历年高数复习题.doc

高数试题 2008.7一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.设直线，则l1 与l2 的夹角为 .（A）；（B）；（C）；（D）.2.函数 z = xe2y在点P(1, 0)出沿从P(1, 0)到Q(2, -1)方向的方向导数为 .3.函数在(0, 0)点 .(A) 偏导数连续；(B) 偏导数不存在； (C)偏导数存在但不可微； (D)可微但偏导数不连续。4.积分 .。5.设W是由x2 + y2 + z2 = 1所围成的区域，则三重积分 .二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y 3z = 2都平行的直线方程是2.设则3. 满足微分方程初值问题 的解为 4.设z = ln(1 + x2 + y2), 则三、（9分）求微分方程的通解四、（9分）求函数f (x, y) = xy在闭区域x2 + y2 1上的最大值和最小值。.五、（9分）某物体的边界由曲面z = x2 + y2和平面z = 0, |x| = a，|y| = a围成, 其密度函数为r = x2 + y2, 求该物体的质量.六、（9分）设直线在平面p 上，而平面p 与曲面z = x2 + y2相切于(1, -2, 5)，求a, b的值。.七、（9分）计算曲面积分其中S为由圆锥面x2 + y2 = z2与上半球面x2 + y2 + z2 = R2 (R 0)围成曲面的外侧.八、（8分）设函数Q(x, y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分与路径无关，且对任意t，有，求Q(x, y).九、（6分）设当时，可微函数满足， .1. 求； 2. 证明：当时，答案 一、1.B；2.A；3.D；4.C；5.D.二、1. ；2.；3. ；4. ；三、.四、.五、, 六、a = -5, b = -2.七、.八、Q(x, y) = x2 + 2y 1.高数试题 2009.7一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分）1. 函数在处可微的充分条件是 (A)在点处连续； (B) 在点处存在偏导数； (C) ，； (D) .2. 圆心在原点半径分别为和的的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为)关于原点的转动惯量为 . (A) ； (B) ；(C) ； (D) .3. 微分方程的特解形式为（ ）(A)； （B）；（C）； (D) 4. 设是由球面所围成的闭区域，则= (A) ； (B) ； (C) ； (D) .二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 已知，则 2函数在点处的梯度为 3. 已知曲线为连接和两点的直线段，则曲线积分= 4. 由曲面与曲面所围立体的体积为 5. 设为平面在第一卦限中的部分，则= 6. 以y1 = cos2x, y2 = sin2x为特解的常系数齐次线性微分方程为三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）1求点到直线的距离.2已知一平面通过球面x2 + y2 +z2 = 4(x - 2y - 2z)的中心, 且垂直于直线L:, 求（1）该平面的方程；（2）该平面与球面的交线在xOy平面上的投影。3设函数具有二阶连续的偏导数，求.4计算二重积分，其中是由两条抛物线，所围成的闭区域.5求解微分方程的初值问题：四、 (8分)计算积分, S是抛物线z = x2 + y2被z = 4割下的有限部分的下侧, cosa, cosb , cosg是S上各点法线方向余弦.五、(8分)设f (x) 为连续可微函数，且，对任一闭曲线有。求曲线积分的值.其中是圆周上由经到的一段弧.六、(8分)经过点作一平面,使该平面在第一卦限内与3个坐标面所围成的四面体的体积最小,求该平面方程.七、(6分) 设函数f (x)在1, +)上连续，由曲线y = f (x),直线x = 1, x = t (t 1)与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周形成旋转体的体积为，又已知，求f (x).答案 一、1.D；2.B；3.A；4.C.二、1.30；2.(1, 1)；3.9；4.2p；5. ；6. y + 4y = 0. .三、1. ; 2.-y + z = 0, ; 3.f1 + xf11 + (x + y)f12 + f22 ; 4. ; 5. y = x3 + 3x + 1.四、.五、68, 六、.七 .高数试题 2010.7一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分）1. 