浙江压轴题节选.pdf

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（ 2 0 1 2 浙江宁波 1 2 分）如图，二次函数 y =ax 2 +b x +c的图象交 x 轴于 A（ 1 ， 0 ）， B（ 2 ， 0 ），交 y 轴于 C（ 0 ， 2 ），过 A， C画直线（ 1 ）求二次函数的解析式；（ 2 ）点 P在 x 轴正半轴上，且 PA=PC，求 OP的长；（ 3 ）点 M在二次函数图象上，以 M为圆心的圆与直线 AC相切，切点为 H 若 M在 y 轴右侧，且 CHM AOC（点 C与点 A对应），求点 M的坐标；若 M的半径为，求点 M的坐标【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（ 1 ）根据与 x 轴的两个交点 A、 B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点 C的坐标代入计算求出 a的值，即可得到二次函数解析式。（ 2 ）设 OP=x ，然后表示出 PC、 PA的长度，在 Rt POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。（ 3 ）根据相似三角形对应角相等可得 MCH= CAO，然后分（ i）点 H在点 C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定 CM x 轴，从而得到点 M的纵坐标与点 C的纵坐标相同，是 -2 ，代入抛物线解析式计算即可；（ ii）点 H在点 C上方时，根据（ 2 ）的结论，点 M为直线 PC与抛物线的另一交点，求出直线 PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点 M的坐标。在 x 轴上取一点 D，过点 D作 DE AC于点 E，可以证明 AED和 AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到 AD的长度，然后分点 D在点 A的左边与右边两种情况求出 OD的长度，从而得到点 D的坐标，再作直线 DM AC，然后求出直线 DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点 M的坐标。【答案】解：（ 1 ）二次函数 y =ax 2 +b x +c的图象交 x 轴于 A（ 1 ， 0 ）， B（ 2 ， 0 ）设该二次函数的解析式为： y =a（ x +1 ）（ x 2 ），将 x =0 ， y = 2 代入，得 2 =a（ 0 +1 ）（ 0 2 ），解得 a=1 。抛物线的解析式为 y =（ x +1 ）（ x 2 ），即 y =x 2 x 2 。（ 2 ）设 OP=x ，则 PC=PA=x +1 ，在 Rt POC中，由勾股定理，得 x 2 +2 2 =（ x +1 ） 2 ，解得， x =，即 OP=。（ 3 ） CHM AOC， MCH= CAO。（ i）如图 1 ，当 H在点 C下方时， MCH= CAO， CM x 轴， y M= 2 。 x 2 x 2 = 2 ，解得 x 1 =0 （舍去）， x 2 =1 。 M（ 1 ， 2 ）。（ ii）如图 2 ，当 H在点 C上方时， MCH= CAO， PA=PC。由（ 2 ）得， M为直线 CP与抛物线的另一交点，设直线 CM的解析式为 y =k x 2 ，把 P（， 0 ）的坐标代入，得 k 2 =0 ，解得 k =。 y =x 2 。由 x 2 =x 2 x 2 ，解得 x 1 =0 （舍去）， x 2 =。此时 y = 。 M（）。在 x 轴上取一点 D，如图 3 ，过点 D作 DE AC于点 E，使 DE=，在 Rt AOC中， AC=。 COA= DEA=9 0 ， OAC= EAD， AED AOC，，即，解得 AD=2 。 D（ 1 ， 0 ）或 D（ 3 ， 0 ）。过点 D作 DM AC，交抛物线于 M，如图则直线 DM的解析式为： y = 2 x +2 或 y = 2 x 6 。当 2 x 6 =x 2 x 2 时，即 x 2 +x +4 =0 ，方程无实数根，当 2 x +2 =x 2 x 2 时，即 x 2 +x 4 =0 ，解得。点 M的坐标为（）或（）。（ 2 0 1 2 浙江丽水、金华 1 2 分）在 ABC中， ABC 4 5 ， tan ACB 如图，把 ABC的一边 BC放置在 x 轴上，有 OB 1 4 ， OC ， AC与 y 轴交于点 E 【来源：全 ,品中 &高 * 考 +网】 (1 )求 AC所在直线的函数解析式； (2 )过点 O作 OG AC，垂足为 G，求 OEG的面积； (3 )已知点 F(1 0 ， 0 )，在 ABC的边上取两点 P， Q，是否存在以 O， P， Q为顶点的三角形与 OFP全等，且这两个三角形在 OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和应用。