热力学与统计物理学思考题及习题.pdf

热力学与统计物理学思考题及习题 第一章 热力学的基本定律 1 .1 基 本 概 念 1 试 求 理 想 气 体 的 定 压 膨 胀 系 数 、 定 容 压 强 系 数 和 等 温 压 缩 系 数 。2 假 设 压 强 不 太 高 ， 1 摩 尔 实 际 气 体 的 状 态 方 程 可 表 为 , 式 中 只 是温 度 的 函 数 。 求 和 ， 并 给 出 在 时 的 极 限 值 。3 设 一 理 想 弹 性 棒 ， 其 状 态 方 程 是 式 中 是 常 数 ， 是 张 力 为 零 时棒 的 长 度 ， 它 只 是 温 度 的 函 数 。 试 证 明 ：(1 ) 杨 氏 弹 性 模 量 ；(2 ) 线 膨 胀 系 数 ， 其 中 ， A为 弹 性 棒 的 横 截面 积 。 4 某 固 体 的 ， ， 其 中 、 为 常 数 ， 试 用 三 种 方 法 求 其 状 态 方 程 。5 某 种 气 体 的 及 分 别 为 ： , ,其 中 、 、 都 是 常 数 。 求 此 气体 的 状 态 方 程 。 6 某 种 气 体 的 及 分 别 为 ： ， 。 其 中 是 常 数 。 试 证 明 ：(1 ) ；(2 ) 该 气 体 的 状 态 方 程 为 ： 。 7 简 单 固 体 和 液 体 的 体 胀 系 数 和 压 缩 系 数 的 值 都 很 小 ， 在 一 定 的 温 度 范 围 内 可 以 近 似 视 为 常 数 。 试 证 明 其 状 态 方 程 可 表 为 ： 。 8 磁 体 的 磁 化 强 度 m 是 外 磁 场 强 度 H 和 温 度 的 函 数 。 对 于 理 想 磁 体 ， 从 实 验 上 测 得 ： ， ， 。 其 中 是 居 里 常 数 。 试 证 明 其 状 态 方 程 为 ： m = 。 9 求 下 列 气 态 方 程 的 第 二 、 第 三 维 里 系 数 ： (1 ) 范 德 瓦 耳 斯 方 程 ； (2 ) 克 劳 修 斯 方 程 。 1 .2 热 力 学 第 一 定 律1 1 摩 尔 范 德 瓦 耳 斯 气 体 ， 在 准 静 态 等 温 过 程 中 体 积 由 膨 胀 到 ， 求 气 体 所 作 的 功 。 2 某 种 磁 性 材 料 ， 总 磁 矩 与 磁 场 强 度 关 系 是 ， 其 中 是 材 料 的 体 积 ， 为 磁 化 率 ， 在 弱 磁 场 中 某 一 温 度 区 域 内 ， 为 常 数 ， 现 保 持 体 积 恒 定 ， 通 过 下 列 两 个 过 程 使 增 加 为 ： (1 ) 等 温 准 静 态 地 使 增 加 为 ； (2 ) 保 持 恒 定 ， 使 温 度 由 变 为 。 试 在 图 上 画 出 过 程 曲 线 ， 并 确 定 环 境 所 作 的 功 。 3 理 想 气 体 经 由 图 中 所 示 两 条 路 径 ； 准 静 态 地 由 初 态 变 化 A (p1V 1T1) B C(p2V 2T2) D V p 到 终 态 ： 试 证 明 ： (1) 内 能 是 状 态 的 函 数 ， 与 路 径 无 关 。 (2) 功 和 热 量 与 过 程 有 关 。 题 3 图 4 小 振 幅 纵 波 在 理 想 气 体 中 的 传 播 速 度 为 , 为 周 围 气 压 ， 为 相 应 气 体 的 密 度 。 试 导 出 ： (1) 等 温 压 缩 及 膨 胀 时 气 体 中 的 声 速 ； (2) 绝 热 压 缩 及 膨 胀 时 气 体 中 的 声 速 。 5 设 理 想 气 体 的 是 温 度 的 函 数 ， 试 求 在 准 静 态 绝 热 过 程 中 和 关 系 。 在 这个 关 系 中 用 到 一 个 函 数 ， 其 表 达 式 为 。6 一 固 体 的 状 态 方 程 为 ， 内 能 为 ， 其 中 都 是 常 数 ， 试 计 算 和 。7 热 容 量 为 （ 常 数 ） 、 温 度 为 的 物 体 作 为 可 逆 机 的 热 源 ， 由 于 热 机 吸 热 作 功 而 使 物 体的 温 度 降 低 。 设 冷 源 的 温 度 为 ， 试 求 出 当 物 体 的 温 度 由 下 降 到 的 过 程 中 所 放 出 的 热 量 有 多 少 转 换 成 机 械 功 ？ 不 能 作 功 的 热 量 有 多 少 ？8 有 一 建 筑 物 ， 其 内 温 度 为 ， 现 用 理 想 热 泵 从 温 度 为 的 河 水 中 吸 取 热 量 给 建 筑 物 供 暖 ，如 果 热 泵 的 功 率 （ 即 转 换 系 数 ） 为 ， 建 筑 物 的 散 热 率 为 ， 为 常 数 。 (1 ) 求 建 筑 物 的 平 衡 温 度 ； (2 ) 如 果 把 热 泵 换 为 一 个 功 率 为 的 加 热 器 直 接 对 建 筑 物 加 热 ， 说 明 为 什 么 不 如 用 热 泵 合 算 。 * 9 讨 论 以 热 辐 射 为 工 作 物 质 的 卡 诺 循 环 。 辐 射 场 的 内 能 密 度 由 斯 忒 藩 玻 耳 兹 曼 定 律 给 出 ， 式 中 为 绝 对 温 度 ， 为 常 数 ， 辐 射 压 强 由 状 态 方 程 给 出 。 1 .3 热 力 学 第 二 定 律 1 从 同 样 的 态 到 态 ， 若 是 可 逆 过 程 ， 则 ， 若 是 不 可 逆 过 程 ， 则 。 有 人 认 为 上 两 式 右 端 一 样 ， 但 一 个 是 等 式 ， 另 一 个 是 不 等 式 ， 可 见 熵 与 过 程 有 关 ， 或 者 说 ， 仅 在 可 逆 过 程 中 ， 熵 是 态 函 数 。 特 别 是 仅 对 可 逆 过 程 成 立 ， 所 以 熵 不 是 态 函 数 。 这 种 认 识 对 吗 ？ 为 什 么 ？ 2 已 知 态 的 熵 小 于 态 的 熵 ， 由 熵 增 加 定 理 ， 这 是 否 意 味 着 由 态 不 可 能 通 过 一 个 不 可 逆 过 程 到 达 态 ？ 3 如 图 所 示 的 循 环 过 程 ， 热 机 吸 收 热 量 多 少 ？ 作 功 多 少 ？ 效 率 多 少 ？ 3 0 0 T 0 5 0 0 0 1 0 0 0 4 0 0 S A B C 题 3 图 4 在 宇 宙 大 爆 炸 理 论 中 ， 初 始 局 限 于 小 区 域 内 的 辐 射 能 量 以 球 对 称 方 式 绝 热 膨 胀 ， 随 着 膨 胀 ， 辐 射 冷 却 。 已 知 黑 体 辐 射 能 密 度 ， 辐 射 压 强 ， 其 中 为 常 数 。 设 时 熵 为 零 ， 求 熵 的 表 达 式 以 及 温 度 与 辐 射 球 半 径 的 关 系 。 5 有 和 两 个 容 器 ， 每 个 容 器 内 都 包 括 含 有 个 相 同 的 单 原 子 分 子 理 想 气 体 温 表 ， 起 初 这 两 个 容 器 彼 此 绝 热 ， 两 容 器 内 气 体 的 压 强 均 为 ， 温 度 分 别 为 和 。 现 将 两 个 容 器 进 行 热 接 触 ， 但 各 自 的 压 强 仍 保 持 在 值 不 变 ， 试 求 二 者 热 平 衡 后 整 个 系 统 的 熵 变 量 。 6 两 部 分 完 全 相 同 的 经 典 理 想 气 体 ， 具 有 相 同 的 压 强 和 粒 子 数 ， 但 它 们 分 别 装 在 体 积 为 和 容 器 中 ， 温 度 分 别 为 和 。 现 将 两 容 器 接 通 ， 试 求 其 熵 的 改 变 量 。 7 两 相 同 的 理 想 气 体 ， 开 始 分 别 处 于 两 个 大 小 不 同 的 容 器 中 ， 它 们 具 有 相 同 的 温 度 和 相 同 的 粒 子 数 ， 但 具 有 不 同 的 压 强 和 。 现 将 两 个 容 器 连 通 ， 使 两 个 容 器 内 的 气 体 通 过 扩 散 达 到 平 衡 ， 在 此 过 程 中 系 统 与 外 界 无 热 量 交 换 也 未 作 功 ， 求 其 熵 的 改 变 量 。 8 已 知 水 的 比 热 为 。 (1 ) 有 的 水 与 的 大 热 源 接 触 ， 当 水 温 达 到 后 ， 水 的 熵 改 变 了 多 少 ？ 热 源 的 熵 改 变 了 多 少 ？ 水 与 热 源 的 总 熵 改 变 了多 少 ？ (2 ) 若 的 水 先 与 的 热 源 接 触 达 到 平 衡 ， 再 与 的 热 源 接 触 达 到 平 衡 ， 则 整 个 系 统 的 熵 改 变 了 多 少 ？(3 ) 若 使 整 个 系 统 的 熵 不 变 ， 水 应 如 何 从 变 至 ？9 在 1 atm和 略 低 于 的 条 件 下 ， 水 的 比 热 为 ， 冰 的 比 热 为 ， 为 摄 氏 温 度 ， 冰 的 熔 解 热 为 。 试 计 算 温 度 为 的 过 冷 水 变 为 的 冰 后 熵 的 改 变 量 ， 并 判 定 此 过 程 能 否 自 动 进 行 。1 0 有 两 个 相 同 的 物 体 ， 其 热 容 量 为 常 数 ， 初 始 温 度 为 。 今 让 一 致 冷 机 在 此 两 物 体 之 间 工 作 ， 使 其 中 一 个 物 体 的 温 度 降 低 到 为 止 。 假 设 物 体 维 持 在 定 压 下 并 且 不 发 生 相 变 ， 证 明 此 过 程 所 需 的 最 小功 为 。