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高级 微观经济学知识点 及课后习题 Section 1: 经济 模型与基本数学知识 一 、经济模型的性质 1、 抽象性 。 从复杂的经济现象中抽象 成 简单结构， 如 马歇尔的剪刀模型。 2、 逻辑性 。分为两类，其一 是 演绎逻辑 ， 即 从前提条件到推论的逻辑链条，纵向展开。一 般而言 ， 理论的逻辑链条越长，这个理论所涉及的问题越体现出深刻性，问题也 越具有 分析 价值 ； 第二， 归纳逻辑 ， 也称历史方法，认为科学的经济学应该主要来源于对历史经验的 归 纳总结。 在模型 的 构造过程中，演绎和归纳具有各自不同的 地位 和作用，在选择模型构造的 过程中， 应该 依赖 对经验事实 和归纳和总结提出关键性假设，并利用演绎法将材料统一在一 个有机的 理论框架中，两者相辅相成，最终形成 具有普遍 解释力的经济模型。 3、 可检验性 。 经济 模型应该具有可检验性。对 经济 模型的 检验 一般 有 两种方法 ， 其一是 直 接 法 ，即对 假设前提 是否成立的检验；第二 是 间接法 ， 对 模型的 推论和含义 进行减压，也即 对模型的预测能力进行 检验 。 二、 基本数学知识 1、最优化 （ 1）一元函数 =fq 2 2 2 2 0 0 0 0 d f q d f q d q d q d f q d f q d q d q and 极 大 值 ， 凹 函 数 and 极 小 值 ， 凸 函 数 （ 2） 二元函数 12,u f x x 1） 12 1 12 2 , 0 , 0 f x x x f x x x 最 优 化 一 阶 条 件 2） 11 12 2 1 1 2 2 1 2 0 0 0 f f f f f 凹 性 ， 凹 函 数 3） 221 1 2 1 2 1 2 2 2 12 0 f f f f f f f 拟 凹 性 ， 拟 凹 函 数 2、 隐函数 ： ,/,0 ,/f x y xdyf x y d x f x y y 3、包络定理： ,y f x a a 为 参数，对于不同的 a 值 ，会有不 同 的 x 的 最优选择 ， 也即： ,y f x a f x a a 对上式 两边 求 微分 可得 ： ,f x a a f x a axady d a f x a a 因为 xa是 能使得 f 最大化 的 x 值 ，因此 有 ： , 0f x a a fx 从而 ： , x x a f x a ady da a 三 、课后习题 1.1 经济 模型的 性质 是什么？ 答 ： 经济模型 具有三大性质，分别为抽象性 、 逻辑性和可检验性。 （ 1） 抽象性。从复杂的经济现象中抽象成简单结构，如马歇尔的剪刀模型。 （ 2） 逻辑性。分为两类，其一是演绎逻辑，即从前提条件到推论的逻辑链条，纵向展开。 一般而言，理论的逻辑链条越长，这个理论所涉及的问题越体现出深刻性，问题也越具有分 析价值；第二，归纳逻辑，也称历史方法，认为科学的经济学应该主要来源于对历史经验的 归纳总结。在模型的构造过程中，演绎和归纳具有各自不同的地位和作用，在选择模型构造 的过程中，应该依赖对经验事实和归纳和总结提出关键性假设，并利用演绎法将材料 统一在 一个有机的理论框架中，两者相辅相成，最终形成具有普遍解释力的经济模型。 （ 3） 可检验性。经济模型应该具有可检验性。对经济模型的检验一般有两种方法，其一是 直接法，即对假设前提是否成立的检验；第二是间接法，对模型的推论和含义进行减压，也 即对模型的预测能力进行检验。 1.2 在写作经济论文 的过程中你 会 如何 处理 经验事实与 理论 模型的关系？ 答 ： 要 正确认识经验事实 与理论 模型之间的关系。 第一 ， 我们 必须认识到 ， 在建立经济模型 的过程中，为了抓住问题的主要方面 或者 核心特征，必然要忽视 大量事实 和剔除 次要 因素， 这是任何抽象过程 都会丧失的，不能因为抽象而反对理论 ； 第二， 一些 理论模型的根本作用 并不在于对现实世界的完美解释，而 在于 其对于其他理论模型的发展具有基础性或者 起点 性 的作用 ； 第三，我 们 也必须 要 根据经验事实，来对理论模型进行 修正 和发展，从而使理论模 型 对 经验事实的解释力增强。 好的 理论能够解释别的理论所能解释的事实， 并 能够解释别的 理论所不能解释的更多事实。 1.3 有人 认为，案例分析 缺乏一般性 ， 写作 经济论文 时 应该避免案例分析 。 你 如何评论 此观 点？ 答： 这一观点不 正确 。 首先 ， 特定 的经济现象虽然具有一定的个体性、独特性和差异性，但 无法否认 的 是，这 些 单独 的现实的经济现象也向我们呈现了某种确定形态的 现象的 类型与关系 、 重复 出现 的规 律 性 、现象并存和 相续 的实际规律性，尽管这些都不具有决定的准确性，但确定这些类型 、 关系以及规律性，是经济学的任务之所在。 