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三、问题讨论 1. 黑体是否总是呈黑色 ? 黑色的物体是否都是黑体 ? 太阳光照射下黑体是否能无限制地升温 ? 答：单色吸收率恒等于 1的物体称为黑体， 这是一个理想模型。 作为理想模型的黑体，只是说它的单色反射率恒为零。 它不反射由外界辐射来的能量，但它本身仍要辐射能量。 黑体并不一定是黑色的， 它的颜色是由它自身所发射的辐射频率所决定的。 如果黑体的温度很低，则它辐射的能量很少， 辐射的峰值波长会远大于可见光波长，则呈现黑色。 如果黑体温度较高，辐射的能量大， 峰值波长处于可见光波段范围内，就会呈现各种颜色。 例如金属炼炉上的小孔可近似视为黑体， 而在高温工作条件下该小孔看上去十分明亮。 呈黑色的实际物体， 由于它的单色吸收率并不恒等于 1， 或者说它的单色反射率并不是恒为零， 一般不能称为黑体。 在太阳光照射下的黑体的温度也不会无限制地升温。 由基尔霍夫定律可知： 对某种波长的辐射吸收强烈的物体， 对这种波长的辐射本领也大。 在太阳光照射下的黑体吸收辐射能量使其温度升高的同时， 向外辐射的能量也增大。 当黑体的温度上升到某一值时， 吸收的辐射能量与发射能量处在动态平衡时， 温度就不再上升 2光电效应和康普顿效应都包含有 电子与光子的相互作用过程， 这两种过程有什么不同 ? 答：参与光电效应的金属电子是金属中的自由电子， 它不是完全自由的，而是被束缚在金属表面以内。 在光电效应中，通常是一个电子吸收一个光子的过程， 电子与光子的相互作用是 非弹性碰撞 。 在碰撞过程中能量守恒，动量不守恒， 金属材料必取走部分动量。 参与康普顿效应的散射物中的电子 在光子能量较大时可看做是完全自由的。 散射物中电子与光子的相互作用可近似看成 弹性碰撞 过程，满足动量和能量守恒定律。 光子把一部分能量传给电子后，光子散射出去， 所以散射光波长比入射光波长大。 /hP mvP 0m (吸收前 ) (吸收后 ) 对完全自由的电子不能有光电效应可作如下讨论 如果光子与电子作用后，被电子吸收。 在系统的质心系中看来： 作用前的光子和运动的电子， 按能量守恒定律： 2 0 2 cmmch 这意味着， mm 0 这违背相对论 因此，自由电子吸收光子的过程不可能发生， 对自由电子不能有光电效应。 光子与自由电子的相互作用只能产生康普顿效应。 作用后变成静止的电子。 22 0 /1 cv mm 3 X射线通过某物质时会发生康普顿效应， 而可见光则没有，为什么 ? 答：硬 X射线光子 其质量与电子静止质量差别不大， 而可见光光子的质量比电子静止质量小得多。 这样，按弹性碰撞理论， 可见光光子与自由电子碰撞后， 光子能量不会转移给电子， 即散射波长不会改变。 而可见光光子与束缚电子发生碰撞， 光子能量更不会转移给电子了。 nm1.0(波长比 小的 X射线称为硬 X射线 ) 由康普顿散射 nm0024.0 %0006.0400/0024.0/ nm0024.0 nm400如果入射光是波长 的可见光， 2/ 由上式可算出，当散射角 时， 如此小的波长偏移是不容易观察出来的。 所以可见光观察不到康普顿效应。 2/ 在同样的散射角 的情况下， 这个波长偏移是可以测出来的。 %4.21.0/0024.0/ )c o s1( 0 0 cm h nm1.0 的 X射线， 而对于波长为 2l 6L 0zL 6 zL zL 2zL 2zL 2lm 1lm 0lm 2lm 1lm z 4根据量子力学解出的氢原子角动量量子化条件 与玻尔理论的量子化条件有何区别 ? 