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一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 习 题 1 、 如 果 方 程 的 两 根 是 、 ， 那 么 = ， = 。 2 、 已 知 、 是 方 程 的 两 个 根 ， 那 么 ： = ； = ； ； ； ； = 。 3 、 以 2和 3为 根 的 一 元 二 次 方 程 (二 次 项 系 数 为 1)是 。 4 、 如 果 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 的 一 个 根 是 1 ， 那 么 另 一 个 根 是 ， 的 值 为 。 5 、 如 果 关 于 x 的 方 程 x 2 +6 x +k =0 的 两 根 差 为 2 ， 那 么 k = 。 6 、 已 知 方 程 2x2+mx 4=0两 根 的 绝 对 值 相 等 ， 则 m= 。 7 、 一 元 二 次 方 程 p x 2 +q x +r=0 (p 0 )的 两 根 为 0 和 1 ， 则 q p = 。 8 、 已 知 方 程 x 2 mx +2 =0 的 两 根 互 为 相 反 数 ， 则 m= 。 9 、 已 知 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 (a2 1)x2 (a+1)x+1=0两 根 互 为 倒 数 ， 则 = 。 1 0 、 已 知 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 mx2 4x 6=0的 两 根 为 x1和 x2， 且 = 2， 则 m= ， = 。 1 1 、 已 知 方 程 3x2+x 1=0， 要 使 方 程 两 根 的 平 方 和 为 ， 那 么 常 数 项 应 改 为 。 1 2 、 已 知 二 次 项 系 数 为 1的 一 元 二 次 方 程 ， 它 的 两 根 之 和 为 5， 两 根 之 积 为 6， 则 这 个 方 程 为 。 1 3 、 若 、 为 实 数 且 + 3 +(2 )2=0， 则 以 、 为 根 的 一 元 二 次 方 程 为 。 (其 中 二 次 项 系 数 为 1) 1 4 、 已 知 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2 2(m 1)x+m2=0。 若 方 程 的 两 根 互 为 倒 数 ， 则 m= ； 若 方 程 两 根 之 和 与 两 根 积 互 为 相 反 数 ， 则 m= 。 1 5 、 已 知 方 程 x2+4x 2m=0的 一 个 根 比 另 一 个 根 小 4， 则 = ； = ； m= 。 1 6 、 已 知 关 于 x 的 方 程 x 2 3 x +k =0 的 两 根 立 方 和 为 0 ， 则 k = 1 7 、 已 知 关 于 x的 方 程 x2 3mx+2(m 1)=0的 两 根 为 、 ， 且 ， 则 m= 。 1 8 、 关 于 x的 方 程 2x2 3x+m=0， 当 时 ， 方 程 有 两 个 正 数 根 ； 当 m 时 ， 方 程 有 一 个 正 根 ， 一 个 负 根 ； 当 m 时 ， 方 程 有 一 个 根 为 0。 1 9 、 若 方 程 x2 4x+m=0与 x2 x 2m=0有 一 个 根 相 同 ， 则 m= 。 2 0 、 求 作 一 个 方 程 ， 使 它 的 两 根 分 别 是 方 程 x2+3x 2=0两 根 的 二 倍 ， 则 所 求 的 方 程 为 。 2 1 、 一 元 二 次 方 程 2x2 3x+1=0的 两 根 与 x2 3x+2=0的 两 根 之 间 的 关 系 是 。 2 2 、 已 知 方 程 5x2+mx 10=0的 一 根 是 5， 求 方 程 的 另 一 根 及 m的 值 。 2 3 、 已 知 2+是 x2 4x+k=0的 一 根 ， 求 另 一 根 和 k的 值 。 2 4 、 不 解 方 程 ， 判 断 下 列 方 程 根 的 符 号 ， 如 果 两 根 异 号 ， 试 确 定 是 正 根还 是 负 根 的 绝 对 值 大 ? 2 5 、 已 知 和 是 方 程 2 x 2 3 x 1 =0 的 两 个 根 ， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 ， 求 下 列 各 式 的 值 ： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ）2 6 、 求 一 个 一 元 二 次 方 程 ， 使 它 的 两 个 根 是 2+和 2 。 2 7 、 已 知 两 数 的 和 等 于 6， 这 两 数 的 积 是 4， 求 这 两 数 。 28、 方 程 x2+3x+m=0中 的 m是 什 么 数 值 时 ， 方 程 的 两 个 实 数 根 满 足 ： (1)一个 根 比 另 一 个 根 大 2； (2)一 个 根 是 另 一 个 根 的 3倍 ； (3)两 根 差 的 平 方 是 17。 2 9 、 已 知 关 于 x的 方 程 2x2 (m 1)x+m+1=0的 两 根 满 足 关 系 式 ， 求 m的 值及 两 个 根 。 