而 在 案例分析的 过程中，通过 合理 的逻辑、科学 的方法将个案中蕴含的普遍的经济规律抽象 出来 ，也能得到一般性的结论。 其次，好的 案例分析 可以 有助于对现有 理论的解释力 进行检验，从而 推动 已有的理论的 修正的发展。 1.4 已知函数 3 8 10y ax x ， 其中 a 为 参数， x 为 自变量，请求出： (1)一阶条件 、二阶条件，并判断此函数有极大值还是极小值 解 ： 一阶条件 为： 238y ax 二阶 条件为： 6y ax 令 23 8 0y ax （ 隐含条件 0a ） ，可得到： 8 3x a 1 如果 83x a ， 则 60y ax,该函数 有极 小 值 m i n 8 8 8 1 6 88 1 0 1 03 3 3 3 3ya a a a a 2 如果 83x a ， 则 60y ax， 该函数有 极大值 ： m a x 8 8 8 1 6 88 1 0 1 03 3 3 3 3ya a a a a （ 2） 利用隐函数定理，将一阶条件表达为 a 的 函数形式。 解 ： 将 原函数表 达为隐函数 形式 为： 3, 8 1 0 0F x y y a x x 则 一阶条件 可 表示为： 2 2,/ 38 3 8 0, / 1F x y xd y a x axd y F x y y 从而得到： 83xa a （ 3）利用 包络定理，求当 a 变化一个单位 时 y 会变化 多少单位？ 解 ：利用包络定理可得： 3dy xda 因为 ： 83xa a 代 入得到 ： 328 3dyda a 所 以当 a 变化 1 单位 时， y 变化 328 3a 单位 。 1.5 我们 常见的函数 是 幂函数 yx ， 其中 01： （ 1） 证明 函数 是凹函数（自然也是 拟凹函数 ） 证明 ： 1 2 01 0 10 yx yx 且 根据 该函数的二 阶导小于 0 可知 ，该函数为凹函数。 （ 2） 证明多元幂函数 1 2 1 2,y f x x x x 也是 凹函数 （ 也是 拟 凹函数），这里的 交叉 偏 导数为 0， 请解释为什么？ 证明 ： 假设 0 x ， 根据多元幂函数 可以 得到： 11 1 1 2 2 12 21 2 11 1 2 22 2 , 0 10 10 f x f x ff fx fx 所以 ： 222 2 21 1 2 2 1 2 1 210f f f x x 成立 且 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 21 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 12 1 1 0f f f f f f f x x x x 成立 。 故而 ，该二元幂函数是凹函数（也是 拟凹函数 ）。 交叉偏导数 为 0 的 含义是 1x 和 2x 是 独立影响 y 的 ， 二者 之间不存在替代效应。 （ 3） 用这样一个单调 变换给 （ 2） 中的函数附加上 “规模效应 ”， 1 2 1 2,g x x y x x ， 这里 为正数 ，请回答，函数 g 是否具有 凹形？是否 具有 拟凹 性 ？ 解 ： 因为 12,g x x y 所以 1111g y x ， 1122g y x ， 2 2 1 11 2 1 21g y x x 2 2 2 2 1 21 1 1 1 2211 11 g y x y x y x x y 2 2 2 2 1 22 2 2 2 2222 11 11 g y x y x y x x y 所以 ： 2 11 22 12 222 2 2 4 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 22 4 2 4 2 2 2 2 12 212 2 2 4 2 2 12 2 2 2 22 12 2 12 2 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 g g g y x x x x y x x y y yx xx x x y x x y y x x y yx x 22 2 2 2 12 1 1 1x y y 而 22 11 2 12 1 2 22 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 4 2 2 3 12 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 21 2 1 1 2 1 11 1 1 2 1y g g g g g g g y x x y y x y x x y x x yx x y x x y y x x x y 3 3 4 2 2 12 3 3 3 4 2 2 21 3 3 3 4 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 