函数在闭区域(x 1)2 + y2 1上的最小值为 (A)0； (B)1； (C) 2； (D) 3。2. 设函数f (x, y)连续，则二次积分 . (A) ； (B) ； (C) ； (D) .3. 设为平面x + y + z = 1与三个坐标面所围成的闭区域，则= (A) ； (B) ； (C) ； (D) .4. 设y1 , y2是二阶线性方程y + P(x)y + Q(x)y = 0的两个解， 那么y = C1y1 + C2y2 (C1, C2是任意常数)是该方程通解的充分必要条件是 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1. 已知，与的夹角为，则 2设W是由曲面与z = 0围成的立体，则W的形心坐标为 3. 设曲线为连接和(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分= 4. 设S为锥面被平面z = 1截下的有限部分，则曲面积分 5. 若方程y + y tanx = -2cos2x有一个特解y = f (x), 且f (0) = 0, 则三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计30分）1求过点且与两平面x 4z = 3和2x y 5z = 1的交线垂直的平面方程.2求函数u = x2 + 3yz在点(1, 1, 1)处沿椭球面x2 + 2y2 + 3z2 = 6在该点的外法线方向的方向导数。3计算二重积分，其中是由y = x 4与y2 = 2x所围成的闭区域.4如果y = f (x)满足，且f (1) = 1, 求f (x)5若j (x)连续，且满足方程，(1)写出与该方程等价的二阶微分方程初值问题；(2)求j (x).四、 (8分)一质点在力的作用下，由点O(0, 0)沿上半圆移到点A(1, 1)，求力所作的功.五、(8分)计算曲面积分，其中S是由抛物面3z =x2 + y2 和球面所围成立体的表面外侧.六、(8分)设函数f (x, y)有二阶连续偏导数，满足，且存在一元函数h(u)，使，求f (x, y).七、(5分)设F(x, y) = (f 1(x, y), f 2(x, y)是(x0, y0)某邻域内定义的向量函数，定义为(f 1(x, y), f 2(x, y)的模， 如果，其中A, B, C, D是与Dx, Dy无关而仅与x0, y0有关，是的高阶无穷小，则称F(x, y)在(x0, y0)点可微，记为设，求。答案 一、1.A；2.C；3.B；4.D .二、1. ；2. ；3. ；4. ；5. -2.三、1. 4x + 3y + z +1= 0; 2. ; 3.18 ; 4. ; 5.四、. 五、. 六、. 七、.高数试题 2011.07.14一、选择题1设，则函数在原点偏导数存在的情况是 .（A），都存在（B）不存在，存在（C）存在， 不存在 （D），都不存在2设平面P 的法向量为，直线L的方向向量为，则是平面P 与直线L的垂直的 . (A)充要条件； (B)充分条件； (C)必要条件； (D)无关条件.3设 S 是球面x2 + y2 + z2 = R2，则下列结果正确的是 . (A) ； (B) ； (C) ； (D) .4 5设曲线（具有一阶连续偏导数），过第象限内的点和第象限内的点，为上从点到点的一段弧，则下列小于零的是 .（A） （B）（C） （D）二、填空题1设，则在上的投影为 2.交换积分次序为 3. 设正向闭曲线L的方程为，则= 4. 5设函数由方程所确定，其中有连续导数，则 三、计算题1. 设，其中具有二阶连续偏导数，求。2. 求曲面的与直线垂直的切平面。3.计算二重积分,其中D是由直线,，所围成的平面区域.4.求，S是抛物面被平面z = 1截下的有限部分，法向量与z轴正向成锐角。5. 求解初值问题四、设球体占有闭区域，它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求球体对于z轴的转动惯量。五、(8分)求抛物面 与平面 的交线（椭圆）到原点的最长距离和最短距离六、5设是非负连续函数，且，计算曲线积分，式中L为沿从点到的曲线段.七、求的通解.答案一、1.B, 2.A, 3.D, 4.C, 5.B.二、1.2， 2. 2., 3. , 4. p2 + 2, 5. 1。三、1. ， 2. 。 3. ， 4. 5. 四、 。五、曲线到原点的最长距离和最短距离分别为 和 六、七、高数试题 2012.07.12一、选择题1设j (x)为任意一个x的可微函数，y (y) 为任意一个y的可微函数，若已知，则F (x, y)是 .