资源描述
1 第8章线性控制系统的状态空间综合法 2 本章主要内容8.1 引言8.2 状态反馈与输出反馈（掌握）8.3 闭环系统的极点配置（掌握）8.4 李雅普诺夫第二方法与线性二次型最优控制（了解）8.5 状态观测器（掌握） 8.6 带有观测器的状态反馈控制系统（了解）8.7 鲁棒控制系统（了解） 3 状态空间法综合的基本概念综合问题的三大要素:受控系统、性能指标、反馈控制律（状态反馈、输出反馈）综合与设计的主要特点:以采用状态反馈为主具有较系统的综合理论基于非优化型指标的极点配置方法基于优化类性能指标的目标函数极值法8.1 引言 4 8.2.1状态反馈8.2.2输出反馈8.2.3 状态反馈与输出反馈比较8.2状态反馈与输出反馈 5 1. 状态反馈Cxy BuAxx Kxru 加入状态反馈后的系统结构图 闭环传函？状态方程？8.2.1 状态反馈K-r B CAx xu y 6 xCy Brx)BKA(x 程为状态反馈系统的状态方 B)BKAsI(C)s(G 1 数为状态反馈系统的传递函综合的手段：改变 K 阵的参数综合的目的：改变系统矩阵，从而改变系统的特性注：状态反馈通常只用系数阵即可满足要求， 一般不需要采用动态环节A A BK 特征方程： 0det(sI A BK) 7 Hyru Cxy Brx)BHCA(x 传递函数分别为反馈系统的状态方程和8.2.2. 输出反馈Cxy BuAxx B CAx xu yH-r B)BHCAsI(C)s(G 1 但反之不成立， ，一定有对于任意的 HCK H K比较：状态反馈为 8 反馈功能：状态反馈完全反馈输出反馈不完全反馈反馈作用：两种反馈均可改变系统的特征方程和特征值；输出反馈可视为状态反馈的一种特例。3. 状态反馈与输出反馈比较对可控可观测性的影响状态反馈不改变可控，改变可观测性；若原来系统可控，加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也可控。若原来系统不可控，不论用什么k 阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不可控.输出反馈不改变观测性也不改变可控性 9 对系统(A,B,C)引入输出反馈系统(A-BHC,B,C) 引入状态反馈系统(A-BK,B,C) 0rank I A BHC,B Irank I A,B HC I=rank I A,B 0rank I A BK,B Irank I A,B K I=rank I A,B 0I A BHCrank CI BH I Arank I CI A=rank C 输出反馈不改变观测性也不改变可控性状态反馈不改变可控，改变可观测性； 10 系统的动态方程如下 xccy,u10 x10 11x 21下表列出了系统 c 阵参数、状态增益向量 k 和系统可观测性的关系。3. 状态反馈与输出反馈比较对可控可观测性的影响状态反馈不改变可控，改变可观测性； 11 可观 任意 可观01 可观 1 111 不可观 1 2 可观11 不可观 0 110 可观 1 1 不可观10 闭环系统 k 原系统 c2 c1 可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化、是否发生零极点对消来说明。状态反馈不改变可控，改变可观测性；3. 状态反馈与输出反馈比较 12 对系统稳定性影响状态反馈和输出反馈均能影响系统的稳定性；加入反馈，使闭环系统成为稳定系统，称为镇定；当且仅当线性定常系统的不可控部分渐进稳定时，系统是状态反馈可镇定的。3. 状态反馈与输出反馈比较物理实现：输出反馈易状态反馈难 13 8.3 闭环系统的极点配置8.3.1 极点配置条件8.3.2 极点配置算法8.3.3 应用MATLAB求解极点配置问题8.3.4 控制系统的镇定问题主要是讲： 状态反馈的极点配置 通过选取反馈增益阵来改变闭环特征值（极点）在复平面上的位置，称为极点配置问题。 14 8.3.1极点配置条件：全部闭环极点的充要条件为： 系统状态完全可控说明：可以适用于SISO，也可适应于MIMO通过状态反馈Cxy BuAxx Kxru 对于 可任意配置 的根可以任意设置。 反馈系统特征方程即状态可控的前提下， )s()s)(s(BKAsIdet n21 （1）利用状态反馈的极点可配置条件 极点配置定理 15 在极点配置定理中，“任意配置”是和系统可控等价的。