，共10分） 1. 解：原式= =-2分 =-3分 =-5分 2.原式= -2分 = -4分 = -5分四. 判断敛散性（ 每小题5分，共15分） 1. -2分且 -3分 由柯西判别法知，收敛。-5分 2.由比式判别法 -4分 故该级数收敛. -5分 3. 解：由莱布尼兹判别法知，交错级数收敛-2分 又 知其单调且有界，-4分故由阿贝尔判别法知，级数收敛. -5分五.1. 解：极限函数为 -2分 又 -4分 故知 该函数列在D上一致收敛.-5分 2. 解：因当 时，-3分而 正项级数 收敛， -4分由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.-5分六已知一圆柱体的的半径为R，由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（本题满分10分） 解:在底圆面上以所截直径线为x轴，底圆的圆心为原点示坐标系， 过x处用垂直x轴的平面取截该立体，所得直角三角形的面积为： -5分 故所求立体的体积为： -7分 = -10分七.解：建立图示坐标系(竖直方向为x轴) 则第一象限等腰边的方程为 -3分 压力微元为： 故所求为 -7分 -10分八. 证明：每一项在上连续， 又 而收敛 所以在上一致收敛，-3分故由定理结论知 在上连续，-5分再者 而收敛所以在上一致收敛，结合在上的连续性可知在上有连续的导函数. -9分 2014 -2015学年度第二学期数学分析2B试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号一二三四五六七八总分核分人得分二、 判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.若为偶函数，则必为奇函数（ ）.2.为符号函数，则上限函数y=在上连续（ ）.3.若收敛，必有（ ）.4.若在区间I上内闭一致收敛，则在区间I上处处收敛（ ）.5.若在上内闭一致收敛，则在上一致收敛（ ）.6.若数项级数绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对收敛，并且其和不变（ ）.7.若函数项级数在上的某点收敛，且在上一致收敛，则也在上一致收敛（ ）.二.单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 函数是奇函数，且在上可积，则（ ）A B C D 2.关于积分，正确的说法是（ ） A.此为普通积分 B. 此为瑕积分且瑕点为0 C. 此为瑕积分且瑕点为1 D. 此为瑕积分且瑕点为0,13.就级数（）的敛散性而言，它是（ ） A. 收敛的 B. 发散的 C. 仅 时收 D. 仅 时收敛 4.函数列在区间上一致收敛于0的充要条件是（ ） A. B. C. D. 5.幂级数的收敛域为： A.（-0.5,0.5） B.-0.5,0.5 C. D.三.求值与计算题（每小题5分，共10分）1.2. 设 ，求四.判别敛散性（每小题5分，共10分） 1. 2. 五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分） 1. 2. 3. 六. 设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）八设是上的单调函数，证明：若与 都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛. （本题满分9分） 32
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