1 1 有 两 个 相 同 物 体 ， 初 温 各 为 和 ， 有 一 热 机 工 作 于 此 两 物 体 之 间 ， 使 两 者 温 度 变 成 相 等 ， 证 明 热 机 所 能作 的 最 大 功 为 。 第二章 均匀闭系的热力学关系及其应用 2 .1 均 匀 闭 系 的 热 力 学 关 系 1 . 试 证 明 以 下 热 力 学 关 系 ， 并 思 考 其 意 义 。 (1 ) ； ； 。(2 ) ； ； 。(3 ) ； 。 (4 ) 。(5 ) ； ； 其 中 ， 。(6 ) 。(7 ) ， 并 由 此 导 出 。(8 ) ； 2. 水 的 膨 胀 系 数 在 0 之 间 为 负 值 ， 当 在 此 温 度 范 围 作 可 逆 绝 热 膨 胀 时 ， 温 度 升 高 还 是 降 低 ？ 3 . 利 用 自 由 能 和 吉 布 斯 函 数 的 定 义 证 明 能 态 方 程 和 焓 态 方 程 。 4 . 某 气 体 内 能 ， 其 中 为 正 的 常 数 。 试 求 其 状 态 方 程 并 说 明， 的 物 理 意 义 。5 . 1摩 尔 气 体 的 状 态 方 程 为 ， 其 中 是 常 数 。 在 时 ， 其 定 容 摩 尔 热 容 量趋 于 常 量 ， 试 计 算 其 内 能 。6 . 试 证 明 摩 尔 理 想 气 体 从 压 强 等 温 降 至 压 强 所 作 的 最 大 功 为 7 . 试 证 明 1摩 尔 范 德 瓦 尔 斯 气 体 的 绝 热 方 程 是 常 数 。8 . 试 证 明 以 、 V为 自 变 量 时 ， 是 特 性 函 数 。9 . 已 知 某 气 体 满 足 下 列 关 系 ： ， 。 其 中 为 常 数 ， 只 是的 函 数 ， 在 低 压 下 1摩 尔 气 体 的 定 压 热 容 量 为 ， 试 证 明 ：(1) ； （ 2） 状 态 方 程 为； （ 3） 。 2.2热 力 学 关 系 的 应 用 1 . 理 想 气 体 的 与 压 强 有 关 吗 ？ 2 . 范 德 瓦 耳 斯 气 体 的 与 体 积 有 关 吗 ？ 3 . 试 应 用 热 力 学 第 二 定 律 证 明 ： 平 衡 辐 射 场 的 单 色 能 量 密 度 在 辐 射 场 内 到 处 均 匀 ， 且 与 腔 壁 的 材 料 及 形 状 无 关 。 4 . 要 想 利 用 焦 尔 汤 姆 逊 效 应 冷 却 气 体 ， 试 问 可 选 取 初 始 条 件 应 该是 大 于零 、 等 于 零 还 是 小 于 零 ？ 说 明 理 由 。 5 . 对 1 摩 尔 范 德 瓦 耳 斯 气 体 ， 试 求 ： （ 1 ） ； （ 2 ） 通 过 自 由 膨 胀 由 到 引 起 的温 度 变 化 。6 . 实 验 表 明 ： 表 面 张 力 系 数 仅 是 温 度 的 函 数 ， 即 ， 且 。试 求 ： （ 1 ） 表 面 膜 由 表 面 积 可 逆 等 温 膨 胀 到 所 吸 收 热 量 ； (2 ) 可 逆 绝 热 膨 胀 引 起 的 温 度 变 化 。 7 . 设 在 弹 性 限 度 内 弹 簧 的 恢 复 力 与 伸 长 量 成 正 比 ， 比 例 系 数 是 温 度 的 已 知 函 数 。 今 把 处 于 大 气 中 的 弹 簧 拉 长 ， 最 终 达 到 平 衡 态 。 求 弹 簧 的 自 由 能 、 熵 和 内 能 的 变 化 （ 设 大 气 温 度 不 变 ） 。 8 . 试 证 明 遵 从 居 里 定 律 的 顺 磁 介 质 的 等 磁 化 强 度 热 容 量 及 内 能 仅 是 温 度 的 函 数 。 9 . 已 知 超 导 体 的 磁 感 应 强 度 。求 证 ： （ 1 ） 与 无 关 ， 只 是 的 函 数 ；(2 ) (3 ) 。1 0 . 对 电 介 质 建 立 热 力 学 方 程 ， 并 证 明 ：， 式 中 和 分 别 为 电 介 质 的 电 矩 、 压 强 、 电 场 强 度 、 体 积 、 恒 定 电 场 中 的 热 容 量 和 熵 ， 并 说 明 二 等 式 的 意 义 。 1 1 . 容 积 为 ， 具 有 理 想 反 射 壁 空 腔 的 平 衡 辐 射 ， 突 然 扩 大 到 容 积 （ 包 括 原 有 的 容 积 ）的 空 腔 。 这 是 一 个 不 可 逆 绝 热 过 程 。 试 证 明 ： (1 )； (2) 。 2.3热 力 学 第 三 定 律1. 根 据 德 拜 定 律 ， 低 温 时 晶 体 的 热 容 量 与 热 力 学 温 度 的 3次 方 成 正 比 ： 。