若不要求任意配置，就不一定要求系统可控。因此给定一组期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值时，才是可配置的。 说明: 16 8.3.2 SISO的极点配置算法令 状态反馈系统的特征多项式 = 希望特征多项式 * * *1 2det *( )( )( ) ( )nsI A bk f ss s s 对比方程两边的s的同幂次项系数，确定反馈增益矩阵k。 直接法目的：确定状态反馈增益阵k三种方法：直接法、可控规范形、阿克曼公式根据系统的综合要求，确定一组期望的闭环极点* * *1 2 n ， ， 17 u001x310 011 011x 试通过状态反馈，将系统的闭环极点配置为3j2,1 3,21 例： 设系统的状态方程为 100 010 211BAABBQ 2c解： 显然满秩，所以系统可控。 18* * * 3 21 2 3 5 17 13 *( ) ( )( )( )f s s s s s s s 项式为状态反馈系统的特征多 )6k3k3k(s)2k2k(s)3k(s kkk001310 011 011s00 0s0 00sdet BKAsIdet)s(f 12312213 321 *( ) ( )f s f s令 得 136k,35k,8k 321 136358K 所以状态反馈阵为而系统希望的特征多项式为： 19 仿真结构图 取 D=0, C=I)t(x 20 仿真结果：零状态响应x 1x3x2 )t(1)t(r 21 仿真结果：零输入响应x1x3 x2 15.010)0(x初始状态 22 设系统状态方程为2 0 0 10 1 0 10 0 1 1x x u- -2,-1,-1解： 由可控性的约当型判据，可知这一系统是不可控的。系统的特征方程为通过状态反馈，将系统的闭环极点配置为特征根为=2和 = -1（重根） ，由PHB判据可知， 其中有一个不可控的特征值为= -1 22 1 0det(sI A) (s )(s ) = 23 课堂练习： 但若指定闭环特征值为 -2 ,-2,-2 ，K=？ 2 3 22 1 4 5 2f*(s) (s )(s ) s s s 项式为状态反馈系统的特征多3 23 2 1 1 2 3 1 2 33 2 3 2 2 2f(s) detsI A BKs ( k k k )s ( k k k )s (k k k ) 得令 )s(f)s(*f 1 2 34 0 0k , k , k 4 0 0K 系统希望的特征多项式为： 反馈增益矩阵 2 0 0 10 2 0 10 0 1 1x x u- 24 8.3.4 控制系统的镇定问题(了解）1.镇定的定义将给定的不稳定受控系统，通过状态反馈或输出反馈，使所导出的系统变为稳定的系统。镇定问题是极点配置问题的一个特例。2.状态反馈可镇定条件线性定常受控系统可由状态反馈镇定的充要条件为：系统不可控部分是渐进稳定的。 25 说明 如果系统不完全可控，状态反馈可任意配置闭环极点的个数等于系统的可控状态变量个数； 就状态可控的单变量(SISO)系统而言，引入状态反馈并不改变系统传递函数的零点（不适用于MIMO），除非出现零极点相消(当出现零极点相消时，改变原来系统的可观测性)； 状态反馈不能保证稳态性能，一般存在稳态误差，可引入积分等动态环节来改善； 采用输出反馈一般不能任意配置全部闭环极点。 26 8.5 状态观测器8.5.1 全维状态观测器8.5.2 降维状态观测器 27 状态反馈需要状态信息，而状态变量一般不能直接测量，可利用状态观测器来估计系统状态目标:利用受控系统可直接测量的输出 y(t)和控制u(t)来重构系统的状态，使重构状态x渐近趋于受控系统状态x为何需要状态观测器？lim ( ) ( ) 0 t x t x t ( 28 状态观测器的初步构想：B CAx xu yB Ax x BuxAxBuAxx 利用状态方程 ?xxxe 如何消除误差,xx 但一般受控系统观测器 状态估计值 29 如何利用输出误差消除状态估计误差？B CAx xu yB Ax x eyCH y- HyBux)HCA()xCy(HBuxAx 观测器的状态方程为 H:观测器的增益矩阵 30 B CAx xu yB AHCx xH状态观测器 HyBux)HCA()xCy(HBuxAx 观测器的状态方程为 AHC 的特征值为状态观测器的极点称为全维状态观测器的维数相同，与xx2. 