3 3 3 4 2 2 21 33 12 12 21 2 3 4 2 2 21 1 2 11 11 11 10 21 1 y x x y x x y x x x x x x x x xx x x y y x y x y x x yx xx x y y （ 1） 当 1 时 1 1 2 2 2 221 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 10 , 0 0 , 2 0ggg g g g g g g g g g 此时 ， 12,g x x 是凹 函数，同时也是拟凹函数 （ 2）当 1 时 ， 21 1 2 2 1 1 2 2 1 20 , 0 , 0g g g g g 不再 成立 但 221 1 2 1 2 1 2 2 2 120g g g g g g g 仍然成立 因此 12,g x x 不是 凹函数，但仍然是拟凹函数。 综上 ， 凹 函 数 的单调变化 不会 改变函数的拟凹性，但 变化 后的函数 可能 不再是凹函数。 Section 2: 偏好 、效用与消费者选择 一 、 偏好 的 假设 1、 完备性 ： 对于 任何两个商品组合 ,xy， 消费者能够说出所有的偏好关系，消费者在做选 择时， 完全知道备选的情况 。 2、 自反 性 ： 对于 两个 完全相同 的 商品 组合，消费者 不会 认为他们之间有差异 （布 里坦的蠢 驴） 。 3、 传递性： 消费 这的选择具有逻辑 一致 性。 如果 ,x y y z，则 xz 。 4、单调性 ： 两个 商品 组合 x 和 y ， 如果 x 中 的某一种商品比 y 中 多，而其他 商品 又不 比 y 中的 少，则 x 比 y 好 。 5、 凸性 ： 如果 ,x z y z， 则对于任意的 0,1 ， 有 1xz 。 也即 ， 如 果两个商品篮子都不必第三个差，则这两个商品篮子的任意线性组合 也不比 第三个差 。 6、 连续 性 ： 如果个人 认为 xy， 那么在充分接近 x 和 充分接近 y 的 情况之间，个人必定选 择充分接近 x 的情况 。 二 、效用的性质 1、 效用是主观的 。 同样 的商品组合对不同的人 可能 产生不同的 效用 。 2、基数 效用和 序数 效用。 3、赋值 问题。 4、 效用函数的存在性定理 ： 在满足 一系列偏好 性质 之后 ，必定存在一个 连续 的函数 u ， 使得 x y u x u y 。 三 、 几种 典型的效用 函数 1、柯布道格拉斯 型 ： 11 2 1 2,u x x x x 。 边际 替代率： 1 2 muMRS mu 性质 ：边际替代率递减（消费者更喜欢平衡的商品组合，而非不平衡的商品组合） 特征 1： 马歇尔需求曲线时零次 齐次 ，也即价格和收入 同时加倍时需求不变。 特征 2： 其 马歇尔 需求曲线中，价格与需求量成反比。 特征 3：均衡 时消费者对两种商品的支出费用 所占 比例 分别 等于其效用权重 ， 1 。 特征 4： 两种 商品 的需求量 只 与自身的价格有关，没有价格交叉效应。 特征 5： 增加的收入将 按照 等于效用权重的比例分配给两种 商品 。 2、 拟线性效用函数 ： 1 2 1 2,u x x x V x 特征 1： 不同商品产生的 效用 不会出现相互影响，总的效用是两种商 品线性效用之和。 特征 2： 具有这种偏好的消费者，收入的多少不影响消费 2x 的数量 ，它 只受 价格变化的 影响 。 3、 里昂惕夫效用函数 ： 1 2 1 2, m in ,u x x x x 。 特征： 完全互补 。 4、 固定弹性的效用函数 （ CES 效用函数 ）： 1 2 1 211,u x x x x 特征 ： 位似 效用函数， 边际替代率 不受单调变换的影响 ，只 与 21/xx有关 ，也即 2 1 xMRS MRS x 替代 弹性： 2 1 2 1 2 1/ / / l n / / l nd x x x x d x xd M R S M R S d M R S ， 其中 1 2 muMRS mu 四 、需求曲线与间接效用函数 1、 消费者实现效用最大化 时 的选择满足：其 边际替代率 MRS 等于 预算约束 线 的斜率（也即 价格 之比）。 11 22 mu pM RS mu p 补充 ： 拉格朗日法 求解最大化效用问题中的 拉格朗日乘子 的含义： 边际 效用与 边际 成本之间 的比例，也即一元钱所能 购买到 的效用。 2、间接 效用函数 ： 将马歇尔需求函数 代入效用函数可以得到 间接效用函数。 *1 2 1 1 2 2 1 2, , , , , , ,V p p m u x p p m x p p m 3、 罗伊恒等式： 12 12 12, , /, , , / ii V p p m px p p m V p p m m 五 、支出最小化 1、 希克斯需求 函数 ： 给定市场 价格和效用水平 ， 可以根据 求解 支出最小化问题得到 12,ih p p u 性质 ： , , 0p p h p u h p u ， 也即价格和需求量的变化始终相反。 