【分析】 (1 )根据三角函数求 E点坐标，运用待定系数法求解。 (2 )在 Rt OGE中，运用三角函数和勾股定理求 EG， OG的长度，再计算面积。 (3 )分两种情况讨论求解：点 Q在 AC上；点 Q在 AB上求直线 OP与直线 AC的交点坐标即可。【答案】解： (1 ) 在 Rt OCE中， OE OCtan OCE ，点 E(0 ，。设直线 AC的函数解析式为 y k x ，有，解得： k 。直线 AC的函数解析式为 y 。 (2 ) 在 Rt OGE中， tan EOG tan OCE ，设 EG 3 t， OG 5 t，，，得 t 2 。 EG 6 ， OG 1 0 。 / (3 ) 存在。当点 Q在 AC上时，点 Q即为点 G，如图 1 ，作 FOQ的角平分线交 CE于点 P1 ，由 OP1 F OP1 Q，则有 P1 F x 轴，由于点 P1 在直线 AC上，当 x 1 0 时， y 点 P1 (1 0 ， )。当点 Q在 AB上时，如图 2 ，有 OQ OF，作 FOQ 的角平分线交 CE于点 P2 ，过点 Q作 QH OB于点 H，设 OH a，则 BH QH 1 4 a，在 Rt OQH中， a2 (1 4 a)2 1 0 0 ，解得： a1 6 ， a2 8 ， Q( 6 ， 8 )或 Q( 8 ， 6 )。连接 QF交 OP2 于点 M 当 Q( 6 ， 8 )时，则点 M(2 ， 4 )；当 Q( 8 ， 6 )时，则点 M(1 ， 3 )。设直线 OP2 的解析式为 y k x ，则 2 k 4 ， k 2 。 y 2 x 。解方程组，得。 P2 ()；当 Q( 8 ， 6 )时，则点 M(1 ， 3 ) 同理可求 P2 ()。综上所述，满足条件的 P点坐标为 (1 0 ， )或 ()或 ()。（ 2 0 1 2 浙江嘉兴、舟山 1 4 分）在平面直角坐标系 x Oy 中，点 P是抛物线： y =x 2 上的动点（点在第一象限内）连接 OP，过点 0 作 OP的垂线交抛物线于另一点 Q 连接 PQ，交 y 轴于点 M 作 PA丄 x 轴于点 A， QB 丄 x 轴于点 B 设点 P的横坐标为 m （ 1 ）如图 1 ，当 m=时，求线段 OP的长和 tan POM的值；在 y 轴上找一点 C，使 OCQ是以 OQ为腰的等腰三角形，求点 C的坐标；（ 2 ）如图 2 ，连接 AM、 BM，分别与 OP、 OQ相交于点 D、 E 用含 m的代数式表示点 Q的坐标；求证：四边形 ODME是矩形【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定。【分析】（ 1 ）已知 m的值，代入抛物线的解析式中可求出点 P的坐标；由此确定 PA、 OA的长，通过解直角三角形易得出结论。题目要求 OCQ是以 OQ为腰的等腰三角形，所以分 QO=OC、 QC=QO两种情况来判断： QO=QC时， Q在线段 OC的垂直平分线上， Q、 O的纵坐标已知， C点坐标即可确定； QO=OC时，先求出 OQ的长，那么 C点坐标可确定。（ 2 ）由 QOP=9 0 ，易求得 QBO MOA，通过相关的比例线段来表示出点 Q的坐标。在四边形 ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那么可通过证明两组对边平行来得证。【答案】解：（ 1 ）把 x =代入 y =x 2 ，得 y =2 ， P（， 2 ）， OP=。 PA丄 x 轴， PA MO 。设 Q（ n ， n 2 ）， tan QOB=tan POM，。 Q（）。 OQ=。当 OQ=OC 时，则 C1 （ 0 ，）， C2 （ 0 ，）。当 OQ=CQ 时，则 C3 （ 0 ， 1 ）。（ 2 ）点 P的横坐标为 m， P（ m， m2 ）。设 Q（ n ， n 2 ）， APO BOQ，。，得。 Q（）。设直线 PO的解析式为： y =k x +b ，把 P（ m， m2 ）、 Q（）代入，得：，解得 b =1 。 M（ 0 ， 1 ）。， QBO= MOA=9 0 ， QBO MOA。 MAO= QOB， QO MA。同理可证： EM OD。又 EOD=9 0 ，四边形 ODME是矩形。 7 . （ 2 0 1 2 浙江丽水、金华 1 0 分）在直角坐标系中，点 A是抛物线 y x 2 在第二象限上的点，连接 OA，过点 O作 OB OA，交抛物线于点 B，以 OA、 OB为边构造矩形 AOBC (1 )如图 1 ，当点 A的横坐标为时，矩形 AOBC是正方形； (2 )如图 2 ，当点 A的横坐标为时，求点 B的坐标；将抛物线 y x 2 作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 y x 2 ，试判断抛物线 y x 2 经过平移交换后，能否经过 A， B， C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由【考点】二次函数综合题，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，全等和相似三角形的判定和性质，平移的性质。