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广州民航职业技术学院 1 数学竞赛训练题 数学教学部 柴富杰 1. 函数 22 1arcsin )1ln(1)( x x xxf 的定义域. 2. 函数 20,1 05,2)( 2 xx xxxf 的定义域. 3函数 1lg xxy 的定义域. 4函数 114 2 xxy 的定义域. 5函数 xxy 14 2 的定义域 6. 函数 xxxy 2)2ln( 的定义域 7. 函数 xx xx ee eey 2 的值域是. 8设函数 1,0 1,sin)( xxxxf ，则 )4( f =（ ） A0 B1 C 22 D- 22 9设 xxf 1)( ，则 )( xff . 10. 设 xxxf )( ，则 )( xff . 11设函数 52)1( 2 xxxf ，则 ( )f x . 12若函数 xxxf 1)( ， ,1)( xxg 则 )2(gf . 13. 已知 32)1( 2 xxxf ，求 )1(,)2(,)( xffxf 广州民航职业技术学院 2 14. 下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等 A. 2)()( xxf ， xxg )( B. 2)( xxf ， xxg )( C. 3ln)( xxf ， xxg ln3)( D. 4ln)( xxf ， xxg ln4)( 15下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等 A 2)()( xxf ， xxg )( B 11)( 2 xxxf ， xxg )( + 1 C 2ln)( xxf ， xxg ln2)( D xxxf 22 cossin)( ， 1)( xg 16 设函数 )(),( xgxf 在区间 ),( 内有定义，若 )(xf 为奇函数， )(xg 为偶函数, 则 )( xfg 为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.有界函数 17. 设函数 )(xf 是以 3 为周期的奇函数，且 1)1( f ，则 (7)f （ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 18. 函数 00,1 1)( xxeexf xx 的单调性与奇偶性为 . 19下列函数中为偶函数的是（ ） A xxy 2 B xxy ee C 11ln xxy D xxy sin 20. 试证：奇函数与奇函数的和是奇函数；奇函数与奇函数的乘积是偶函数；奇函数与偶函 数的乘积是奇函数 21设 21010)( xxxf ，则函数的图形关于 对称 22. 设函数 )(xf 的定义域为 ),( ，则函数 )()( xfxf 的图形关于（ ）对称 A. xy B. y轴 C. x轴 D. 坐标原点 23下列极限存在的有 ( ) A xx 1 0elim B 12 1lim 0 xx C xx 1sinlim 0 D xx x x 2 2 0lim 广州民航职业技术学院 3 24. 20 1lim(1 )xx x . 25. 2tan)1(lim1 xxx . 26. xx x x sin 1sin lim 2 0 . 27. .)1( sinlim 20 xx ex xx 28.已知 NnNm , ，则 nxmxx sinsinlim = . 29. 20 1 1 2lim 1 1x x xx . 30. 2limsinn n n . 31. 1limln 1xx x xx x . 32 113lim 21 x xxx . 33 2tan)(lim xxx . 34. 54 56lim 221 xx xxx 35. 32 )1sin(lim 21 xx xx 36. xxx 5sin6tanlim0 37 1 40 2 sinlim . 2 x x x e x xe 38. 1 1 1lim 1 2 3nn n . 39. 设 ,2,1,221 222 nnnnn nnn nnn nxn ，求 nn xlim 40. 设 0a ， nx 满足： ,00 x 1 1( ), 0,1,2,2n n n ax x n x 证明： nx 广州民航职业技术学院 4 收敛，并求 。nn xlim 41. 设 ax 1 , bx 2 ,当 3n 时, )(21 21 nnn xxx ,证明： nn xlim 存在，并求其值. A 存在且等于零 B 存在但不一定等于零 C 不一定存在 D 一定不存在 42. 设 nnn yzx ，且 0)(lim nnn xy ，则 nn zlim （ ） 43. 已知 2010)22(lim xx ax ax , 则 a . 44设 2 1e)1(lim x x x k ，则k = . 45. 设函数 00,)1ln(cos1 sin )( x x x xx ax xf ,且 )(lim0 xfx 存在, 则 a . 46. 