答：量子力学解出的氢原子角动量量子化条件为 )1(,3,2,1,0 )1( nl llL 角动量的最小值可以为零。 角动量分量为 (角动量在某特殊方向如磁场方向 ) lm mL l lz ,1,0 2n 2L 0zL 2 zL zL 2zL 2zL 2m 1m 0m 2m 1m z 玻尔氢原子理论的角动量量子化条件为 ),3,2,1( nnL n nm mL z ,1,0 角动量的最小值不为零而是 角动量分量 b a 5粒子 a， b的波函数分别如图所示， 若用位置和动量描述它们的运动状态， 两者中哪一粒子的位置不确量较大 ? 哪一粒子的动量不确量较大，为什么 ? 答：由图可知， a粒子的波列长度大，其位置的不确定量较大。 不确定关系式 可知， a粒子的动量不确定量较小。 b粒子的波列长度小，则 b粒子的位置不确定量较小， 动量不确定量较大 2 xpx kE O A B 6图中直线 AB，表示光电子的 （ 1）图中 A点的频率表示什么 ? （ 2）对于不同的金属， 直线 AB的斜率是否相同 ? kE 初动能 与入射光频率 的关系 答：爱因斯坦的光电效应方程 km EAhmV 2/ 2 (1)对于 A点， 0kE hA /0 所以图中 A点的频率表示光电效应的红限频率。 (2) AB直线的斜率为 h 是普朗克常数，与金属的种类无关， 所以对于不同的金属，直线 AB斜率是相同的 g40 sm /10007质量为 的子弹，以 的速度飞行， 它的德布罗意波长是多少 ? 当子弹穿过小孔时，能否观察到衍射效应 ? 答：子弹德布罗意波长为 m mV h P h 35 33 34 1066.1 101040 1063.6 根据衍射理论， 只有当入射波波长与缝宽或障碍物的线度可比拟时， 衍射现象才明显。 子弹的德布罗意波长与缝宽或障碍物线度相比极小， 衍射效应无法观测，波动性显示出来， 子弹表现为粒子性 8自发辐射与受激辐射有何区别 ? 答：处于激发态的原子是不稳定的， 在没有任何外界作用下， 激发态原子会自发地辐射光子返回基态， 这一过程称为自发辐射。 自发辐射的过程是一个随机过程， 各个原子的辐射都是自发地、独立地进行的。 因而各个原子辐射出来的光子的相位、 偏振态以及传播方向之间没有确定的关系。 对大量原子来说，其所处的激发态也不尽相同， 因而辐射光子的频率也不同。 所以自发辐射的光是不相干的。 普通光源发光属于自发辐射。 受激辐射的过程是处于激发态的原子， 2E 1E 从高能级 跃迁到低能级 一个光子入射原子系统后， 可以由于受激辐射变为两个全同光子， 两个光子又可变为四个 ， 这就实现了光的放大。 受激辐射光放大是激光产生的基本机制。 hEE 12受到外来能量满足 的光子的刺激作用， ，同时辐射一个光子， 辐射出的光子与外来光子的 频率、相位、偏振态和传播方向均相同。 9在激光激活介质中，如果只用基态和某一激发态， 能否实现粒子数反转 ?为什么 ? 答：不能实现粒子数反转。 因为光和原子相互作用时， 同时存在吸收、自发辐射和受激辐射三种过程。 达到平衡时， 单位体积单位时间内通过吸收 从基态跃迁到激发态上的原子数，等于从激发态通过 自发辐射和受激辐射跃迁回基态的原子数。 故原子系统达到热平衡时，光的吸收占主导地位。 而激光是通过受激辐射来实现光放大的光， 产生激光的必要条件是 受激辐射过程胜过吸收和自发辐射， 在三个过程中占据主导地位。 按玻尔兹曼分布律，原子系统达到热平衡时， nE nN处于 能级上的原子数 遵从 )e x p ( kT EN n n 1E 2E 设激活介质中基态能级为 ，激发态能级为 两能级上的原子数之比为 1)e x p ( 12 1 2 kT EE N N 2N 1N 激发态的原子数目 小于基态上的原子数目 这叫粒子数的正常分布。 