【分析】（ 1 ）如图，过点 A作 AD x 轴于点 D，矩形 AOBC是正方形， AOC 4 5 。 AOD 9 0 4 5 4 5 。 AOD是等腰直角三角形。设点 A的坐标为 ( a， a)(a0 )，则 ( a)2 a，解得 a1 1 ， a2 0 (舍去 )，点 A的坐标 a 1 。 (2 ) 过点 A作 AE x 轴于点 E，过点 B作 BF x 轴于点 F，先利用抛物线解析式求出 AE的长度，然后证明 AEO和 OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 OF与 BF的关系，然后利用点 B在抛物线上，设出点 B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解。过点 C作 CG BF于点 G，可以证明 AEO和 BGC全等，根据全等三角形对应边相等可得 CG OE， BG AE，然后求出点 C的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点 A、 B的抛物线解析式，把点 C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点 C，如果经过点 C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可。【答案】解： (1 ) 1 。 (2 ) 过点 A作 AE x 轴于点 E，过点 B作 BF x 轴于点 F，当 x 时， y ( )2 ，即 OE ， AE 。 AOE BOF 1 8 0 9 0 9 0 ， 2 1 世 AOE EAO 9 0 ， EAO BOF。又 AEO BFO 9 0 ， AEO OFB。。设 OF t，则 BF 2 t， t2 2 t，解得： t1 0 (舍去 )， t2 2 。点 B(2 ， 4 )。过点 C作 CG BF于点 G， AOE EAO 9 0 ， FBO CBG 9 0 ， EOA FBO， EAO CBG。在 AEO和 BGC中， AEO G=9 0 0 ， EAO CBG,AO=BC， AEO BGC(AAS)。 CG OE ， BG AE 。 x c 2 ， y c 4 。点 C()。设过 A( ， )、 B(2 ， 4 )两点的抛物线解析式为 y x 2 b x c，由题意得，，得。经过 A、 B两点的抛物线解析式为 y x 2 3 x 2 。当 x 时， y ()2 3 2 ，点 C也在此抛物线上。经过 A、 B、 C三点的抛物线解析式为 y x 2 3 x 2 (x )2 。平移方案：先将抛物线 y x 2 向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线 y (x )2 。 1 2 . （ 2 0 1 2 浙江衢州 1 2 分）如图，把两个全等的 Rt AOB和 Rt COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边 OB、 OD在 x 轴上已知点 A（ 1 ， 2 ），过 A、 C两点的直线分别交 x 轴、 y 轴于点 E、 F 抛物线 y =ax 2 +b x +c经过 O、 A、 C三点（ 1 ）求该抛物线的函数解析式；（ 2 ）点 P为线段 OC上一个动点，过点 P作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的点 P，使得四边形 ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由（ 3 ）若 AOB沿 AC方向平移（点 A始终在线段 AC上，且不与点 C重合）， AOB在平移过程中与 COD重叠部分面积记为 S 试探究 S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。【分析】（ 1 ）抛物线 y =ax 2 +b x +c经过点 O、 A、 C，利用待定系数法求抛物线的解析式。（ 2 ）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出 t的值，从而可解。结论：存在点 P（），使得四边形 ABPM为等腰梯形。（ 3 ）求出得重叠部分面积 S的表达式，然后利用二次函数的极值求得 S的最大值。【答案】解：（ 1 ）抛物线 y =ax 2 +b x +c经过点 O， c=0 。又抛物线 y =ax 2 +b x +c经过点 A、 C，，解得。抛物线解析式为。（ 2 ）设点 P的横坐标为 t， PN CD， OPN OCD，可得 PN=。 P（ t，）。