全维状态观测器构成 31 ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = ) e e ex x x Ax Bu A HC x Bu HyA x x Hy HCxA x x HCx HCxA HC x x x x其中 0)t(x0)HCA( e 的特征值 B CAx xu yB AHCx xH 状态观测器 lim ( ) ( ) 0t x t x t ( 32 状态观测器的极点配置的特征值配置 度取决于状态估计误差的衰减速 HCAx)HCA(x ee （对偶性） 的特征值配置问题的极点配置问题，即 于基于状态反馈的特征值配置问题等同 BKAHCA )HCAsI(det)HCAsI(det TTT 状态观测器的闭环极点可任意配置的充要条件为 系统状态完全可观测 33 x100y u001x310 011 011x 求状态观测器，使其特征值为 3321 例： 设系统的状态空间表达式为 921 310 100CACACQ 2o解： 显然满秩，所以系统状态可观测。状态方程同前面极点配置例 3427s27s9s)3s()s(*f 233 项式为而观测器希望的特征多 观测器的特征多项式为 )6h2hh(s)2h(s)3h(s 100hhh310 011 011s00 0s0 00sdet HCAsIdet)s(f 3212233 321 得令 )s(f)s(*f 12h,29h,74h 321 T122974H 观测器的反馈系数阵为 35y1229 74u001x910 2911 7411 HyBux)HCA(x 观测器的状态方程为 36 8.5.2 降维状态观测器（了解）1.降维状态观测器的基本概念基本思路对受控系统引入线性变换，使变换后的状态方程明显地揭示出系统输出所含的状态信息； 观测器。 状态子系统构造一个全维的只需针对 ；以外的需要构造的是除可由输出直接得到；部分状态 2 211x xxyx 37 x Ax Buy Cx rankC q个线性独立的输出即系统有q设经过线性变换x Px 注意：与前面的定义不同 1 22 x y Cx Cx x Pxxx Rx R可使 38 RCPP的构造方法为：可见 矩阵行线性无关且与 的实数矩阵，行满秩为其中C n)qn(R 1 11 11 12 221 22 211 120 q x BA Ax PAP x PBu uxA A Bxy CP x I xx2. 降维状态观测器的综合方法（p266） 39 8.6.1闭环系统结构与分离性原理8.6.2带观测器的状态反馈系统的基本特性8.6 带有观测器的状态反馈控制系统 40 8.6.1闭环系统结构与分离性原理1.直接状态反馈系统B CAK-r(p维） u x(n维） y ( )x A BK x Bry Cx该系统的维数与综合前的受控系统一样 u r Kx 41 2. 基于状态观测器的状态反馈系统B CAx xu yB AHCx xH观测器 xKru （ ）x Ax BK Brx A HC x Bu Hyy xCxK r - 42 基于观测器的状态反馈系统为 xx0Cy rBBxxBKHCAHC BKAxx e exx0Cy r0BxxHCA0 BKBKAxxe 得引入线性变换 xxII 0Ixx nnne带观测器的状态反馈系统的维数 =受控系统维数+观测器维数 43 极点配置的分离性原理)HCAsIdet()BKAsIdet( HCA0 BKBKAsIdet 馈系统的特征多项式为带状态观测器的状态反状态观测器、状态反馈两部分的极点可以分别独立地进行配置。注：为使观测器的状态估计值较快地实际状态，一般取观测器极点的负实部为状态反馈系统极点负实部的23倍上式说明了什么？ Re ( ) (2 3)Re ( )i iH A C A-BK 44 1.闭环传递函数的不变性 11 11 1 )HCAsI(BK)BKAsI(M 0B)HCAsI(0 M)BKAsI(0C 0BHCAsI0 BKBKAsI0C)s(R )s(Y 其中 B)BKAsI(C)s(R )s(Y 1闭环传递函数等同于直接状态反馈的情况；观测器的引入不影响闭环传递函数 8.6.2带观测器的状态反馈系统的基本特性 45 8.6.2带观测器的状态反馈系统的基本特性 e exx0Cy r0BxxHCA0 BKBKAxxe 可控性分解注意到上式是可控性分解的形式，不可控部分 A-HC （这说明观测器的所有模态均是不可控的模态）2.