试 证 明 晶 体 的 定 压 热 容 与 定 容 之 差 在 时 与 温 度 的 7次 方 成 正 比 。2 . 试 根 椐 热 力 学 第 三 定 律 证 明 ， 顺 磁 介 质 的 居 里 定 律 在 足 够 低 的 温 度 下 不 能成 立 。 第三章 相平衡和化学平衡 3 .1 多 元 均 匀 开 系 的 热 力 学 基 本 方 程 1 . 试 证 明 ： (1 ) ； 。(2 ) ； 。2 . 已 知 ， 试 证 明 3 . 克 拉 玛 斯 函 数 的 定 义 是 。 试 证 明 全 微 分 为 ， 并 由 此 证 明 ， 利 用 此 结 论 再 证 明 例 3 的 （ 4 ） 式 。 3 .2 热 力 学 系 统 的 平 衡 条 件 1 . 在 只 有 膨 胀 功 的 情 况 下 ， 试 证 明 ： (1 ) 与 不 变 时 ， 平 衡 态 的 最 小 ； （ 2 ） 与 不 变 时 ， 平 衡 态 的 最 小 ； (3 ) 与 不 变 时 ， 平 衡 态 的 最 大 ； （ 4 ） 与 不 变 时 ， 平 衡 态 的 最 大 。2 . 由 出 发 ， 试 证 明(1 ) ， ； （ 2 ） ， ；(3 ) ， 。 以 上 各 广 延 量 都 是 1 摩 尔 的 量 。 3 .3 相 平 衡1 . 1 摩 尔 物 质 作 如 图 所 示 的 卡 诺 循 环 ， 两 条 等 温 线 的 温 线 的 温 度 分 别 为 和 ， 已 知 ， ， ， ， ， 在 时 潜 热 为 ， 设 物 质 的 气 态 可 视 为 理 想 气 体 。 (1 ) 说 明 各 是 什 么 状 态 ； (2 ) 在 图 中 画 出 相 应 的 图 形 ； (3) 计 算 一 循 环 中 物 质 所 作 的 功 。 p 0 v A B C I II III p v A B C D E F vA vB vC 题 1图 题 5图 2 . 固 态 氨 的 蒸 气 压 方 程 为 ， 液 态 氨 的 蒸 气 压 方 程 为 其 中 压 强 的 单 位 为 。 假 设 气 相 可 视 为 理 想 气 体 ， 凝 聚 相 的 比 容 相 对 于 气 相 可 以 忽 略 不 计 。 试 求 ： (1 ) 三 相 点 的 温 度 ； (2 ) 三 相 点 处 三 个 潜 热 的 数 值 。 3 . 对 用 克 拉 珀 龙 方 和 描 述 的 相 变 过 程 ， 试 证 明 ： (1 ) 物 质 摩 尔 内 能 的 变 化 为 ： ； (2 ) 若 一 相 是 气 相 ， 可 视 为 理 想 气 体 ， 另 一 相 是 凝 聚 相 ， 则 上 式 简 化 为 ： 。 4 . 试 证 明 ： 在 分 界 面 是 曲 面 的 情 形 下 ， 相 变 潜 热 仍 为 。5 . 在 图 上 范 德 瓦 耳 斯 气 体 等 温 线 的 极 大 点 与 极 小 点 连 成 一 条 曲 线 ， 如 右 图 所示 。 试 证 明 这 条 曲 线 的 方 程 为 ， 并 说 明 这 条 曲 线 分 割 出 的 区 域 I、 II、 III的 意 义 。 3 .4 化 学 平 衡1 . 绝 热 容 器 中 有 隔 板 隔 开 ， 一 边 装 有 摩 尔 的 理 想 气 体 ， 温 度 为 ， 压 强 为 ； 另 一 边 装 有 摩 尔 的 理 想 气 体 ， 温 度 亦 为 ， 但 压 强 为 。 今 将 隔 板 抽 去 (1 ) 试 求 气 体 混 合 后 的 压 强 ； (2 ) 若 两 种 气 体 是 不 同 的 ， 试 计 算 混 合 后 的 熵 ； (3 ) 若 两 种 气 体 是 全 同 的 ， 试 计 算 混 合 后 的 熵 。 2 . 求 化 学 反 应 的 分 解 度 与 平 衡 恒 量 之 间 的 关 系 。3 . 甲 醇 脱 氢 的 反 应 方 程 为 （ 气 体 ） 。 已 知 在 时 ， 平 衡 恒 量 ， 求 当 甲 醇 的 投 料 量 为 1摩 尔 时 ， 氢 的 最 大 产 量 是 多 少 ? 第六章 统计物理学的基本概念 6 .1 粒 子 运 动 状 态 的 描 写 1 . 何 谓 经 典 粒 子 、 量 子 粒 子 、 全 同 粒 子 、 定 域 子 、 非 定 域 子 ？ 2 . 何 谓 空 间 、 相 格 、 相 格 数 ？ 3 . 试 举 例 说 明 量 子 描 述 向 经 典 描 述 过 渡 的 条 件 。 4 . 一 光 子 的 能 量 与 动 量 的 关 系 为 ， 其 中 为 光 速 。 若 光 子 在 容 器 中 自 由 运 动 ， 试 求 其 能 量 在 之 间 的 量 子 态 数 （ 对 应 每 一 个 动 量 有 两 个 偏 振 方 向 ） 。