12 EE 要使受激辐射胜过吸收占优势， 2N 1N 必须使高能态的原子数 大于低能态的原子数 这种分布称为粒子数的反转分布。 要形成粒子数的反转， 首先要有能实现粒子数反转分布的激活介质。 激活介质要有亚稳态的能级结构， 所谓亚稳态是原子处于该态寿命较长的激发态， 这样才能实现 处于亚稳态的原子数多于处于下能级上原子数的反转分布。 原子处于亚稳态上，自发辐射的概率小， 自发辐射和受激辐射相比较，自发辐射是次要的， 可见选用具有亚稳态能级结构的激活介质 就可以使受激辐射最终处于优势。 由于基态能级十分稳定， 粒子处于基态的概率比处于任何激发态的概率都大， 不可能实现激发态与基态之间的粒子数反转。 如果要实现粒子数反转， 只能在除了基态以外的两个能级之间进行。 因此，如果要实现粒子数反转， 必须至少是三能级系统。 而且，粒子处于上能级的概率 比粒子处于下能级的概率大。 上能级 下能级 基 态 亚稳态 激光 由上能级（亚稳态） 到下能级的跃迁， 才有可能产生激光。 在激光谐振腔内，受激辐射发出的光， 沿轴线方向传播经过谐振腔反射在腔内形成光振荡，每次往复， 都会使处于反转状态的高能级上的粒子 受激辐射出更多的 同频率、同相位、同偏振态、同传播方向的光， 即进一步得到 光放大 。 而不沿轴线传播的光，经谐振腔有限次反射将逸出腔外， 从而只有沿轴向传播的光输出，即 方向性好 。 又因为在受激辐射的基础上，在腔内要形成稳定的振荡， 波长必须满足一定的条件，不满足条件的光将很快被衰减掉， 还要受选模条件的限制，所以输出光具有 良好的单色性 。 10激光谐振腔在激光形成过程中起哪些主要作用 ? 答：激光谐振腔的主要作用有三： 一是进一步得到光放大； 二是使激光的方向性好； 三是使激光单色性好。 11从能带的观点来看， 绝缘体、导体和半导体有什么区别 ? 答： 一般说来， 绝缘体 满带与空带的间隔即禁带宽度较大 满带中虽然有自由电子，但满带是不导电的。 在常温下，满带电子激发到上邻空带的概率很小， 对导电作用的贡献极微。 因此绝缘体几乎不具导电性。 eVeV 103 (约 )。 导体 具有未满带 (如 Li) 或满带和空带交叠也形成一个未满带 (如 Mg) 或者有未满带同时也有与空带交叠 (如 K)。 在外电场的作用下， 电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较高能级， 从而形成电流，具有导电性 半导体 的禁带宽度较窄 ( )， eVeV 21.0 在常温下， 满带电子激发到上邻空带的概率较大， 在电场作用下， 空带中的电子和满带中的空穴可以形成电流。 但导电性仍较导体为差而优于绝缘体 答：对于本征半导体， 导电特征是参加导电的正、负载流子的数目相等， 总电流是电子流和空穴流的代数和。 至于杂质半导体， n型半导体主要导电的载流子是电子， P型半导体主要导电的载流子是空穴。 这两种类型都是由杂质原子起主要导电作用， 杂质半导体中的电子跃迁到导带中去 (n型半导体 )， 或满带中的电子跃迁到杂质能级中来 (p型半导体 )， 都较本征半导体满带中的电子直接跃迁到导带容易， 所以少量的杂质就会 显著地影响导带中的电子数或满带中的空穴数。 因而少量杂质将会显著地影响半导体的导电性。 12本征半导体与杂质半导体，在导电性上有怎样的区别 ? 四、解题指导 例 1 在加热黑体过程中， m8.0 m4.0其最大单色辐射本领的波长由 变到 则其总辐射本领增加了几倍 ? 