2、 支出函数： 将希克斯需求函数代入支出方程 求得 。 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2, , , , , ,E p p u p h p p u p h p p u 性质 1： 是简介效用函数的反函数 性质 2： 是价格向量的 一次齐次 函数 性质 3： 关于价格 单调不减 性质 4： 是价格的凹函数。 六 、课后习题 2.1 消费者 小张消费商品 ,xy所得 的效用函数为 22,+u x y x y （ 1） 如果 3xp 元 ， 4yp 元 ，而他的总收入为 50 元 ，求他能够获得的最大效用 。注意 ， 求 2u 的 最大值比 求 u 的 最大值方便得多， 但这种 方法为什么不影响计算结果呢？ 解 ： 采用求解 2u 的 最大值 来 求 u 的 最大 值， 由题知 2 2 2,+u x y x y 。 构建 拉格朗日函数 ： 2 2 2,m a x , . 3 4 = = 5 0 xy xy u x y x y s t p x p y x y I 构建拉格朗日 函数： 22= + 5 0 3 4L x y x y 一阶 条件为 ： 2 3 0 2 4 0 50 3 4 0 L x x L y y L xy 解得 ： 6 8 1 5 x y 所以 ，最大化的效用为： 22m ax 6 8 10u 本题中 之所以可以采用 求解 2u 的 最大值 来 求 u 的 最大 值，且 该方法不会 影响 结果 ， 其原因 在于 ， 在 x 与 y 均 大于 0 的 情况下， 2u 是 u 的 单调变化，唯一的 u 对应 了唯一 的 2u 。 （ 2） 画出 小张 的无差异曲线，并作出无差异曲线与预算约束 线 的切点，曲线时如何描述小 张的行为的？你找到 真正 的最大值了吗？ 解 ： 小 张 的 无差异 曲线 如下图所示， 由于 拉格朗日方法求救最大化效用问题其 内含 的 条件 是边际 效用递减 ， 也即效 用 函数的二阶导数要小于 0， 而本题中的 效用函数 的二阶导 数大于 0， 故而，最大效用并不在预算约束 线 与 无差异 曲 线的切点 处 取得，而是在 端点处 取得。也即 实际 的最大 效用点 在 25,02yx处 取得，此时 最大 效用为 max 12.5u 。 x y 1u 2uI 25 2 50 3 2.2 顾客 A 喜欢 咖啡 (g )和 牛奶 （ m ） 按 2:1 的 固定比例混合 饮用 ，因此其效用函数可表 示为： , m in , 2gu g m m 。 （ 1） 画出顾客 A 的 无差 异曲线 。 解 ：由题知顾客 A 的 效用函数为里昂惕夫效用函数，其 无差异 曲线如下： g m （ 2） 求出顾客 A 对 g 和 m 的 需求函数和 间接 效用 函数 。 解 ：顾客 A 要在 预算约束下实现效用最大化， 假设其 收入为 M ， 咖啡 的价格为 gp ， 牛奶 的价格为 mp 。 在不浪费资源的情况下 ， 顾客 A 的 收入组合必定为 2g m ， 从而有： 2 2 2 2 gm gm gm Mm g ppm Mp g p m M g pp 间接 效用函数为： , , m in , 2 2 2gm g m g m g mM M Mu V p p M p p p p p p （ 3） 试计算顾客 A 的 支出函数。 解 ： 已经 由（ 2） 解出顾客 A 的间接 效用函数为 2 gmMu pp ， 所有其支出函数为： , , 2g m g mE p p M p p u 2.3 假设 一个快餐爱好者的效用取决于三种商品：软饮（ x ） 、 炸鸡（ y ） 和 面条（ z ） 。 根据 柯布 -道格拉斯效用函数，有： 0 .50 .5 0 .5, , 1u x y z x y z。 同时假定这些商品的价 格为 0 .2 5 , 1, 2x y zp p p ， 且该消费者的收入 2m 。 （ 1） 当 0z 时 ，试求解 效用 最大化得到的最优选择。同时说明 0z （ 哪怕非常小 ） 时 的 任何 选择都会使得效用减少。 解 ： 当 0z 时， 效用最大化时的最优选择满足下列条件： xx yy xy mu p mu p p x p y m 代入 参数求解得到： 4 1xy 在 此时： 4 , 1 , 04 , 1 , 0 4 , 1 , 01 0 . 5yxz x y z m u x y zm u x y z m u x y zp p p 也即此时， 花费 相同的预算 购买 z 所获得 的效用只有 以相同 的预算 购买 x 或 y 所获得 的 效 用 为 0.5， 因此 任何 0z 的任何 选择都会使得效用减少。 （ 2）你如何 解释 0z 时 达到最优这一事实。 