5 . 已 知 二 维 谐 振 子 的 能 量 为 ， 试 求 其 态 密 度 。 6 .2 系 统 运 动 状 态 的 描 述 1 . 何 谓 系 统 的 微 观 状 态 、 宏 观 状 态 ？ 二 者 关 系 如 何 ？ 2 . 何 谓 非 简 并 性 条 件 ？ 非 简 并 性 条 件 成 立 时 ， 费 米 子 系 统 、 玻 色 子 系 统 与 定 域 子 系 统 与 定 域 子 系 统 三 者 的 微 观 状 态 数 有 何 关 系 ？ 6 .3 统 计 物 理 学 的 基 本 假 设 1 . 何 谓 等 概 率 原 理 ？ 其 意 义 如 何 ？ 2 . 何 谓 时 间 平 均 值 ？ 何 谓 统 计 平 均 值 ？ 二 者 有 何 关 系 ？ 第七章 最概然统计法 7 .1 最 概 然 统 计 法 的 理 论 基 础 1 . 何 谓 分 布 、 分 布 ？ 何 谓 最 概 然 分 布 ？ 2 . 在 什 么 条 件 下 量 子 系 统 可 用 经 典 方 法 计 算 ？ 什 么 条 件 下 分 布 和 分 布 都 过 渡 到 分 布 ？ 3 . 的 物 理 意 义 是 什 么 ？ 4 . 判 定 下 列 情 况 服 从 经 典 统 计 还 是 量 子 统 计 ： (1 ) 锗 中 的 自 由 电 子 ， 其 数 密 度 为 ；(2 ) 银 中 的 自 由 电 子 ， 其 数 密 度 为 。5 . 试 计 算 氢 和 氧 的 简 并 温 度 ， 设 其 粒 子 数 密 度 与 标 准 条 件 下 的 粒 子 数 密 度（ ） 相 同 。6 . 试 问 晶 体 中 自 由 电 子 数 密 度 为 何 值 时 ， 其 电 子 气 的 简 并 温 度 等 于 ？7 . 一 个 线 性 谐 振 子 ， 其 能 谱 为 ， ， 且 系 统 温 度 足 够 ） 。 (1 ) 试 求 振 子 处 于 第 一 激 发 态 与 基 态 的 概 率 之 比 ； (2 ) 若 振 子 仅 占 据 第 一 激 发 态 与 基 态 ， 试 计 算 其 平 均 能 量 。 8 . 由 单 原 子 组 成 的 顺 磁 气 体 ， 每 单 位 体 积 中 有 个 原 子 ， 当 温 度 不 太 高 时 可 看 成 每 个 原 子 都 处 于 基 态 ， 其 固 有 磁 矩 在 外 磁 场 H 中 只 能 取 平 行 于 H 和 反 行 于 H 两 种 取 向 ， 气 体 服 从 分 布 。 试 计 算 ： (1 ) 一 个 原 子 处 于 与 H 平 行 状 态 的 几 率 ； (2 ) 一 个 原 子 处 于 与 H 逆 平 行 状 态 的 几 率 ； (3 ) 一 个 原 子 的 平 均 磁 矩 ；(4 ) 写 出 气 体 的 磁 化 强 度 ， 并 讨 论 H 和 H 两 种 极 限 情 况 。 9 . 考 虑 两 个 晶 格 格 点 组 成 的 系 统 ， 每 个 格 点 上 固 定 一 个 原 子 （ 自 旋 为 1 ） ， 其 自 旋 可 以 取 三 个 方 向 ， 原 子 能 量 分 别 为 1 ， 0 ， -1 ， 且 能 级 无 简 并 ， 两 原 子 之 间 无 相 互 作 用 。 试 求 该 系 统 的 和 。 1 0 .试 证 明 ， 对 于 理 想 的 、 、 气 体 ， 熵 可 分 别 代 表 为 。 其 中 是 能 级 的 量 子 态 上 的 平 均 粒 子 数 ， 是 对 粒 子 的 所 有 量 子 态 取 和 。 1 1 .一 粒 子 数 很 大 的 定 域 子 系 ， 处 在 外 磁 场 H 中 ， 每 个 粒 子 的 自 旋 为 1 /2 。 求 系 统 的 微 观 态 数 与 总 自 旋 分 量 的 函 数 关 系 ， 并 确 定 系 统 的 微 观 态 数 最 大 时 的 的 值 。 1 2 . 如 图 所 示 ， 一 个 一 维 的 链 由 个 节 组 成 ， 当 节 和 链 平 行 时 ， 节 的 长 度 为 ， 当 节 和 链 垂 直 时 ， 节 的 长 度 为 零 。 每 个 节 只 有 这 两 个 非 简 并 的 状 态 ， 平 均 链 长 是 。 (1 ) 用 表 示 出 链 的 熵 ； (2 ) 求 温 度 、 张 力 和 长 度 之 间 的 关 系 ， 设 铰 点 可 以 自 由 活 动 ； (3 ) 什 么 情 况 下 结 论 给 出 胡 克 定 律 ？ 1 3 . 如 果 原 子 脱 离 晶 体 内 部 的 正 常 位 置 而 占 据 表 面 上 的 位 置 构 成 新 的 一 层 ， 晶 体 将 出 现 缺 位 。 