设 xx e exf x x sin 1 2)( 4 1 , 则 )(lim0 xfx . 47. 设 )(1lim)( 2 212 Nnx bxaxxxf nnn ，试确定a、b的值，使 与)(lim1 xfx )(lim1 xfx 都存在. 48.当 0x 时，变量（ ）是无穷小量 A. x1 B. xxsin C. 1e x D. 3 2 x x 49已知 1sin)( xxxf ，当（ ）时， )(xf 为无穷小量 Ax0 B 1x C x D x 50已知 xxxf tan1)( ，当 时， )(xf 为无穷小量 51当 x 时，下列变量为无穷小量的是（ ） A xxsin B 1 2 x x C 21e x D )1ln( x 52. 0x 时， 1)1ln( xex 与 nx 是同阶无穷小，则 n . 广州民航职业技术学院 5 53. 设 0x 时, nxxsin 是比 )1ln()cos1( 2xx 低阶，比 12 xe 高阶的无穷小, 则正整数 n . 54. 已知当 x 大于 21 且无限趋向于 21 时， xarccos3 与 bxa )21( 为等价无穷 小，则 a ， b . 55. 若函数 0 0)1()( 3 1 xkx xxxf x ，在 0x 处连续，则 k 56. 设函数 0 0 0 , , , 4sin 1 11 )1ln( )( 2 3 3 x x x xx e b x x xf ax 且 )(xf 在点 0x 处连续，则常数 ba, 依次 为 . 57. 设 xxax xxf ,1cos2)( 2 ， 选择 a 使 )(xf 为连续函数. 58. 设函数 0 0 , ,1sin )( x x e xxxf x ， 根据 , 的不同情况，讨论 )(xf 在 0x 处的连续性. 59函数 sin , 0 ( ) , 0 x x f x x k x 在x = 0处连续，则k = ( ) A-2 B-1 C1 D2 60函数 )1ln(1 xy 的连续区间是（ ） A ），（），（ 221 B ），（）， 221 C ），（ 1 D ），1 61. 函数 0sin 02 xx xxy 的间断点是 广州民航职业技术学院 6 62. 设函数 0 0 0 , , , 4sin 1 11 )1ln( )( 2 3 3 x x x xx e b x x xf ax 且点 0x 是 )(xf 的可去间断点，则常数 ba, 满足 a , b . 63. 验证：方程 xx 24 有一个根在 0 与 21 之间. 64. 设 , 均为常数， )(xf 可导，则 x xxfxxfx )()(lim0 . 65. 函数 xxxxxf 32 )23()( 的不可导点的个数= . 66. 设 ,0)0( f 且极限 xxfx )(lim0 存在，则 xxfx )(lim0 =（ ） A. )(xf B. )0(f C. )0(f D. )0(21 f 67. 设 )(xf 在点 1x 处可导，则 h fhfh )1()21(lim0 （ ） A )1(f B. )1(f C. )1(2f D. )1(2f 68. 设函数 x xdttx x xxx xf 0 2 2 0,cos1 0,1 0,)cos1(2 )( 若 若 若 ，试讨论 )(xf 在 0x 处的连续性和可导性. 69设 2 32f x x x x x ，求 f x 的导数不存在的点. 70. 设函数 0 , ;0 ,)( 2 xcbxax xexf x 且f (0)存在, 试确定常数a, b, c 的值. 71. 设 2ln1ln)( xxf ，则 )1(f . 72. 已知 sin , 0 ( ) 1, 0 x x f x x x ，则 )0(f . 73. 设 )0(, aaaxy xaa axa 则 y . 广州民航职业技术学院 7 74. 若 99),-(100 x)23)(12()( xxxxf 则 )0(f . 75. 设 xy x tane 5 ，求y 76设 x xy 1 )1ln(1 ，求 )0(y . 77设 xxy cos1sin ，求 )3(y . 78. 设 2 lnsin x xxy ，求 y . 79. 设 xxy ln ，则 yd =（ ） A. 2ln1 x x B. xx xdln1 2 C. 2 1lnxx D. xxx d1ln 2 80设 xxy x cose ，求 yd 81设 xy x 5sin cose ，求 yd 82设 2ecos xxy ，求 yd 83设 xxy 2eln ，求 yd 84. 设 xy 3sinln ，求 yd 85 xexy x ln3 22 , 求y. 86. 已知 )(xf 具有任意阶导数，且 2)()( xfxf ， 则 n 为大于 2 的正整数时， )()( xf n . 87. 已知 ,1)( 3 xxfdxd 则 )(xf . 88已知 )ln()(2 yxyxxy ，求 )(xy 89. 设函数 )(xyy 由方程 )sin(xyee yx 所确定,求隐函数 )(xyy 在 0x 处的导数 0 xy . 90. 