解 ： 由 （ 1） 中可以看出，在当前的预算约束中， 消费 者的效用将随 其 消费 z 的 数量的增加 而减少，因此该顾客在 0z 时 取得效用最大化，也即 达到最优。 （ 3） 为了购买 z ， 这个人的收入要多高？ 解 ： 顾客 基于效用最大化的准则进行消费，因此有： yx z x y z x y z mumu mu p p p m p x p y p z 代入 参数求得： 46mz 因此 ，为了购买 z ， 消费者的收入应该 4m 。 2.4 消费者 需要一定量的食品（ x ） 来维持 生存，假设这 个量为 0 x 。 一旦 购买 0 x ， 消费者 将从食品与其他商品 （ y ） 得到效用为： 0,u x y x x y ， 其中 1 （ 1） 说明： 如果 0 xI px ， 则为了获得最大化效用，消费者将会在 食品 上花费 00 xxI p x p x ， 在商品 y 上 花费 0 xI p x ， 请解释这个 结论 。 解 ： 消费者 效用最大化 时 有： 00 0 xx x x x yy yx xy m u p p x I p x p x m u p p y I p x p x p y I 该结论 表明 ， 消费者为了获得最大化效用，在扣除了 了 维持生存所需的食物 支出之后 ，将 按照 /的 比例在食物 x 和 其他商品 y 上 继续 分配 剩余预算部分。 （ 2） 在这个 问题中，如果收 入增加， /xpxI 和 /ypy I 之间 的比率 （ 也即 /xypx py ） 将 怎样 变化。 解 ： 由 （ 2） 可知： 00 0 00 / xx xxy xx I p x p x pxp x p y I p x I p x 由 上式可知： / 0 xyd p x p ydI ， 也即如果收入增加， /xypx py 变小 。 2.5 间接 效用函数 ,v pm 满足 , , lnv p m v p m， 则称 它 对财富 m 而言 是齐次 的，证明这个性质满足： ,1 ,1 /iix p v p p 证明 ： 根据 罗伊恒等式： 1212 12, , /, , , / ii V p p m px p p m V p p m m 因为 ： 2 2 12 12 12 2 12 2 1, , , l n , , / , 1 2 V p p m V p p m m mV p p m m mm V p p m m mm 令 1m ， 则 有 ： 1 2 1 2 1 2, , 1 2 , , 1 1 , , 1 1m m mV p p V p p V p p 所以 ： ,1 ,1 /iix p V p p 。 Section 3: 斯卢茨基方程式 一 、价格变化的两 种 效应 1、 替代效用： 当商品价格下降时， 该商品 的相 对 价格下降，消费者将购买更多的该产 品，促使 该产品 的 购买量 增加。 2、 收入效应： 当商品 价格 下降时，消费 者 的购买 能力 增强，从而能够购买 更多 的产品。 1x 2x ABC 上图中 1x 的 价格上升，替代效应为 BA ， 收入效应 CB 。 3、 正常商品 ： 当收 入 增加 引起 对商品的需求增加或者不变时 商品 ， 即 12, 0ix p p mm 。 4、 劣等商品： 当收入增加引起 需求 量减少的商品 ， 也即 12, 0ix p p mm 。 5、吉芬 商品： 需求量与 价格成 成 正 向 关系的商品，商品价格越高 ， 对该类商品的需求量 越大。 6、 马歇尔 需求 曲线与希克斯需求曲线的比较：（ 1） 马歇尔需求曲线描述了名义收入不变 时 需求 与价格之间的关系，希克斯需求曲线描述了效用 水平 不变的情况下 需求和 价格之间 的 关系 ；（ 2） 给定名义收入和价格 时 ，效用最大化模型求解出的简介 效用 恰好是 支出最小 化模型中 不变 的效用水平；给定 效用水平和 价格，支出最小化模型中 求解 得出的支出等于 效用最大化 模型中 的名义收入；（ 3） 马歇尔曲线描述的价格变化的总效应，而希克斯曲线 则描述的是价格变化的替代效应 。 对于 正常品 而言，因为其收入效应为正，因此马歇尔曲 线比希克斯曲线更平缓 ； 而对于劣等品 而言 ，由于收入效应为负，因此希克斯曲线比 马歇 尔 曲线更平缓。 二 、斯卢茨基方程 总效应 =替代 效应 +收入效应 1 2 1 2 1 2, , , , , ,i ii x p p m h p p u x p p mxp p m 作用： 区分正常商品、劣等 品 和 吉芬 商品 正常品 ：总效应（ -） =替代 效应（ -） +收入效应（ -） 劣等 品：总效应（？） =替代 效应（ -） +收入效应（ +） 吉芬 商品：总效应（ +） =替代效应（ +） +收入效应（ +） 三 、斯卢茨基分解和希克斯 分解 1、 斯卢茨基分解： 价格 变化的收入效应是指，当价格变化后，消费 原来的商品组合 后剩余 的收入产生的效应，以 0 x 为 标准加以区分。 