晶 体 的 这 种 缺 陷 称 为 肖 脱 基 缺 陷 ， 如 图 所 示 。 以 表 示 晶 体 中 的 原 子 数 ， 表 示 晶 体 中 的 缺 位 数 。 如 果 忽 略 晶 体 体 积 的 变 化 ， 试 由 自 由 能 取 极 小 值 的 条 件 证 明 ， 当 温 度 为 时 ， (n ) 其 中 为 原 子 在 表 面 位 置 与 下 常 位 置 的 能 量 差 。 1 4 * . 考 虑 由 个 没 有 相 互 作 用 的 粒 子 组 成 的 系 统 ， 每 个 粒 子 固 定 于 某 个 位 置 并 具 有 磁 矩 。 整 个 系 统 处 于 外 磁 场 B中 ， 所 以 每 个 粒 子 总 处 于 能 量 为 或 的 两 个 态 中 之 一 上 。 把 这 些 粒 子 看 成 是 互 相 可 以 区 别 的 。 (1 ) 试 写 出 的 表 达 式 ， 并 求 出 使 为 极 大 的 值 。 (2 ) 将 系 统 的 内 能 视 为 连 续 值 ， 试 证 明 该 系 统 可 以 处 于 负 温 度 状 态 。 7.2.麦 克 斯 韦 玻 耳 兹 曼 分 布 的 应 用 1 . 某 遵 从 统 计 分 布 的 由 个 粒 子 组 成 的 理 想 气 体 系 统 ， 其 粒 子 的 能 量 动 量 关 系 为 ， 在 不 考 虑 其 内 部 结 构 的 条 件 下 ， 试 求 其 热 力 学 函 数 、 、 和 。 2 . 某 满 足 统 计 的 理 想 气 体 处 在 重 力 场 中 。 设 想 一 个 很 高 的 圆 柱 筒 垂 直 地 放 在 地 面 上 ， 筒 内 粒 子 数 为 。 假 设 筒 内 的 理 想 气 体 处 于 同 一 温 度 ， 试 求 该 系 统 的 内 能 和 定 容 热 容 量 。 3 . 被 吸 附 在 表 面 上 的 单 原 子 分 子 ， 能 在 表 面 上 自 由 运 动 ， 可 看 作 二 维 的 理 想 气 体 ， 试 计 算 其 摩 尔 热 容 ， 设 表 面 的 大 小 不 变 。 * 4 . 今 有 单 原 子 分 子 组 成 的 理 想 气 体 ， 遵 从 分 布 律 。 若 两 分 子 的 相 对 速 度 为 。 试 计 算 的 平 均 值 ， 并 将 结 果 用 表 出 。 5 . 从 一 容 器 的 狭 缝 中 射 出 一 分 子 束 ， 试 求 该 分 子 束 中 分 子 的 最 概 然 速 率 和 最 概 然 能 量 。 求 得 的 和 与 容 器 内 的 和 是 否 相 同 ？ 为 什 么 ？ * 6 . 今 有 个 理 想 气 体 分 子 ， 盛 在 截 截 积 为 、 高 度 为 的 容 器 内 ， 处 于 重 力 场 的 作 用 下 。 试 求 ： (1 ) 分 子 数 密 度 按 高 度 的 分 布 ； (2 ) 若 在 容 器 的 顶 部 开 一 面 积 为 的 小 孔 ， 凌 晨 位 时 间 内 从 小 孔 飞 出 的 分 子 数 是 多 少 ？ * 7 . 某 遵 从 分 布 的 系 统 ， 其 粒 子 的 能 量 为 ， 其 中 、 为 常 数 。 试 求 粒 子 的 平 均 能 量 。 8 . 假 设 双 原 子 的 振 动 是 非 简 谐 的 ， 振 动 能 量 的 经 典 表 达 式 为 式 中 后 两 项 是 非 简 谐 的 修 正 项 ， 其 数 值 远 小 于 前 面 两 项 ， ， 、 均 为 常 数 。 试 证 明 ： 振 动 的 内 能 和 定 容 热 容 量 分 别 为 其 中 。* 9 . 个 刚 性 双 原 子 分 子 （ 例 如 ） 组 成 的 理 想 气 体 ， 该 分 子 有 永 久 磁 矩 ， 放 在 感 应 强 度 为 B的 磁 场 中 ， 分 子 的 能 量 为 ： 试 证 明 ：(1 ) 分 子 的 配 分 函 数 为 ： 其 中 I是 分 子 的 转 动 惯 量 ； 。(2 ) 磁 化 强 度 （ 单 位 体 积 内 的 总 磁 矩 之 和 ） 为 其 中 称 为 朗 之 万 函 数 。(3 ) 讨 论 高 温 和 低 温 时 的 情 况 。 7 .3 费 米 锹 拉 克 分 布 和 玻 色 爱 因 斯 坦 分 布 的 应 用 1 . 在 室 温 时 ， 电 子 占 据 费 米 能 级 、 比 费 米 能 级 高 、 比 费 米 能 级 低 的 态 的 概 率 分 别 为 多 大 ？ 2 . 