(A) f (x, y) + j (x)； (B) f (x, y) + y (y)； (C) f (x, y) + j (x) + y (y)； (D) f (x, y) + j (x)y (y). 2在曲线x = t , y = -t2, z = t3的所有切线中，与平面x + 2y + z = 4平行的切线 .(A)只有1条； (B)只有2条； (C)至少3条； (D)不存在。 3设f (x, y)是连续函数，D是由y = x2, y = 0, x = 1所围的区域，且f (x, y)满足恒等式 则f (x, y) = .(A)xy + 1； (B)； (C)； (D)。 4 二、填空题1过点(3, -1, -4)且与y轴相交，又与平面y + 2z = 0平行的直线方程为_.2交换积分次序为_. 3设L为圆周x = acost, y = asint (0 t 2p), 则= _. 4 三、计算下列各题1已知，其中具有二阶连续偏导数，求。2计算，W是半球面和旋转抛物面围成的立体。3求平行于平面6x + y + 6z + 5 = 0，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程。4求解初值问题。5求，式中S是平面y + z = 5被柱面所截得的有限部分。四、(8分)计算积分，S是柱面x2 + y2 = a2在0 z h部分外侧。五、(8分)在抛物线上求一点使在处的切平面与柱面及三个坐标面在第一卦限的立体体积最大。六、(8分)已知L是第一象限中从点(0, 0)沿圆周x2 + y2 = 2x到点(2, 0), 再沿圆周x2 + y2 = 4到点(0, 2)的曲线段。计算曲线积分。七、(8分) 八、(6分)设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离成正比(比例常数k 0)，求球体对于P0的转动惯量。答案：一、1D； 2B；3D；A二、1；2；32pa7；4三、1解 ，。 2解 = = = = 。3解 = = = 4解 设所求平面方程为6x + y + 6z = D, 则 |D| = 6故所求平面方程为6x + y + 6z = 6或6x + y + 6z = -6。5四、解 设S1：z = 0 (x2 + y2 a2)下侧；S1：z = h (x2 + y2 a2)上侧 五、解 过点的切平面方程为 2x0(x x0) + 2y0(y y0) (z z0) = 0即 立体的体积为 。 ，故所求的点为。六、解 补充L1：x = 0, y从2到0，由L和L1围成的平面区域记为D，由格林公式 七、解 由题设an an + 1，若，则交错级数收敛，与题设矛盾，故 (l 0).由根值法，有，故级数收敛。八、解 以P0点为坐标原点，球心在z轴上建立坐标系，则球面方程为x2 + y2 + z2 = 2Rz.转动惯量为 高数试题 2013.07一、选择题1设，则的充要条件是 .(A) ； (B) ； (C) ； (D) . 2设，则函数f (x, y)在原点（0，0）处 .(A)连续且存在； (B) 连续且不存在； (C) 不连续且存在； (D) 不连续且不存在。 3设W是球面所围成的闭区域，则下列结果正确的是 .(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 4微分方程y + y = sinx的一个特解的形式为 (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。 5设f (u)连续可微，且，其中L为圆周上从原点到点（2，0）的部分，则 (A) 0； (B) ； (C) ； (A) .二、填空题1函数z = f (x, y)由方程所确定，则dz = _.2交换积分次序为_. 3设L为圆周x = acost, y = asint (0 t 2p), 则= _. 4设平面薄板所占闭区域D由直线 x + y = 2，x = 2和y = 2围成 ，它在点(x, y)处的面密度为，则平面薄板的质量为_。5微分方程的通解是_。三、计算下列各题1已知，其中具有二阶连续偏导数，求。2一平面通过两平行直线和，求此平面方程。3计算，其中W是由yoz面上曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z = 8所围成的闭区域。4求，式中S是平面在第一卦限 的部分。四、(8分)计算积分，S是锥面的下侧。五、(8分)求球面的内接长方体，使长方体的体积最大。六、(8分)一个体积为V，外表面积为S的雪堆，融化的速度是，其中a是正常数，假设在融化过程中雪堆的形状保持为，其中h = h (t), 问一个高度等于的雪堆全部融化消失需要多少时间。七、(4分) 设函数f (x)满足方程，且由曲线y = f (x)，直线x = 1与x轴围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求D的面积。