点 M在抛物线上， M（ t，）。如图 1 ，过 M点作 MG AB于 G，过 P点作 PH AB于 H， AG=y A y M=2 ， BH=PN=。当 AG=BH时，四边形 ABPM为等腰梯形，，化简得 3 t2 8 t+4 =0 。解得 t1 =2 （不合题意，舍去）， t2 =，点 P的坐标为（）。存在点 P（），使得四边形 ABPM为等腰梯形。（ 3 ）如图 2 ， AOB沿 AC方向平移至 AOB， AB交 x 轴于 T，交 OC于 Q， AO交 x 轴于 K，交 OC于 R。由 A、 C的坐标可求得过 A、 C的直线为 y AC= x +3 设点 A的横坐标为 a，则点 A（ a， a+3 ），易知 OQT OCD，可得 QT=。点 Q的坐标为（ a，）。设 AB与 OC相交于点 J， ARQ AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，。。 KT=AT=（ 3 a）， AQ=y A y Q=（ a+3 ） =3 a。 S四边形 RKTQ=S AKT S ARQ=KTAT AQHT 。 0 ，在线段 AC上存在点 A（），能使重叠部分面积 S取到最大值，最大值为。 1 4 . （ 2 0 1 2 浙江绍兴 1 4 分）如图，矩形 OABC的两边在坐标轴上，连接 AC，抛物线经过 A， B两点。（ 1 ）求 A点坐标及线段 AB的长；（ 2 ）若点 P由点 A出发以每秒 1 个单位的速度沿 AB边向点 B移动， 1 秒后点 Q也由点 A出发以每秒 7 个单位的速度沿 AO， OC， CB边向点 B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点 P的移动时间为 t秒。当 PQ AC时，求 t的值；当 PQ AC时，对于抛物线对称轴上一点 H， HOQ POQ，求点 H的纵坐标的取值范围。【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质。【分析】（ 1 ）已知抛物线的解析式，将 x =0 代入即可得 A点坐标；由于四边形 OABC是矩形，那么 A、 B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出 B点坐标，则 AB长可求。（ 2 ） Q点的位置可分：在 OA上、在 OC上、在 CB上三段来分析，若 PQ AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上 t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出 t的值，然后由 t的取值范围将不合题意的值舍去。当 PQ AC时， BPQ BAC，通过比例线段求出 t的值以及 P、 Q点的坐标，可判定 P点在抛物线的对称轴上，若 P、 H 1 重合，此时有 H 1 OQ= POQ。若作 P点关于 OQ的对称点 P， OP与 NP的交点 H2 ，亦可得到 H 2 OQ= POQ，而题目要求的是 HOQ POQ，那么 H1 点以下、 H 2 点以上的 H点都是符合要求的。【答案】解：（ 1 ）由抛物线知：当 x =0 时， y = 2 ， A（ 0 ， 2 ）。四边形 OABC是矩形， AB x 轴，即 A、 B的纵坐标相同。当 y = 2 时，，解得。 B（ 4 ， 2 ）。 AB=4 。（ 2 ）由题意知： A点移动路程为 AP=t， Q点移动路程为 7 （ t 1 ） =7 t 7 。当 Q点在 OA上时，即，时，如图 1 ，若 PQ AC，则有 Rt QAP Rt ABC。，即，解得。，此时 t值不合题意。当 Q点在 OC上时，即，时，如图 2 ，过 Q点作 QD AB。 AD=OQ=7 （ t 1 ） 2 =7 t 9 。 DP=t （ 7 t 9 ） =9 6 t。若 PQ AC，则有 Rt QDP Rt ABC，，即，解得。，符合题意。当 Q点在 BC上时，即，时，如图 3 ，若 PQ AC，过 Q点作 QG AC，则 QG PG，即 GQP=9 0 。 QPB 9 0 ，这与 QPB的内角和为 1 8 0 矛盾，此时 PQ不与 AC垂直。综上所述，当时，有 PQ AC。当 PQ AC时，如图 4 ， BPQ BAC，，，解得 t=2 。即当 t=2 时， PQ AC。此时 AP=2 ， BQ=CQ=1 。 P（ 2 ， 2 ）， Q（ 4 ， 1 ）。抛物线对称轴的解析式为 x =2 ，当 H1 为对称轴与 OP的交点时，有 H1 OQ= POQ，当 y H 2 时， HOQ POQ。作 P点关于 OQ的对称点 P，连接 PP交 OQ于点 M，过 P 作 PN垂直于对称轴，垂足为 N，连接 OP，在 Rt OCQ中， OC=4 ， CQ=1 。 OQ=， S OPQ=S四边形 ABCD S AOP S COQ S QBP=3 =OQPM， PM=。 PP=2 PM=。 NPP= COQ。 Rt COQ Rt NPP。