若 某 能 极 高 于 费 米 能 级 ， 温 度 从 1 0 变 到 ， 问 电 子 占 有 该 能 极 的 概 率 改 变 多 少 ？ 3 . 试 计 算 时 自 由 电 子 气 体 中 一 个 电 子 能 量 的 相 对 涨 落 。 4 . 设 金 属 中 的 传 导 电 子 可 以 近 似 地 看 成 理 想 费 米 气 体 。 再 设 金 属 宏 观 静 止 ， 其 费 米 能 级 为 。 试 在 绝 对 零 度 下 (1 ) 计 算 和 （ 为 电 子 速 度 的 分 量 ） ；(2 ) 证 明 总 能 量 的 平 均 值 是 广 延 量 。 当 总 体 积 固 定 时 ， 与 总 粒 子 数 并 不 成 线 性 关 系 ， 为 什 么 ？5 . 相 对 率 性 电 子 气 体 ， 其 能 量 动 量 关 系 为 （ 其 中 为 光 速 ， 为 电 子 质 量 ） ， 试 在 时 计 算 电 子 数 密 度 ， ， 用 费 米 能 级 表 示 。6 . 某 种 样 品 中 的 电 子 服 从 分 布 ， 其 态 密 度 有 如 下 特 征 ： 时 ， ； 时 ， 。 设 电 子 的 总 数 为 。(1 ) 试 求 时 的 化 学 势 和 总 能 量 ；(2 ) 试 证 明 系 统 的 非 简 并 条 件 为 ；(3 ) 试 证 明 当 系 统 强 烈 简 并 （ 很 低 ） 时 。 7 . 考 虑 由 个 无 相 互 作 用 的 电 子 组 成 的 电 子 气 体 ， 假 定 电 子 是 非 相 对 论 性 的 。 试 求 出 时 ， 与 下 列 情 形 相 应 的 费 米 能 量 ： (1 ) 粒 子 只 能 沿 长 度 为 的 线 段 运 动 ； (2 ) 粒 子 只 能 在 一 个 面 积 为 的 二 维 平 面 上 运 动 。 8 . 试 导 出 二 维 空 间 黑 体 辐 射 的 普 朗 克 公 式 和 相 应 的 斯 忒 藩 定 律 。 9 . 宇 宙 中 充 满 着 的 黑 体 辐 射 光 子 ， 这 可 以 看 作 是 大 爆 炸 的 痕 迹 。 (1 ) 试 求 出 光 子 数 密 度 依 赖 于 温 度 的 解 析 表 达 式 ， 可 保 留 一 个 数 值 因 子 。 (2 ) 试 近 似 计 算 时 光 子 的 数 密 度 。 1 0 . 如 果 声 子 服 从 统 计 而 非 统 计 ， 则 固 体 热 容 量 的 德 拜 理 论 发 生 什 么 变 化 ？ 在 这 样 的 假 设 下 ， 试 求 远 低 于 德 拜 温 度 和 远 高 于 德 拜 温 度 时 热 容 与 温 度 的 关 系 （ 常 数 系 数 不 必 算 出 ） 。 1 1 . 试 证 明 ： 对 玻 色 气 体 ， ； 对 费 米 气 体 。 第八章 系综统计法 8 .1 基 本 概 念 1 . 何 为 空 间 ？ 空 间 与 空 间 有 什 么 区 别 和 联 系 ？ 2 . 何 谓 统 计 系 综 ？ 引 入 统 计 系 综 的 意 义 何 在 ？ 3 . 请 读 者 举 出 自 已 所 熟 悉 的 例 子 ， 说 明 系 综 平 均 值 等 于 时 间 平 均 值 。 8.2微 正 则 系 综 1. 试 证 明 ： 当 很 大 时 ， 系 统 的 能 量 在 之 间 的 状 态 数 近 似 等 于 系 统 的 能 量 小 于 、 等 于 状 态 数 。 2. 考 虑 个 自 旋 为 1/2， 磁 矩 为 的 定 域 粒 子 ， 粒 子 间 相 互 作 用 很 弱 ， 将 此 系 统 置 于 磁 场 中 。(1) 求 系 统 总 能 量 为 时 的 微 观 态 数 ； (2) 求 与 温 度 的 关 系 ； (3) 在 什 么 情 况 下 出 现 负 温 度 ？ (4) 求 系 统 的 总 磁 矩 与 关 系 （ 用 和 将 表 出 ） 。 3. 处 于 室 温 下 的 任 一 宏 观 系 统 ， 当 其 能 量 增 加 时 ， 系 统 所 有 可 能 的 微 观 态 数 增 加 的 百 分 数 是 多 少 ？ 若 系 统 吸 收 一 个 可 见 光 （ 波 长 为 cm） 的 光 子 ， 系 统 的 状 态 数 增 加 多 少 ？ 8.3正 则 系 综 1. 由 个 单 原 分 子 组 成 的 理 想 气 体 系 统 处 于 温 度 为 的 平 衡 态 ， 试 求 系 统 能 量 的 最 可 几 值 。 结 果 说 明 什 么 ？ 2 . 对 正 则 系 统 ， 试 证 明 ： (1 ) ；(2 ) 当 粒 子 数 很 大 时 ， 其 中 。 3 . 