3 0 、 、 是 关 于 x的 方 程 4x2 4mx+m2+4m=0的 两 个 实 根 ， 并 且 满 足 ，求 m的 值 。 3 1 、 已 知 一 元 二 次 方 程 8x2 (2m+1)x+m 7=0， 根 据 下 列 条 件 ， 分 别 求出 m的 值 ： (1)两 根 互 为 倒 数 ；(2)两 根 互 为 相 反 数 ； (3)有 一 根 为 零 ；(4)有 一 根 为 1； (5 )两 根 的 平 方 和 为 。 3 2 、 已 知 方 程 x2+mx+4=0和 x2 (m 2)x 16=0有 一 个 相 同 的 根 ， 求 m的值 及 这 个 相 同 的 根 。 3 3 、 已 知 关 于 x的 二 次 方 程 x2 2(a 2)x+a2 5=0有 实 数 根 ， 且 两 根 之 积 等 于 两 根 之 和 的 2倍 ， 求 a的 值 。 3 4 、 已 知 方 程 x2+bx+c=0有 两 个 不 相 等 的 正 实 根 ， 两 根 之 差 等 于 3， 两 根的 平 方 和 等 于 29， 求 b、 c的 值 。 3 5 、 设 ： 3a2 6a 11=0， 3b2 6b 11=0且 a b， 求 a4 b4的 值 。 3 6 、 已 知 一 元 二 次 方 程 (2k 3)x2+4kx+2k 5=0， 且 4k+1是 腰 长 为 7的 等腰 三 角 形 的 底 边 长 ， 求 ： 当 k取 何 整 数 时 ， 方 程 有 两 个 整 数 根 。 3 7 、 已 知 ： 、 是 关 于 x的 方 程 x2+(m 2)x+1=0的 两 根 ， 求 (1+m + 2)(1+m + 2)的 值 。 3 8 、 已 知 x 1 ,x 2 是 关 于 x 的 方 程 x 2 +p x +q =0 的 两 根 ， x 1 +1 、 x 2 +1 是 关 于 x 的 方 程 x 2 +q x +p =0 的 两 根 ， 求 常 数 p 、 q 的 值 。 3 9 、 已 知 、 是 关 于 x的 方 程 x2+m2x+n=0的 两 个 实 数 根 ； 、 是 关 于 y的 方 程 y2+5my+7=0的 两 个 实 数 根 ， 且 =2,=2， 求 m、 n的 值 。 4 0 、 关 于 x的 方 程 m2x2+(2m+3)x+1=0有 两 个 乘 积 为 1的 实 根 ， x2+2(a+m)x+2a m2+6m 4=0有 大 于 0且 小 于 2的 根 。 求 a的 整 数 值 。 4 1 、 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 3x2 (4m2 1)x+m(m+2)=0的 两 实 根 之 和 等 于两 个 实 根 的 倒 数 和 ， 求 m的 值 。 4 2 、 已 知 ： 、 是 关 于 x的 二 次 方 程 ： (m 2)x2+2(m 4)x+m 4=0的两 个 不 等 实 根 。 (1)若 m为 正 整 数 时 ， 求 此 方 程 两 个 实 根 的 平 方 和 的 值 ； (2)若 2+ 2=6时 ， 求 m的 值 。 4 3 、 已 知 关 于 x的 方 程 mx2 nx+2=0两 根 相 等 ， 方 程 x2 4mx+3n=0的 一 个根 是 另 一 个 根 的 3倍 。 求 证 ： 方 程 x 2 (k +n )x +(k m)=0 一 定 有 实 数 根 。 4 4 、 关 于 x的 方 程 =0 ， 其 中 m、 n分 别 是 一 个 等 腰 三 角 形 的 腰 长 和 底 边长 。 (1)求 证 ： 这 个 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ；(2 )若 方 程 两 实 根 之 差 的 绝 对 值 是 8 ， 等 腰 三 角 形 的 面 积 是 1 2 ， 求 这 个 三 角 形 的 周 长 。 4 5 、 已 知 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2+2x+p2=0有 两 个 实 根 x1和 x2(x1 x2)， 在 数 轴 上 ， 表 示 x2的 点 在 表 示 x1的 点 的 右 边 ， 且 相 距 p+1， 求 p的 值 。 4 6 、 已 知 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0的 两 根 为 、 ， 且 两 个 关 于 x的 方 程 x2+( +1)x+ 2=0与 x2+( +1)x+ 2=0有 唯 一 的 公 共 根 ， 求a、 b、 c的 关 系 式 。 4 7 、 如 果 关 于 x的 实 系 数 一 元 二 次 方 程 x2+2(m+3)x+m2+3=0有 两 个 实 数 根 、 ， 那 么 ( 1)2+( 1)2的 最 小 值 是 多 少 ? 4 8 、 已 知 关 于 x 的 方 程 2 x 2 +5 x =m的 一 个 根 是 2 ， 求 它 的 另 一 个 根 及 m的 值 。 4 9 、 已 知 关 于 x 的 方 程 3 x 2 1 =tx 的 一 个 根 是 2 ， 求 它 的 另 一 个 根 及 t的值 。 5 0 、 设 x 1 ， x 2 是 方 程 3 x 2 2 x 2 =0 的 两 个 根 ， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 ， 求 下 列 各 式 的 值 ： (1 )(x 1 4 )(x 2 4 )； (2 )x 1 3 x 2 4 +x 1 4 x 2 3 ； (3 )； (4 )x 1 3 +x 2 3 。 