分析： m 最大单色辐射本领的波长是指峰值波长 由于黑体加热过程中， 1T 2T 相应的温度由 增加到 总辐射本领随温度的升高而变大， 并且与热力学温度的 4次方成正比。 m8.0 m4.0变到 最大单色辐射本领的波长由 解： 2 4.0 8.0 2 1 1 2 m m T T 40 )( TTE 162)( )( )( 44 1 2 1 0 2 0 T T TE TE 根据斯忒藩一玻尔兹曼定律，总辐射本领 CTm 由维恩位移定律 知 即总辐射率领增大为原来的 1 6倍。 例 kE O a b 光电效应中光电子的 最大初动能与 入射光频率的关系如图所示。 根据图，求： (1)逸出功； (2)红限； (3)如能确定普朗克常量， 请求之 a b ( ， 均为正值 )。 分析： kE O a b 由爱因斯坦光电效应方程 AhmVE mk 221 可见光电效应中光电子的 最大初动能与入射光频率 成线性关系。 直线的斜率就是普朗克常量， 直线截距的负值就是逸出功。 若要发生光电效应，入射光子的能量必须大于逸出功。 红限频率是指能够发生光电效应的最小入射光频率， 即光电子的初动能为零时，入射光频率。 kE O a b 解： 爱因斯坦光电效应方程 与图中直线对比可得： （ 1）因为直线的截距为 b 所以逸出功为 bbA )( a0 0 kE （ 2）对应于 时， a ，所以红限频率为 （ 3）直线的斜率为普朗克常量 a b a b h 0 0 AhmVE mk 221 例 以一定频率的单色光照射在某金属上， 测出其光电流的曲线如图所示。 然后在光强度不变的条件下增大照射光的频率， 测出光电流的曲线如图中虚线所示。 满足题意的图是哪个 ? 分析（ 1）： 截止电压： 在发生光电效应的前提下 （入射光子的能量大于逸出功）， 光电子具有一定的初动能向阳极自由冲去； 如果加一个反向电压，阻止向阳极自由冲去， 连最大初动能的光电子也刚好到达阳极 即被反向电压产生的电场拉回阴极， 从而没有光电流（光电效应已经发生）， 此时的反向电压，就是截止电压。 注意， 截止电压与入射光子的能量（频率）有关， 入射光子的能量越大，光电子的初动能越大， 截止电压越高，截止电压与光电子的初动能成正比。 分析（ 2）： 饱和电流： 在发生光电效应的前提下， 如果所加的正向加速电压足够大， 使得单位时间从金属表面逸出的光电子， 在单位时间内全部被阳极接收， 再增大正向电压， 也不会有更多的光电子到达阳极， 光电流达到了最大值，该光电流就是饱和电流。 注意 ，饱和电流与单位时间从金属表面逸出的 光电子数成正比， 与单位时间内入射到金属表面的光子数成正比； 在入射光频率一定的情况下，与光强成正比。 分析（ 3）： 光强： 单位时间，通过单位面积的光能量； 即单位时间， 通过单位面积的光子数与单个光子能量的乘积。 解： 由爱因斯坦光电效应方程 AhmVE mk 2 2 1 增大照射光的频率，因为金属的逸出功 不变， A 所以逸出的光电子的动能 增大， kE kc EUe c U 而 ，则遏止电压 增加。 由此分析可断定 (A)和 (C)是错误的。 解： 在光强度不变的条件下增大照射光的频率， 单位时间内照射到金属表面的光子数减少， 则单位时间内产生的光电子数减少， 饱和电流减小，故 (D) 是错误的。 在光强度不变的条件下增大照射光的频率， 应该是饱和电流减小、截止电压增大， 故只有 (B)图满足题意。 例 4 设康普顿效应中 入射 X射线 (伦琴射线 )的波长 nm0700.00 散射的 X射线的波长 nm0720.0 分析： 且散射的 X射线与入射的 X射线垂直。