2、 希克斯分解： 价格变化 的收入 效应 是指 ， 当价格变化后， 保持原来 的 效用水平不变消耗 的货币支出后 所剩余的收入产生的效应 。 斯卢茨基 形成的收入效应比希克斯分解形成的收入效应更小 。 四 、需求弹性 之间 的关系 1、需求 函数的零次齐次性 ： 12, , , 0 x p x p x m 2、 恩格尔 加 和 ： ,1x x m y y mss 其中 x x pxs m ， y y pys m 3、 古诺加和 ：当某种 商品价格变化对所有商品的需求量变化之间存在的某种关系。 ,xxx x p y y p xs s s 含义： 价格变化对自身商品的影响要 大于 对其他商品的影响。 五 、消费者剩余 1、 补偿变化：在 新 的价格 水平下达到原来的效用水平的支出 变化。 0,xyC V E p p u m 2、 等价变化： 在原价格水平 下 消费 新的商品组合的支出变化。 1,xyEV m E p p u 3、 消费者剩余： 马歇尔 需求曲线 ,xyx p p m 对 xp 积分 ， 可以度量价格变化引起的消费 者福利的变化。 六 、现实性偏好弱 公理 七 、课后习题 3.1 如果 任意一条从原点出发的直线通过所有无差 异曲线斜率相等的点，即 MRS 只 取决于 /yx， 那么这一无差异曲线图是同质的。 （ 1） 证明，在这种效用函数下， xm是常数 ， m 是 收入。 证明 ： 由题设 ,x y pyM R S f x yxp 则 11xx yy ppy f y x fx p p 因为 xyp x p y m 代入得 ： 1 x xyypp x xf p mp 等式 两边同时对 m 求偏导 可得： 1 1 11x xy y x xy y p xxp f p p m m pp f p p 上式 结果为常数，原命题得证。 或者采用 如下方法也可证明： 假设 题中 所述 无差异曲线斜率相同的 点斜率 为 n ， n 为 常数，由于 MRS 只 取决于 /yx， 同时假设 /MRS y x ， 则由题可知 /MRS y x n（无差异曲线 的斜率解释边际替代率）。 将上述 等式左右两端同时对 x 求导可得 ： 2 0 dy xy d y ydx M R S nx d x x ， 故而 y nx ， n 为常数 又 因为 1x y x y x y xyxp x p y m p x p n x m p p n x m m p p n 上式 最终结果为常数， 原命题得证。 （ 2） 证明，如果一个消费者的偏好可用同质的无差异曲线图来表示，那么价格与他的 需求 数量将成反向 变化 。 证明 ： 所谓 “吉芬之谜 ”是指 一种 商品的的价格上升时，对该商品的需求量反而上升， 即 商品的 需求量与价格呈同方向变化。 由 （ 1） 已知 1 x xyypp x xf p mp 也即 ： 2xp mxx 因此 价格 与需求 呈反向 变化 ， 也即不会出现 “吉芬之谜 ”。 或者采用 如下方法也可证明： 2 0 x y x y y x xx mp x p y m p x p n x m x p n p xm pp 3.2 假设 一个人对面包 （ y ） 和 可乐（ x ） 的偏好 可以用下列函数来表达： ,u x y xy ， 在初始状态下 ， 1/2xp ， 2yp ， 而收入 40m ，现在 假定可乐的价格 xp 由 1/2 上升 到 1， 请对此变化进行希克斯分解和斯卢茨基分解，并 回答哪种分解的收入效应更大，为什 么？ 解 ： 1） 由题知 在初始状态 0 1,2 2p ， 0 40m 的 情况下，利用效用最大化模型： m a x , 40 1 10. 2 4 0 2 u x y x y x ys t x y 所以 初始 状态下对 两种产品的 需求 量为 0 40,10 x ， 初始效用为 0 40 10 400u 2） xp 上升后 ， 1 1,2p ， 0 40mm， 利用效用最大化模型： m a x , 2010. 2 4 0u x y x y xys t x y 此时 对两种产品的需求量为 1 20,10 x ， 效用为 1 20 10 200u 3）希克斯 分解 利用 支出最小化模型， 在 1 1,2p 的 状态下保持原有的效用水平 0 400u 不变时 ，求解均 衡 时 的需求量和支出： m in 2 2 0 2. 4 0 0 1 0 2 x y e xs t x y y 此时 两种产品的需求量为 20 2 ,10 2h ， 支出为： 1 2 0 2 2 1 0 2 4 0 2e 得到 希克斯分解下的： （ A） 替代效应： 0 2 0 2 , 1 0 2 4 0 , 1 0 2 0 2 4 0 , 1 0 2 1 0hx （ B） 收入效应： 1 2 0 , 1 0 2 0 2 , 1 0 2 2 0 2 0 2 , 1 0 1 0 2xh （ C）总效应 ： 10 2 0 , 1 0 4 0 , 1 0 2 0 , 0 xx 4） 斯卢茨基分解 用 1 1,2p 购买初始 商品组合 0 40,10 x 所需 的支出为 ： 1 4 0 2 1 0 6 0m 利用 效用最大化模型，求解在 60m 的 情况下的商品需求量组合： m a x , 3015. 