高等数学（下）2014年7月一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1. 设向量的起点坐标为，则 （A）的终点坐标为； （B）的长度为6；（C）与y轴的夹角为； （D）在z轴上的投影为5。2设平面区域；则下列等式不成立的是 (A) (B) (C) (D) 3 4设函数则是该函数的 .（A）驻点但非极值点； （B）驻点且极小值点；（C）驻点且极大值点； （D）极值点但非驻点.二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）5曲线在点处的切线方程是_.6交换积分次序=_7. 设f (x)可微分,，则= _.8若二阶常系数线性非齐次方程 的三个解是：，则_.三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）1. 求平面方程，使得这个平面垂直于平面，平行于向量，并且过点。2. 求二重积分，其中D由圆，及直线，所围成的在第一象限的闭区域。3. 设，f具有二阶连续偏导数，求。4. 计算曲面积分，其中S是球面在锥面上方的部分。5. 计算曲线积分，其中L是由点O(0,0)到A(0,1)的直线段和上从A(0,1)到B(1,0)的圆弧组成。四、（8分）求解二阶初值问题：.五、（8分）修建一座容积为V，形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。六、（8分）计算曲面积分，其中S是曲面 （）的上侧。七、（8分）设f (u)连续可微，L为由到的直线段，求八、（6分） 答案 （2014年7月）一、1：C； 2：D； 3：B； 4：B。二、1：； 2：； 3：1； 4：0三、1求平面的方程，使得这个平面垂直于平面，平行于以为方向余弦的直线，并且过点。解 所求平面的法向量为 ，平面方程为。2求二重积分，其中D由圆，及直线，所围成的在第一象限的闭区域。解 。3设，f具有二阶连续偏导数，求。解 。4计算曲面积分，其中S是球面在锥面上方的部分。解 ， 5计算曲线积分，其中L是由点O(0,0)到A(0,1)的直线段和上从A(0,1)到B(1,0)的圆弧组成。解 。四、五、修建一座容积为V，形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。解 设长、宽、高分别为x，y，z, 则，设单位造价为k，则 设 解得 。六、计算曲面积分，其中S是曲面 （）的上侧。解 设下侧 七、设f (u)连续可微，L为由到的直线段，求解 ，所以积分与路径无关， 。八、设函数f (x)在上满足，令，证明：级数绝对收敛。证明 ，从而收敛，由比较审敛法，级数绝对收敛。高等数学（下）2015年7月一、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）1. 求点到直线的距离。2. 求曲线在点处的切线与法平面方程。3. 函数在点沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。4. 具有二阶偏导数，求。5. 计算二重积分。二、（16分）1. 求解微分方程的初值问题2. 已知点与，且曲线积分与路径无关，试确定a,b的值并求出I。三、（8分）求的通解四、（8分）设函数，（1）求偏导数；（2）讨论在点（0, 0）处是否连续（3）讨论在点（0, 0）处是否可微分？五、（8分）设为球面在点处的外法线方向余弦，求，并计算曲面积分，是球面。六、（8分） 已知是在的一半中被所截下部分的外侧，计算。九、（8分）（1）设满足微分方程，曲线过原点，且在原点处得切线垂直于直线，求此直线方程.（2）在0, 1上连续，证明。答案：一、（1）；（2）切线，法平面；（3）；（4）；（5）。二、（1）。 （2）。三、五、。六、。高等数学（下）2016年7月一、计算下列各题 （本题共10小题，每小题6分，共计60分）1. 设，求。2.若是由方程确定的隐函数，这里为常数，连续，求的值。3.已知平面P过点，且与三个坐标所围成的立体体积为2，求平面P的方程。4.三个非零向量满足：，求的值。5.计算积分6.计算，其中7. 计算，逆时针方向一周。8.已知立体，计算9.求解初值问题：10.在曲面上求一点，使得该点处的法线垂直于平面。二、（8分）计算，其中三、（8分）函数在定义域内，其图形上任意一点处的切线与直线，以及轴所围成的面积为4，求的表达式。四、（8分）在平面上求一点，使得点到两点的距离的平方和最小，并求这个最小值。五、（8分）求，其中是曲面位于之间部分的下侧。六（每小题4分，共8分） 1.已知是方程的一个解（为常数），求的值，并写出该方程的通解。 2.设在光滑有向曲线上连续，及表示曲线的长度，证明。 Page 19 of 19