观测器是状态反馈系统的不可控部分 46 x100y u001x310 011 011x （1）要求状态观测器的特征值为 3321 仿真例： 系统的状态空间表达式同前面例（2）通过状态反馈将系统的闭环极点配置为1321 （3）仿真验证观测状态对实际状态的跟踪情况， 并比较有无观测器的响应情况（分有无模型 误差、有无扰动）。 47 T122974H 观测器的反馈系数阵为解：前面已求出 64176K 状态反馈系数矩阵为 y122974u001x910 2911 7411 HyBux)HCA(x 观测器的状态方程为 48 直接状态反馈系统的结构图取 D = 0 C = I )t(x 49 基于观测器的状态反馈系统结构图取 D = 0 C = I )t(x )t(x 001122974B 50 没有模型误差和扰动时的仿真结果 51 状态变量的零状态响应x 1x3x2 )t(x)t(y 3有无状态观测器结果一样 3,2,1i,xx ii )t(1)t(r 52 无观测器的状态变量：零输入响应x1 x3x2 5.0 11)0(x 53 有观测器的状态变量：零输入响应x1x3x2 5.0 11)0(x1x 2x3x 3,2,1i xx ii 平稳性和快速性都劣于无观测器时 54 同时考虑输入和初始状态的输出响应有观测器 5.0 11)0(x )t(1)t(r 无观测器 有观测器的性能劣于无观测器时 55 有模型误差和扰动时的仿真结果 56 有输出扰动时观测器状态变量的收敛性实际的受控对象为 模型准确。状态反馈同前，并假设 初始状态参考输入为 0)0(x),t(1)t(r )15t(15.0 x100y u001x310 011 011x 扰动 57 基于观测器的状态反馈系统结构图（有输出端扰动）)t(x )t(x 001122974B 58 状态变量的收敛性1 1x 1x状态变量的误差不0 59 状态变量的收敛性2 2x 2x 状态变量的误差不0 60 状态变量的收敛性3结论：存在扰动时，即使模型准确，也不能保证状态变量的误差0 3x3x状态变量的误差不0 61 有模型误差时观测器状态变量的收敛性 没有扰动。状态反馈同前，并假设 初始状态参考输入为 0)0(x),t(1)t(r u001x310 011 011x u0001.1x310 011 0101.1x 实际的受控对象受控对象模型受控对象模型失配： 1.02 时发散 62 状态变量的收敛性1 1x 1x状态变量的误差不0 63 状态变量的收敛性2 2x2x状态变量的误差0 64 状态变量的收敛性3结论：存在模型误差时，即使没有扰动，也不能保证状态变量的误差0 3x3x放大后看，状态变量的误差不0 65 有模型失配时比较有无观测器的状态响应（鲁棒性）u001x310 011 011x u001.1x310 011 011.1x 实际的受控对象受控对象模型 5.0 11,0)0(x),t(1)t(r 初始状态输入信号受控对象模型失配： 没有扰动。状态反馈同前，并假设 66 直接状态反馈系统的鲁棒性x1x3 x 2x1x3 x2xi 对应模型准确时xi 对应模型失配时 67 有观测器时状态反馈系统的鲁棒性（初始值为零）模型失配时状态变量全部发散！ 1x 2x3x 1x 2x3x量为观测器估计的状态变为实际系统的状态变量 iixx 68 有观测器时状态反馈系统的鲁棒性（初始值不为零）模型失配时状态变量全部发散！ 1x 2x3x1x 2x3x量为观测器估计的状态变为实际系统的状态变量iixx 69 结论 闭环传递函数的不变性只是说在初始状态为零、没有扰动、且模型准确时，引入观测器前后的输入输出特性不变； 在初始状态不为零、或有扰动、或模型不准确时，有观测器的状态反馈系统的性能通常都不如直接状态反馈系统。 70 “状态空间法2”习题 B8.1; B8.4; B8.18; B8.19 End 71 基本要求 （1）正确理解利用状态反馈任意配置系统极点的有关概念，熟练掌握按系统指标要求确定状态反馈矩阵的方法。 （2）正确理解分离定理，熟练掌握依状态观测器要求设计观测器的方法，并会用之构成状态反馈控制系统。
展开阅读全文