2 6 0u x y x y xys t x y 所以 此时的商品需求量组合 为 30,15x 。 得到 斯卢茨基分解下的： （ A）替代 效应： 0 3 0 , 1 5 4 0 , 1 0 1 0 , 5xx （ B） 收入效应： 1 2 0 , 1 0 3 0 , 1 5 1 0 , 5xx （ C） 总效应 ： 10 20, 0 xx 5） 由以上分析可知， 斯卢茨基 分解得到的收入效应为 10 ， 希克斯 分解 得到的 20 20 2 ， 因此 斯卢茨基 分解法 求得的收入效应小于希克斯分解求得的收入效应 。 3.3 假设 一个人认为火腿和奶酪是完全互补的，他总是用一片火腿和一块 奶酪 来做三明治， 假设 他 只购买 火腿和奶酪，而面包是免费的。证明 ： （ 1） 如果火腿和奶酪的价格相等，火腿的需求自身价格 弹性 为 -0.5，火腿 对奶酪的交叉弹 性也为 -0.5。 证明 ： 假设 消费者的收入为 m ， 对火腿的需求量 为 x ，价格 为 xp ， 对奶酪的需求量为 y ， 价格 为 yp 。 由 题知 ，消费者的效用函数为 min ,xy ， 因此消费者 效用最大化 时满足如下条 件： xy xy xy mxx p p y m pp 火腿 的 需求自身 价格弹性为 ： , 2x x x xxp x x yxy xy p p pd x m m d p x p ppp pp 因为 xypp ， 所以 , 0.5 xxp 同理 , 2 0 .5x x x xyp x x yxy xy p p pd y m m d p y p ppp pp 如果题干 中 “火腿的需求自身价格 弹性 为 -0.5”为 已知条件，要求证明 “火腿 对奶酪的交叉弹性 也为 -0.5”， 则可以采用 古诺加和 公式求解： ,xyx x p y x p xs s s 由题干 可以 推知 12 xyss ，进而 解得 , 0.5yxp 。 （ 2）解释 为什么（ 1） 中 地 结论只 反映 了收入效应，而没有反映替代效应 。 解 ： 因为 由题知，火腿和奶酪对于消费者而言是完全互补的，其无差异曲线如下图所示 。 从 图中 可以看出 ， 消费者 增加 x 的消费 并不 能 以减少 y 的 消费来 实现 效用水平保持不变 的 目 的 ， 从而不存在替代效应。 x y （ 3） 如果一个火腿的价格 是 奶酪 价格的两倍，（ 1）的 结论将如何变化 。 解 ：如果一个火腿的价格变成奶酪的两 倍 ，即 2xypp ， 则 ： , 23x xxp xyppp , 23x xyp xyppp 综上， 如果一个火腿的价格是奶酪价格的两倍， 火腿 的需求自身价格弹性是 -2/3， 火腿对奶 酪的交叉弹性 也为 -2/3。 3.4 这里有 两种商品，他们的预算约束集 为 00,pmB 和 11,pmB ， 分别形成 于 0 1,1p ， 0 8m 和 111, 2 , 26pm， 同时被观察在 00,pm 的 选择 0 4,4x ， 我们 在 11,pm 的选择 满足 1 1 1px m 。 （ 1） 如果 0 x 和 1x 满足显示 性偏好 弱 公理， 1x 的 取值范围是多少？ 解 ： 两个预算约束 集的图形如下所示： 1x 2xAB C 若 0 x 和 1x 满足显示 性偏好 弱 公 理， 且在 00,pmB 时 消费者的选择位于 4,4A ， 而在 11,pmB 的 选择为 1x ， 则必有 1x 的 选择束位于 00,pmB 预算 约束集之外，在 11,pmB 的预算约束 集 之内 。 对于 B 点有 ： 1 2 1 1 2 2 824 2 6 6x x xx x x 因而 1x 的 取值范围应为 BC 段， 也即 1x 的 取值范围为 122 , 2 6 , 0 , 6xx （ 2）如果 0 x 和 1x 满足显示 性偏好 弱 公理 且 对第一种商品的偏好是拟线性的， 1x 的 取值范 围是多少？ 解 ： 如果 消费 者 对 1x 的偏好是 拟线性 的， 根据 拟线性 效用函数 的性质可知， 收入 的变化不 会 影响 2x 的 需求量，因此 在 11,pmB 的预算约束 集 之下 ， 2x 消费 的 临界点 为 4， 1x 的 选择范围 如下图的 DC 段 。 1x 2xAB CD 在 D 点 有 111 4 4 2 6 1 0 xx 因此 1x 的 取值范围为 121 0 , 2 6 , 0 , 4xx （ 3） 如果 0 x 和 1x 满足显 示 性偏好 弱 公理 且 对第 二 种商品的偏好是拟线性的， 1x 的 取值范 围是多少？ 