5 1 、 设 x 1 ， x 2 是 方 程 2 x 2 4 x +1 =0 的 两 个 根 ， 求 x 1 x 2 的 值 。 5 2 、 已 知 方 程 x 2 +mx +1 2 =0 的 两 实 根 是 x 1 和 x 2 ， 方 程 x 2 mx +n =0 的 两 实 根 是 x 1 +7 和 x 2 +7 ， 求 m和 n 的 值 。 5 3 、 已 知 两 数 之 和 为 7 ， 两 数 之 积 为 1 2 ， 求 这 两 个 数 。 5 4 、 已 知 方 程 2 x 2 3 x 3 =0 的 两 个 根 分 别 为 a， b ， 利 用 根 与 系 数 的 关系 ， 求 一 个 一 元 二 次 方 程 ， 使 它 的 两 个 根 分 别 是 ： (1 )a+1 .b +1(2 ) 5 5 、 一 个 直 角 三 角 形 的 两 条 直 角 边 长 的 和 为 6 cm， 面 积 为 cm2 ， 求 这 个 直角 三 角 形 斜 边 的 长 。 5 6 、 在 解 方 程 x 2 +p x +q =0 时 ， 小 张 看 错 了 p ， 解 得 方 程 的 根 为 1 与 3 ；小 王 看 错 了 q ， 解 得 方 程 的 根 为 4 与 2 。 这 个 方 程 的 根 应 该 是 什 么 ? 5 7 、 已 知 x 1 ， x 2 是 方 程 2 x 2 +3 x 1 =0 的 两 个 根 ， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 ， 求 下 列 各 式 的 值 ：(1 )； (2 )。 58、 已 知 a2 =1 a， b 2 =1 b ， 且 a b ， 求 (a 1 )(b 1 )的 值 。 5 9 、 已 知 m2 +m 4 =0 ， ， m， n 为 实 数 ， 且 ， 则 = 。 6 0 、 .设 x 1 ， x 2 是 方 程 2 x 2 2 x 1 =0 的 两 个 根 ， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 ， 求 下 列 各 式 的 值 ： (1 )(x 1 2 +2 )(x 2 2 +2 )； (2 )(2 x 1 +1 )(2 x 2 +1 )； (3 )(x 1 x 2 )2 。 6 1 、 .已 知 m， n 是 一 元 二 次 方 程 x 2 2 x 5 =0 的 两 个 实 数 根 ， 求 2 m2 +3 n 2 +2 m的 值 。 6 2 、 已 知 方 程 x 2 +5 x 7 =0 ， 不 解 方 程 ， 求 作 一 个 一 元 二 次 方 程 ， 使 它的 两 个 根 分 别 是 已 知 方 程 的 两 个 根 的 负 倒 数 。 6 3 、 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax 2 +b x +c=0 (a 0 )的 两 根 之 比 为 2 1 ， 求 证 ： 2 b 2 =9 ac。 6 4 、 .已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x 2 +mx +1 2 =0 的 两 根 之 差 为 1 1 ， 求 m的值 。 6 5 、 已 知 关 于 y 的 方 程 y 2 2 ay 2 a 4 =0 。 (1 )证 明 ： 不 论 a取 何 值 ， 这 个方 程 总 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ； (2 )a为 何 值 时 ， 方 程 的 两 根 之 差 的 平 方 等 于 1 6 ? 6 6 、 已 知 一 元 二 次 方 程 x 2 1 0 x +2 1 +a=0 。 (1 )当 a为 何 值 时 ， 方 程 有 一正 、 一 负 两 个 根 ?(2 )此 方 程 会 有 两 个 负 根 吗 ?为 什 么 ? 67、 已 知 关 于 x 的 方 程 x 2 (2 a 1 )x +4 (a 1 )=0 的 两 个 根 是 斜 边 长 为 5 的 直角 三 角 形 的 两 条 直 角 边 的 长 ， 求 这 个 直 角 三 角 形 的 面 积 。 6 8 、 已 知 方 程 x 2 +ax +b =0 的 两 根 为 x 1 ， x 2 ， 且 4 x 1 +x 2 =0 ， 又 知 根 的 判 别 式 =2 5 ， 求 a， b 的 值 。 6 9 、 已 知 一 元 二 次 方 程 8 y 2 (m+1 )y +m 5 =0 。 (1 )m为 何 值 时 ， 方 程 的 一个 根 为 零 ?(2 )m为 何 值 时 ， 方 程 的 两 个 根 互 为 相 反 数 ?(3 )证 明 ： 不 存 在 实 数 m， 使 方 程 的 两 个 相 互 为 倒 数 。 7 0 、 当 m为 何 值 时 ， 方 程 3 x 2 +2 x +m 8 =0 ： (1 )有 两 个 大 于 2 的 根 ?(2 )有一 个 根 大 于 2 ， 另 一 个 根 小 于 2 ? 7 1 、 已 知 ， 是 一 元 二 次 方 程 x 2 +=0 的 两 个 实 数 根 ， 且 ， ， 求 m和 n 的 值 。