资源描述
2007年研究生入学考试数学一试题一、选择题：110小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当时，与等价的无穷小量是 （A）（B）（C）（D） （2）曲线的渐近线的条数为（A）0. （B）1. （C）2.（D）3. （3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是： （A） (B)（C）（D） （4）设函数在处连续，下列命题错误的是： （A）若存在，则 （B）若存在，则. （C）若存在，则 （D）若存在，则. （5）设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确的是：(A) 若，则必收敛. (B) 若 ，则必发散(C) 若 ，则必收敛. (D) 若 ，则必发散. （6）设曲线（具有一阶连续偏导数），过第象限内的点和第象限内的点，为上从点到点的一段弧，则下列小于零的是（A）.（B）（C）.（D）. （7）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) (B) (C) .(D) . （8）设矩阵，则与(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似.(D)既不合同也不相似 （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为 （A）. （B）. （C）. （D） （10）设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为 (A). (B) . (C). (D). 二、填空题：1116小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11） =_.（12）设是二元可微函数，则_.（13）二阶常系数非齐次微分方程的通解为_.（14）设曲面，则（15）设矩阵，则的秩为.（16）在区间中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为 .三、解答题：1724小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分11分)求函数在区域上的最大值和最小值.（18）（本题满分10分）计算曲面积分，其中为曲面 的上侧.（19）(本题满分11分)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在，使得.（20）(本题满分10分)设幂级数在内收敛，其和函数满足.（）证明：；（II）求的表达式.（21）(本题满分11分)设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.（22）(本题满分11分)设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵. （I）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵. （23）(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为.（I）求；(II)求的概率密度.1.【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当时， 故用排除法可得正确选项为（B）. 事实上， 或.所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.类似例题见数学复习指南（理工类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.2.【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】， 所以 是曲线的水平渐近线；，所以是曲线的垂直渐近线；，所以是曲线的斜渐近线. 故选（D）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意当时的极限不同.类似例题见文登强化班笔记高等数学第6讲第4节【例12】，数学复习指南（理工类）第一篇【例6.30】，【例6.31】.3.【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得，. 所以 ，故选（C）.【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记高等数学第5讲【例17】和【例18】，数学复习指南（理工类）第一篇【例3.39】【例3.40】.4.【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取，则，但在不可导，故选（D）. 事实上， 在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得.在（C）中，存在，则，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.5.【分析】本题依据函数的性质，判断数列. 由于含有抽象函数，利用赋值法举反例更易得出结果.【详解】选（D）. 取，而发散，则可排除（A）；取，而收敛，则可排除（B）；取，而发散，则可排除（C）； 故选（D）.事实上，若，则. 对任意，因为，所以， 对任意，. 故选（D）.【评注】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算.类似例题见文登强化班笔记高等数学第1讲【例24】，数学复习指南（理工类）第一篇【例1.22】.6.【分析】本题考查对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分的计算.【详解】M 、N点的坐标分别为，则由题设可知.因为，表示的横坐标；的弧长0；. 所以应选（B）.【评注】本题属基本概念题型，注意求对坐标的曲线积分时要考虑方向，对于曲线积分和曲面积分，应尽量先将曲线，曲面方程代入被积表达式化简，然后再计算.其计算方法见数学复习指南（理工类）第十一章第1节知识点精讲中对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分的相关性质，类似例题见文登强化班笔记高等数学第12讲【例5例7】，数学复习指南（理工类）【例11.1】.7.【分析】本题考查由线性无关的向量组构造的另一向量组的线性相关性. 一般令，若，则线性相关；若，则线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由可知应选（A）.或者因为，而， 所以线性相关，故选（A）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项. 完全类似例题见文登强化班笔记线性代数第3讲【例3】，数学复习指南（理工类）线性代数【例3.3】.8.【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得的特征值，并考虑到实对称矩阵必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】 由可得， 所以的特征值为3,3,0；而的特征值为1,1,0. 所以与不相似，但是与的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以与合同，故选（B）.【评注】若矩阵与相似，则与具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算与的特征值可立即排除（A）（C）. 完全类似例题见数学复习指南（理工类）第二篇【例5.17】.9.【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解】p前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标， 故选（C）.【评注】本题属基本题型.完全类似例题见数学复习指南（理工类）第三篇【例1.29】【例1.30】10.【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用与的独立性和公式可求解.【详解】因为服从二维正态分布，且与不相关，所以与独立，所以.故，应选（A）.【评注】若服从二维正态分布，则与不相关与与独立是等价的.类似例题和求法见文登强化班笔记概率论与数理统计第3讲【例3】，数学复习指南（理工类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】二、填空题：1116小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.11.