解 ： 如果 消费 者 对 2x 的偏好是 拟线性 的， 根据 拟线性 效用函数 的性质可知， 收入 的变化不 会影响 1x 的 需求量，因此 在 11,pmB 的预算约束 集 之下 ， 1x 消费 的 临界点 为 4， 1x 的 选择范围 如下图的 EC 段 。 1x xA CDE 在 E 点 有： 221 4 4 2 6 5 .5xx 因此 1x 的 取值范围为 124 , 2 6 , 0 , 5 .5xx （ 4） 如果 0 x 和 1x 满足显 示 性偏好 弱 公理 且 偏好是位似偏好 ， 1x 的 取值范围是多少？ 解： 如果消费者 的偏好是位似偏好， 则 其收入提供曲线为通过原点的一条直线，也即在商 品价格保持不变的情况下，随收入变动而引起的最优选择点在一条直线上。 由题 知在 00,pmB 时 消费者的选择 0 4,4x ， 所以该直线的斜率为 1k ，因此 在 11,pmB 的 预算约束 集 之下 ， 1x 的 选择范围如下图的 FC 段 。 1x 2xAB CDEF 在 F 点 有： 1 2 1 1 2 2 : 1 : 1 5 .24 2 6 5 .2x x xx x x 所以 1x 的 取值范围为 125 .2 , 2 6 , 0 , 5 .2xx Section 4:不确定条件下 的选择 一 、 抽彩 （ 1） 抽彩空间的表示 （ 2） 最好 的抽彩 1L U L （ 3） 最差的 抽彩 0L U L 任何 一个具体的抽彩 L 都处于 L 和 L 之间 ， L 可以 与 L 和 L 的线性 组合无差异，也即 : 1 , 0 1L L L 1U L U L U L 圣彼得堡悖论 ： 出现 的原因在于人们不关注期望收入，而是关注期望效用。 二 、 抽彩 的性质 （ 1） 连续性 ：可能的 微小 变化不会影响两个抽彩 之间 的排序。 若 满足连续性，抽彩空间中 的哦任意抽 彩都可以用 L 和 L 的 线性组合来表示 。 （ 2）单调性 ： 在满足 连续性的前提下，如果 : 1 : 1L L L L L L ，则 。 也即 ，如果 参与者 认为 一个抽彩好于另一个 抽彩，则必然意味着前者得到的以最好 结果 表示 的概率比后者 得到 的 以 最好结果表示的概率更高。 （ 3）独立性 ： 11L L L L ， 则 LL ， 也即一个抽彩好于另一个抽 彩， 那么 加入一个新的抽彩形成的复合抽彩也不改变偏好次序。 三 、 冯诺伊曼 摩根斯坦 效用函数（ V-M 形式） 1n iiiU L pu 性质 1： 预期效用函数是线性的 性质 2： 存在性定理 。如果建立在抽彩空间上的偏好满足连续性、单调性和独立性，则存在 一个预期效用函数（ V-M 形式 ）使得： 当且 仅当 11 nn n n n niip u p u 时 ，有 LL . 性质 3： 线性变换并不改变偏好次序 。 若 LL .则 意味着 11 nn n n n niiU L p u U L p u ，那么 : 1 1 n nn i n nn i V L a U L b a p u b V L a U L b a p u b 0a ,必有 ： V L V L 四 、风险的类型 1、詹森 不等式 ： 对于 风险规避 者而言 对于任意一个抽彩 Fx， 他的期望财富 产生 的效用 不低于其预期效用，也即： u x d F x u xd F x 期 望 效 用 期 望 财 富 的 效 用 2、确定性 等值： 与风险 财富所产生的预期效用 UL等价 的贝努力效用 uC所 代表的财 富值 ， 也即 u C U L 。 假设 结果的概率分布 为 Fx， 密度函数为 fx， 则预期效用为： U L u x d F x u x f x d x 确定性 等值表示为： u C U L E u w u w c 上式 中 C 表示 确定性等值， w 表示 初始财富， 表示每项 结果的损益， c 表示 风险溢价（保 险费）。 3、 参与抽彩的条件 ： 参与 抽彩带来的预期 效用值不小于不参与 抽彩时初始财富值带来的效 用。 五 、风险的测度 1、 绝对风险系数： A uxrx ux ， 其中 x 表示 财富值 几种 特殊形式的效用函数： （ 1）对数 型 lnu x x ，绝对 风险规避系数与财富呈反方向变动。 （ 2）二次型 2u x a bx cx ， 风险规避系数与财富呈正 向 关系。 （ 3） 指数型 xu x e ， 风险规避系数为 常数 2、相对风险 规避系数： B uxr x x ux ，表明 面临风 险财富状态的人愿意支付的保险费 用 与其 财富 成 正比。 注意 ： 对于 风险规避者而言，其财富的效用函数是凹函数，也即 0ux ， 0ux 。 六 、 一阶 随机
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