求： (2)反冲电子运动的方向与入射的 X射线之间的夹角 KE (1)反冲电子的动能 康普顿效应中， 入射光子与自由电子发生完全弹性碰撞， 遵守能量守恒定律和动量守恒定律。 入射光子将部分能量转移给电子， 散射光子的能量比入射光子的能量小，波长变长。 解： Vm P 0P )c o s1(0 cm h e 2/ cm h e 0 0P 0 P 设 、 和 、 由康普顿散射公式 因为入射 X射线与散射 X射线垂直， 所以散射 X射线的波长为 分别为入射与散射光子的动量和频率， Vm 为反冲电子的动量。 2cm e 0h 2mc h KE 反冲电子的动能 (1)根据能量守恒定律 hmchcm e 202 hcmchccm e 2 0 2 再根据爱因斯坦相对论，反冲电子的动能为 JhchchccmmcE eK 17 0 0 0 22 1089.7)( Vm P 0P VmPP 0 972.0 0720.0 0700.0 / /t a n 0 00 h h P P 02.44 (2)根据动量守恒定律 由图知 反冲电子运动的方向与入射的 X射线之间的夹角 例 5 nm5.0 一光子的波长与一电子的德布罗意波长皆为 oP eP 此光子的动量 与电子的动量 之比为多少 ? oE eE 光子的动能 与电子的动能 之比为多少 ? 分析： 由爱因斯坦光子理论和德布罗意物质波理论， 可以求得某一波长的光子和电子的动量。 粒子的动能是其总能量与静止能量之差， 光子的静止质量为零，静止能量为零， 光子的动能即为其总能量； 电子的动能很小，可以不考虑相对论效应。 解： 1/ eo PP /hP 由物质波公式 oo hP / 光子的动量为 ee hP / 电子的动量为 eo 因为 ，所以 oP eP 此光子的动量 与电子的动量 之比为多少 ? 解： cPEE oo e e ee m PVmE 22 1 22 2 2 1012.4 22 )2/( h cm P cm mP cP E E ee e e ee o e o 因为光子的静质量为零，所以光子的动能即为总能量 在不考虑相对论效应的条件下，电子的动能为 由此得到光子的动能与电子的动能之比为 oE eE 光子的动能 与电子的动能 之比为多少 ? 讨论： 24222 cmcmcPE eeee 电子动能的相对论公式为 3 2 1085.4 cm cP e e 由于 ， 可以不考虑相对论效应。 eE 由此说明电子的动能 很小， 例 6 氢原子光谱的巴尔末线系中， L K 和 各为多少 ? 请在氢原子能级图中表示出来， 并标明波长最短的是哪一条谱线 ? nm434有一光谱线的波长为 ，试求： (1)与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特 ? LE KE (2)该谱线是氢原子由能级 跃迁到能级 产生的， 5n (3)大量氢原子从 能级向下能级跃迁， 最多可以发射几个线系，共几条谱线 ? 分析： 氢原子光谱的巴尔末线系是可见光， 是由高能级向第一激发态（ ）的跃迁。 2E 大量氢原子从 能级（第四激发态）向下能级跃迁， 5n 除基态外，也可以跃迁到第一、二、三激发态； 第三激发态又可以向基态、第一、二激发态跃迁； 第二激发态又可以向基态、第一激发态跃迁； 第一激发态又可以向基态跃迁。 由高能态向基态跃迁，组成赖曼线系； 由高能态向第一激发态跃迁，组成巴尔末线系； 由高能态向第二激发态跃迁，组成帕邢线系； 由高能态向第三激发态跃迁，组成布喇开线系。 最短波长的光，光子的能量最大， 即从最高能态向最低能态跃迁所辐射的光子。 