设y y x ( )是由方程 xyxy cosee 3 确定的函数，求 dy 91. 已知 ),(sin)(sin 2 xfdxdxfdxd ,0)0( f 则 )0(f . 92.设 )(xf 是定义在 ),( 上的函数， 1)0(,0)( fxf .且 , ( , ),x y 广州民航职业技术学院 8 ( ) ( ) ( ).f x y f x f y 证明：f 在 ),( 上可导，且 )()( xfxf . 93. 设 )(xf 在 0, 1 上二阶可导， (0) (1) , (1) 1,f f f 求证： ( 0, 1 ) 使 ( ) 2f . 94. 设f在 , ba 上二阶可微， 0)()( bfaf ， 0)()( bfaf ，则方程 0)( xf 在 ),( ba 内至少有一个根 . 95. 设 )(xf 可导，证明在 )(xf 的两个零点之间一定存在 )()( xfxf 的零点. 96. 设函数f具有一阶连续导数， )0(f 存在，且 0)0( f ， 0)0( f ， . 0 , , 0 , )()( xa xxxfxg （1）确定a，使 )(xg 处处连续； （2）对以上所确定的a，证明 )(xg 具有一阶连续导数. 97. 设函数 ( )f x 及 )(xg 在( ,+ ) 内可导，并且对一切x都有 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x . 证明: 方程 ( ) 0f x 的任何两个不同的根之间必有 ( ) 0g x 的根. 98曲线 11 xy 在点（0, 1）处的切线斜率为（ ） A21 B 21 C 3)1(2 1x D 3)1(2 1 x 99曲线y x 在 )1,1( 处的切线斜率是 . 100过曲线 xy 2e 上的一点（0，1）的切线方程为 101曲线 123 xxy 上点(1, 3)处的切线方程是 102. 曲线 2)( xxf 在 )2,2( 处的切线斜率是 103. 设函数 )(xyy 由方程 1)cos(2 exye yx 所确定, 则曲线 )(xyy 在点 )1,0( 处的法线方程为_ . 广州民航职业技术学院 9 104. 设函数 )(xf 具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ） A. 若 )(xf 只有一个零点，则 )(xf 必至少有两个零点； B. 若 )(xf 至少有一个零点，则 )(xf 必至少有两个零点； C. 若 )(xf 没有零点，则 )(xf 至少有一个零点； D. 若 )(xf 没有零点，则 )(xf 至多有一个零点. 105函数 2)1(3 xy 的驻点是 106. 设函数 )(xf 在 , ba 连续，在 ),( ba 内可导,且 0)( xf , 若 0)( bf ,则在 ),( ba 内 )(xf （ ） A. 0 B. 0 C. )(xf 的符号不能确定 D. 0 107. 已知函数 xxay 3sin31sin （其中a为常数）,在 3x 处取得极值，则 a . 108. 确定 ba, 的值，使点 )6,1( 是曲线 23 bxaxy 的拐点，这时曲线的凸凹区间是 什么? 109. 曲线 xxxy 360103 35 的拐点个数是 . 110. 在 1x 时有极大值6，在 3x 时有极小值2的最低幂次多项式的表达式为 . 111. 下列结论中正确的是（ ） A. 使 )(xf 不存在的点 0 x ，一定是 )(xf 的极值点 B. 若 0( )f x = 0，则 0 x 必是 )(xf 的极值点 C. 0 x 是 )(xf 的极值点，则 0 x 必是 )(xf 的驻点 D. 0 x 是 )(xf 的极值点，且 0( )f x 存在，则必有 0( )f x = 0 112.设函数 xxy 2 在 0 xx 点处取得极小值，则 0 x _ _. 113. 函数 322 xxy 在区间 )4,2( 内满足（ ） A. 先单调上升再单调下降 B. 单调上升 C. 先单调下降再单调上升 D. 单调下降 广州民航职业技术学院 10 114. 函数 1)2( 2 xy 的单调增加区间是 115. 设函数 )(xf 在区间 ),0( 内具有二阶导数，满足 0)0( f ， 0)( xf ，又 ba0 ， 则当 bxa 时恒有（ ） A. )()( axfxaf B. )()( bxfxbf C. )()( bbfxxf D. )()( aafxxf 116. 求曲线 xy 22 上的点，使其到点 )0,2(A 的距离最短 117. 双曲线 4xy 与直线 12 yx 之间的最短距离= . 118. 设 )0(122 baba ，求曲线 2xaxy 与直线 bxy 所围图形面积的最 小值与最大值. 119. 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为d，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的 体积最大？ 120. 某厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形铁桶，问怎样才能使用料最省? 121. 欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 122. 某条抛物线 cbxaxy 2 通过 )0,0( 点，当 0,10 yx 时，又知它和直线 0,1 yx 所围成图形的面积是94.试确定 cba , 的值，使这个图形绕Ox轴旋转而成的体 积最小. 123. 一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当车速为每小时 20公里时，每小时耗煤价值40元，其他费用每小时200元，甲、乙两地相距S公里，问火 车行驶速度如何，才能使火车由甲地开往乙地的总费用为最省？ 提示：设火车行驶速度为每小时x公里，每小时耗煤的费用为y元，从甲地到乙地的总 费用为E元 124. 试比较 e 与 e 的大小. 125. 当 0x 时，证明不等式 xx arctan 126. 当 1x 时，证明不等式 ee xx 127. 试证：当 1x 时，有 .132 xx 广州民航职业技术学院 11 128. 设 )1,0(x 证明： 22 )1(ln)1( xxx . 129. 设 0a ，且 )(xf 在 ), a 满足： ), ayx ，有 |)()(| yxKyfxf （ 0K 为常数）. 证明： xxf )( 在 ), a 有界. 130. 设 )(xf 和 )(xg 均满足在ba. 上连续，在ba, 内可导，且 0g ，证明：存在 ),( bac ，使 )( )()()( )()( cg cfbgcg cfaf 131. 设 ),2,1,(sinsinsin)( 221 niRanxaxaxaxf in ，且 |sin|)(| xxf ，证明： 1|2| 21 nnaaa . 132. 设 )(xF 是 )(xf 的一个原函数，则（ ） A. )()( xfdxxF B. CxfdxxF )()( C. )()( xFdxxf D. CxFdxxf )()( 133. 设 ,1)( 2 xxf 则 )(xf . 134. xx ded 2 . 135若 cxFxxf )(d)( ，则 xf xx d)e(e 136. 设某曲线上任意点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程. 137. 在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ） A. 32 xy B. 42 xy C. 22 xy D. xy 4 138若 cxFxxf )(d)( ，则 xf xx )de(e = . 139. 设 xe 是 )(xf 的一个原函数，则 dxxxf )( . 140. 若 cxxxf 3sind)( ，则 )(xf 141. xx x dedd 2 广州民航职业技术学院 12 142若 cxxf xx 11 ede)( ，则f (x) =（ ） Ax1 B-x1 C 21x D- 21x 143设 cxxxxf lnd)( ，则 )(xf =（ ） A xlnln B xxln C 2ln1 x x D x2ln 144. 若 )(xf 的一个原函数是x1，则 )(xf （ ） (A) xln (B) 32x (C) x1 (D) 21x 145若 )()( xfxF ，则 xxxf d)( =（ ） A CxF )(2 B CxFx )(1 C CxF )( D CxF )(21 146下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ） A xx 1)dcos(2 B xxx d1 2 C xxx d2sin D xxx d1 2 147. 若 xxf cos)( ，则 xxf d)( （ ） A. cxsin B. cxcos C. cxsin D. cxcos 148.设 )(xf 是连续函数， )()( xfxF 是 的原函数，则（ ） A. 当 )(xf 为奇函数时, )(xF 必为偶函数 B. 当 )(xf 为偶函数时, )(xF 必为奇函数 C. 当 )(xf 为周期函数时, )(xF 必为周期函数 D. 当 )(xf 为单调增函数时, )(xF 必为单调增函数 149 xx xd 1sin 2 . 150 xxx d)2sin(ln 广州民航职业技术学院 13 151. dx ee dx x x 2 . 152. .1tan12 dxxx 153 xx xdlnsin2 . 154. xxxdsin 155. xxx d)ln1( 1 156. xxx de2 1 157. xxxdln2 158求微分方程 12 xxyy 满足初始条件 47)1( y 的特解 159. 微分方程 0)()( 22 dyyxydxxxy 的通解为 . 160. 求 1)( 22 yCx （其中 C取任意常数）为通解的微分方程 161 xxx d)1ln(dd e1 2 . 162. 