由 两 个 相 互 独 立 的 粒 子 组 成 的 系 统 ， 每 个 粒 子 可 处 于 能 量 分 别 为 和 的 任 一 状 态 中 ， 系 统 与 大 热 源 平 衡 。 试 就 下 列 诸 情 况 写 出 系 统 的 配 分 函 数 。 (1 ) 服 从 统 计 ， 粒 子 可 分 辨 ； (2 ) 服 从 统 计 ， 粒 子 不 可 分 辨 ； (3 ) 服 从 统 计 ； (4 ) 服 从 统 计 。 4 . 一 固 体 包 含 有 个 自 旋 为 1 的 非 相 互 作 用 的 核 ， 每 个 核 均 可 处 在 由 量 子 数 ， 的 三 个 态 中 的 任 一 个 态 。 由 于 固 体 内 电 荷 与 内 部 场 的 相 互 作 用 ， 一 个 核 在 态 或 态 具 有 相 同 的 能 量 ， 而 在 态 时 其 能 量 为 零 。 试 求 系 统 的 熵 及 的 极 限 情 况 下 系 统 的 热 容 量 。 5 . 一 高 为 、 底 面 积 为 的 柱 形 容 器 中 ， 装 有 个 质 量 为 的 单 原 子 分 子 组 成 的 理 想 气 体 ， 并 处 于 重 力 场 中 ， 试 由 正 则 分 布 求 系 统 的 热 容 量 。 6 . 今 有 和 两 种 分 子 组 成 的 混 合 理 想 气 体 处 于 平 衡 态 ， 试 用 正 则 系 综 证 明 道 尔 顿 分 压 定 律 其 中 为 混 合 理 想 气 体 的 压 强 ， 和 分 别 为 两 种 分 子 的 数 目 。 7 . 设 粒 子 的 能 量 关 系 为 。 系 统 由 个 这 样 的 无 相 互 作 用 的 粒 子 组 成 ， 试 求 系 统 的 体 积 、 压 强 和 能 量 之 间 的 关 系 。 8 . 有 某 种 气 体 ， 其 两 个 分 子 之 间 的 相 互 作 用 为 当 ） ； （ 当 ） ； （ 当 ） 。 试 计 算 第 二 维 里 系 数 。 9 . 很 多 脂 肪 酸 分 子 分 布 于 水 面 上 ， 性 质 很 象 二 维 气 体 。 试 证 明 其 状 态 方 程 可 表 为 ， 其 中 ， 为 液 面 的 面 积 ， 为 两 分 子 间 的 相 互 作 用 势 能 。 8 .4 巨 正 则 系 综 1 . 对 于 理 想 费 米 气 体 和 玻 色 气 体 ， 试 证 明 巨 正 则 分 布 中 的 巨 热 力 学 势 可 以 表 为 式 中 上 行 对 应 于 费 米 子 ， 下 行 对 应 于 玻 色 子 。 和 分 别 为 粒 子 的 能 量 和 化 学 势 ， 为 对 所 有 态 求 和 。 2 . 试 从 巨 正 则 分 布 出 发 ， 证 明 理 想 费 米 气 体 的 熵 可 以 表 为 式 中 是 量 子 态 中 的 平 均 粒 子 数 。 3 . 设 有 一 单 原 子 理 想 气 体 与 一 固 体 吸 附 面 接 触 而 达 到 平 衡 。 被 吸 附 的 分 子 能 够 在 吸 附 面 上 自 由 地 作 二 维 运 动 ， 其 能 量 为 ， 其 中 为 二 维 动 量 ， 为 束 缚 能 （ 为 常 数 ） 。 假 定 经 典 极 限 条 件 成 立 ， 试 求 吸 附 面 上 单 位 面 积 被 吸 附 分 子 的 平 均 数 与 气 体 压 强 的 关 系 。 第九章 涨落理论 9 .1 围 绕 平 均 值 的 涨 落 1 . 计 算 围 绕 平 均 值 的 涨 落 问 题 时 ， 大 致 要 经 过 哪 几 个 步 骤 ？ 如 何 选 取 独 立 变 数 ？ 2 . 试 用 理 想 气 体 证 明 ， 强 度 量 的 均 方 涨 落 （ 如 和 ） 与 粒 子 数 成 反 比 ， 而 广 延 量 的 均 方 涨 落 （ 如 和 ） 与 粒 子 数 成 正 比 ， 但 二 者 的 相 对 涨 落 均 与 成 反 比 。 * 3 . 试 证 明 ： 。* 4 试 从 出 发 导 出 高 斯 分 布 9.2布 朗 运 动 理 论 1. 试 说 明 如 何 分 别 由 (9.2.6)式 和 (9.2.20)式 测 得 玻 耳 兹 曼 常 数 和 阿 伏 伽 德 罗 常 数 。 2. 试 说 明 如 何 由 (9.2.19)式 测 得 电 子 电 荷 . *9.3 涨 落 的 相 关 性 1. 什 么 叫 空 间 相 关 函 数 、 时 间 相 关 函 数 ? 其 各 自 的 性 质 如 何 ? 2. 试 求 粒 子 数 密 度 的 空 间 相 关 函 数 和 布 朗 粒 子 速 度 的 时 间 相 关 函 数 。 4 . 试 说 明 什 么 叫 涨 落 耗 散 定 理 。