解： eVhch 86.2 2K eVeVEE 4.3 4 6.13 2 2 1 2 eVeVeVEhE L 54.04.386.22 22 1 6.1354.0 L eV L EeVE L 5 54.0 6.131 LE EL (1)光子能量 (2)由于此谱线是巴尔末线系，所以 5 eV54.0 4 eV85.0 3 eV81.1 2 eV4.3 1 eV6.13 5n 4n 3n 2n 赖曼系 （紫外区） 巴耳末系 (可见区 ) 帕邢系 (红外区 ) 布喇开系 5 eV54.0 4 eV85.0 3 eV81.1 2 eV4.3 1 eV6.13 最短波长 5n(3)从 能级 向下能级跃迁， 1n向 跃迁的谱线。 可以发射 4个线系 共有 10条谱线 波长最短的是 5n由 1 n 2 n 3 n 4 n 赖曼系中 分析： 例 具有下列哪一能量的光子， 2n能被处在 的能级的氢原子吸收？ eVDeVCeVBeVA 40.2).(15.2).(89.1).(51.1).( 当入射光子的能量刚好等于某一 使氢原子跃迁到该高能态。 2n 处在 的能级的氢原子才能吸收这一光子， 2n 的能级之差时， 氢原子高能态与 解： 12 1 E nE n eVE 6.131 eVE 6.131 eVEE 4.3 4 1 12 eVEE 51.1 9 1 13 eVEE 85.0 16 1 14 对氢原子，其能级 1n基态 （ ） 2n第一激发态（ ） 3n第二激发态（ ） 4n第三激发态（ ） eVEEE 89.1231 需吸收能量 2n 3n处在 能级的氢原子向 能级跃迁时 4n2n 处在 能级的氢原子向 能级跃迁时 需吸收能量 eVEEE 55.2242 eV89.1故只有 的光子才能 2n 的能级的氢原子吸收 被处在 3n 能级上 使之跃迁到 eVDeVCeVBeVA 40.2).(15.2).(89.1).(51.1).( eVE 6.131 eVE 4.3 2 eVE 51.13 eVE 85.04 例 8 kVU 9 电视机显象管中电子的加速电压为 mmx 50.0电子枪枪口直径取 mL 30.0枪口离荧光屏的距离为 求荧光屏上一个电子亮斑形成的直径。 这样大小的亮斑影响电视的清晰度吗？ 分析： 加速的电子从枪口出射时， 在垂直于出射方向有一个位置不确定量（枪口直径）。 根据不确定原理，电子从枪口出射时， 应该垂直于出射方向有一个速度分量。 电子在高速射向荧光屏的同时，还有横向速度， 使得大量电子在荧光屏上形成一个散斑。 x mL 30.0 V V 2 l x mL 30.0 V V 2 l 解： 电子离开枪口时，纵向速度为 sm m eUV /106.52 7 电子在离开枪口时，最大横向不确定量为 mmx 50.0 smxmmpV x /116.02 x mL 30.0 V V 2 l 2/ xpx nmV VLLl 2.12)t a n(2 根据不确定关系 电子在离开枪口时，最大横向速度为 亮斑线度为 不会影响电视的清晰度。 分析： 例 ix Ax 1 )( x 有一粒子沿 轴方向运动，其波函数为 （ 1）将此波函数归一化： （ 2）求粒子按坐标的概率分布函数； （ 3）问在何处找到粒子的概率最大 在整个一维空间找到粒子的概率为 1， 由此可以将波函数归一化； 归一化波函数模平方即为概率分布函数。 解： （ 1）波函数的归一化 2 2 2*2 1 1 11)()()(1 AdxxAdxix A ix Adxxxdxx /1A ix x 1 11)( 2 2 1 11)()( x xxw 归一化常数为 归一化波函数为 （ 2）按坐标的概率分布函数 0x w（ 3）当 时， 最大