【分析】本题为简单定积分的计算，利用牛莱公式和凑微分法求解.【详解】.【评注】本题为基础题型. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第5讲【例14】，数学复习指南（理工类）第一篇【例3.27】.12.【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.【详解】利用复合函数的求导公式，可直接得出【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第9讲【例8】, 【例9】，数学复习指南（理工类）第一篇【例8.16】,【例8.17】,【例8.18】.13.【分析】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构求解，即先求出对应齐次方程的通解，然后求出非齐次微分方程的一个特解，则其通解为 .【详解】对应齐次方程的特征方程为， 则对应齐次方程的通解为 . 设原方程的特解为 ，代入原方程可得， 所以原方程的特解为， 故原方程的通解为 ，其中为任意常数.【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第7讲【例11】，数学复习指南（理工类）第一篇【例5.13】.14.【分析】本题求解对面积的曲面积分，利用对称性可简化计算.【详解】由积分域与被积函数的对称性有， 所以. 故.【评注】对面积的曲面积分，应利用积分区域的对称性简化计算.类似例题见文登强化班笔记高等数学第12讲第4节【例1】和【例2】，数学复习指南（理工类）第一篇【例11.18】.15.【分析】先将求出，然后利用定义判断其秩.【详解】.【评注】本题为基础题型. 矩阵相关运算公式见数学复习指南（理工类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.16.【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用几何概型计算. 图如下：A1/211 1Oyx 所求概率.【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.完全类似例题见文登强化班笔记概率论与数理统计第3讲【例11】，数学复习指南（理工类）第三篇【例2.29】，【例2.47】.三、解答题：1724小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【分析】本题求二元函数在闭区域的最值. 先求出函数在区域内的驻点，然后比较驻点的函数值和边界上的极值，则最大者为最大值，最小者为最小值.【详解】（1）求函数的驻点. 因为，所以， 所以函数在区域内的驻点为，和. （2）求函数在边界线上的极值. 作拉格朗日函数如下， 则，解之得. 于是条件驻点为 ，. 而，. 比较以上函数值，可得函数在区域上的最大值为8，最小值为0. 【评注】多元函数的最值问题，一般都用拉格朗日乘数法解决. 利用拉格朗日乘数法确定目标函数的可能极值点后，不必一一检验它们是否为极值点，只要比较目标函数在这些点处的值，最大者为最大值，最小者为最小值. 但当只有惟一的可能极值点时，目标函数在这点处必取到最值，究竟是最大值还是最小值需根据问题的实际意义判定. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第9讲【例14例17】，数学复习指南（理工类）第一篇【例8.338.36】.18.【分析】本题不是封闭曲面，首先想到加一曲面，取下侧，使构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】的方程为： .添加一个平面，取下侧，则与构成闭曲面，其所围区域记为.于是.而， （上式可直接由被积函数的奇偶性和积分区域的对称性可得） 所以 .【评注】本题属基本题型，不论是用球面坐标还是用柱面坐标进行计算，均应特别注意计算的准确性，主要考查基本的计算能力.完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第12讲第4节例和练习，数学复习指南（理工类）第一篇【例11.19】，P.321【例11.21】19.【分析】由所证结论可联想到构造辅助函数，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令，则在上连续，在内具有二阶导数且.（1）若在内同一点取得最大值，则， 于是由罗尔定理可得，存在，使得. 再利用罗尔定理，可得 存在，使得，即.（2）若在内不同点取得最大值，则，于是， 于是由零值定理可得，存在，使得 于是由罗尔定理可得，存在，使得. 再利用罗尔定理，可得 ，存在，使得，即.【评注】对命题为的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证为的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证； 方法二：验证在包含于其内的区间上满足罗尔定理条件.类似例题见文登强化班笔记高等数学第4讲【例7】，数学复习指南（理工类）第一篇【例4.8】，【例4.9】.20.【分析】可将幂级数代入微分方程通过比较同次项系数，从而证得（）；由（）求（II）.【详解】（）由题设可得，代入，可得， 即 ，比较同次项系数可得. （II）由 ，可得， 故 .【评注】本题为一道幂级数与二阶微分方程的综合题，考查了幂级数的逐项微分法及的麦克老林级数展开式. 所以需记住常见函数，等函数的麦克劳林级数展开式.完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第11讲【例16】，数学复习指南（理工类）第一篇【例7.25】，【例7.26】21.【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得.【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组其系数矩阵.显然，当时无公共解.当时，可求得公共解为 ,为任意常数；当时，可求得公共解为 .【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.完全类似例题见文登强化班笔记线性代数第4讲【例8】，数学复习指南（理工类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.22.【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质. 【详解】（I）， 则是矩阵的属于2的特征向量. 同理可得，. 所以的全部特征值为2，1，1 设的属于1的特征向量为，显然为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得. 即 ，解方程组可得的属于1的特征向量，其中为不全为零的任意常数. 由前可知的属于2的特征向量为 ，其中不为零.（II）令，由（）可得，则.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为的形式. 请记住以下结论：（1）设是方阵的特征值，则分别有特征值 可逆），且对应的特征向量是相同的. （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的类似例题见文登强化班笔记线性代数第5讲【例12】，数学复习指南（理工类）第二篇【例5.24】23.【分析】（I）可化为二重积分计算； (II) 利用卷积公式可得.【详解】（I）. (II) 利用卷积公式可得.【评注】 (II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.完全类似例题见文登强化班笔记概率论与数理统计第3讲【例10】，【例11】，数学复习指南（理工类）第三篇【例2.38】，【例2.44】.（24）(本题满分11分)设总体的概率密度为为来自总体的简单随机样本，是样本均值.（I）求参数的矩估计量；（II）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.【分析】利用求（I）；判断.【详解】（I）， 令. （II）， 而， 所以 ， 所以，故不是的无偏估计量.【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.完全类似例题见文登强化班笔记概率论与数理统计第5讲【例3】，数学复习指南（理工类）第三篇【例6.3，例6.6，例6.9】，17 / 17
展开阅读全文