设函数 x tatxf sin0 2 d)sin()( ， 43)( xxxg ，且当 0x 时， )(xf 与 )(xg 为 等价无穷小，则 a . 163. dxxx )23(1 1 . 164. 设 )(xf 为连续函数， 1 0 ,)(2)( dttfxxf 则 1 0 )( dxxf . 165. dxxx 0 )cos,max(sin . 166. 设 )(xf 的导数连续，且 2)0(,0)0( ff ，则 )(1lim 1 00 dtxtfxx . 167. 设函数 )(xf 在 （ , ）上连续，a 为常数，且对任意 ),( x ，有 广州民航职业技术学院 14 ,405)( 3 xdttfx a 求 )(xf 和 a. 168. 若 )(xF 是 )(xf 的一个原函数，则下列等式成立的是( ) A )(d)( xFxxfxa B )()(d)( aFxFxxfxa C )()(d)( afbfxxFba D )()(d)( aFbFxxfba 169. 设函数 )(xf 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） A. x ttftft0 d)()( B. x ttftft0 d)()( C. x ttf0 2 d)( D. x ttf0 2d)( 170下列积分值为0的是（ ） A- dsin xxx B 1 1- d2 ee xxx C 1 1- d2 ee xxx D xxx d)(cos 171. 设 0a ， )(xf 在 ),( aa 内恒有 2|)(|0)( xxfxf 且 ，记 aa dxxfI )( ，则有（ ） A. 0I B. 0I C. 0I D. 不确定 172. 下列无穷积分收敛的是（ ） A. 0 dcos xx B. 0 3 de xx C. 1 d1 xx D. 1 d1 xx 173. 4 1 x xdx . 174. .coscos 0 42 dxxxx 175. 2 0 dsin xxx 176 20 2dsin xxx 广州民航职业技术学院 15 177 1 2 21 d( 1)x xx 178 e1 dln xxx 179 xxx dln112e0 . 180e 3)(lndxx x 181. 7 2 2 ( cos 2 2)dx x x x 182 xxde0 3 183. 21 dxx ( 1)x . 184. e1 2 dln xxx 185. e1 dln xxx 186. 10 2 de xx x . 187. dxxx 0 53 sinsin . 188. 设函数 1 0 ( ) 1 cos 0 xf x x x x ， ， ，计算 2 0 )1( dxxf . 189. 已知曲线 )(xfy 与曲线 x t tey arctan0 d2 在点 ），（00 处具有相同的切线，写出该切线 方程，并求极限 )2(lim nfnn . 190. 已知 )(xf 具有二阶连续导数， 1)( f ，且 0 3sin)()( xdxxfxf 求 )0(f . 191. 证明：（1）若 )(xf 在区间 , aa 上连续且为偶函数，则 a a a dxxfdxxf 0 )(2)( （2）若 )(xf 在区间 , aa 上连续且为奇函数，则 a a dxxf 0)( 广州民航职业技术学院 16 192. 设 )(xf 在 0,1 上具有二阶导数，且 0)( xf ，求证： )21()(10 fdxxf . 193. 设 )()( xfxF 是 的一个原函数，且 1)0( F xxfxF 2cos)()(, ，求 dxxf0 |)(| . 194求由曲线 xy 1 和直线 xy 4 ， 2x ， 0y 所围图形面积 195. 求 c 的值，使两曲线 2xy 与 3cxy 所围成图形的面积等于32. 196. 某容器的形状是由曲线 )(yfx 绕y轴旋转而成的立体，今按 scmt /2 3 的速率往里 注水，为使水面上升速率恒为 scm/2 ，问 )(yf 应是怎样的函数. 197. 过坐标原点作曲线 xy ln 的切线，该切线与曲线 xy ln 及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A； (2)求D绕直线 ex 旋转一周所得旋转体的体积 V. 198. 斜边为定长的直角三角形薄板，垂直放置水中，并使一直角边与水面平齐，问三角形 的一锐角为多大时，薄板所受的水压力为最大? 199. 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻 力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k, k 0）. 汽锤第一次击打将桩打进地下a米. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一 次击打时所作的功之比为常数r(0r1). 问: (1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?