，即，解得，。 P（）。直线 OP的解析式为。 OP与 NP的交点 H2 （ 2 ，）。当时， HOP POQ。综上所述，当或时， HOQ POQ。 1 8 . （ 2 0 1 2 浙江温州 1 4 分）如图，经过原点的抛物线与 x 轴的另一个交点为 A.过点作直线轴于点 M，交抛物线于点 B.记点 B关于抛物线对称轴的对称点为 C（ B、 C不重合） .连结 CB,CP。（ 1 ）当时，求点 A的坐标及 BC的长；（ 2 ）当时，连结 CA，问为何值时 CA CP？（ 3 ）过点 P作 PE PC且 PE=PC，问是否存在，使得点 E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并写出相对应的点 E坐标；若不存在，请说明理由。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（ 1 ）把 m=3 ，代入抛物线的解析式，令 y =0 解方程，得到的非 0 解即为和 x 轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出 BC的长。（ 2 ）过点 C作 CH x 轴于点 H（如图 1 ）由已知得 ACP= BCH=9 0 ，利用已知条件证明 AGH PCB，根据相似的性质得到：，再用含有 m的代数式表示出 BC， CH， BP，代入比例式即可求出 m的值。（ 3 ）存在。本题要分当 m 1 时， BC=2 （ m-1 ）， PM=m， BP=m 1 和当 0 m 1 时， BC=2 （ 1 m）， PM=m， BP=1 m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的 m值和相对应的点 E坐标。【答案】解：（ 1 ）当 m=3 时， y = x 2 6 x 。令 y =0 得 x 2 6 x =0 ，解得， x 1 =0 ， x 2 =6 。 A（ 6 ， 0 ）。当 x =1 时， y =5 。 B（ 1 ， 5 ）。抛物线 y = x 2 6 x 的对称轴为直线 x =3 ，且 B， C关于对称轴对称， BC=4 。（ 2 ）过点 C作 CH x 轴于点 H（如图 1 ）由已知得， ACP= BCH=9 0 ， ACH= PCB。又 AHC= PBC=9 0 ， AGH PCB。。抛物线 y = x 2 2 mx 的对称轴为直线 x =m，其中 m 1 ，且 B， C关于对称轴对称， BC=2 （ m 1 ）。 B（ 1 ， 2 m 1 ）， P（ 1 ， m）， BP=m 1 。又 A（ 2 m， 0 ）， C（ 2 m 1 ， 2 m 1 ）， H（ 2 m 1 ， 0 ）。 AH=1 ， CH=2 m 1 ，，解得 m= 。（ 3 ）存在。 B， C不重合， m1 。（ I）当 m 1 时， BC=2 （ m 1 ）， PM=m， BP=m 1 ，（ i）若点 E在 x 轴上（如图 1 ）， CPE=9 0 ， MPE+ BPC= MPE+ MEP=9 0 ， PC=EP。 BPC MEP， BC=PM，即 2 （ m-1 ） =m，解得 m=2 。此时点 E的坐标是（ 2 ， 0 ）。（ ii）若点 E在 y 轴上（如图 2 ），过点 P作 PN y 轴于点 N，易证 BPC NPE， BP=NP=OM=1 ，即 m 1 =1 ，解得， m=2 。此时点 E的坐标是（ 0 ， 4 ）。（ II）当 0 m 1 时， BC=2 （ 1 m）， PM=m， BP=1 m，（ i）若点 E在 x 轴上（如图 3 ），易证 BPC MEP， BC=PM，即 2 （ 1 m） =m，解得， m=。此时点 E的坐标是（， 0 ）。（ ii）若点 E在 y 轴上（如图 4 ），过点 P作 PN y 轴于点 N，易证 BPC NPE， BP=NP=OM=1 ，即 1 m=1 ， m=0 （舍去）。综上所述，当 m=2 时，点 E的坐标是（ 0 ， 2 ）或（ 0 ， 4 ），当 m=时，点 E的坐标是（， 0 ）。 2 0 . （ 2 0 1 2 浙江义乌 1 2 分）如图 1 ，已知直线 y =k x 与抛物线交于点 A（ 3 ， 6 ）（ 1 ）求直线 y =k x 的解析式和线段 OA的长度；（ 2 ）点 P为抛物线第一象限内的动点，过点 P作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、 O不重合），交直线 OA于点 Q，再过点 Q作直线 PM的垂线，交 y 轴于点 N 试探究：线段 QM与线段 QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（ 3 ）如图 2 ，若点 B为抛物线上对称轴右侧的点，点 E在线段 OA上（与点 O、 A不重合），点 D（ m， 0 ）是 x 轴正半轴上的动点，且满足 BAE= BED= AOD 继续探究： m在什么范围时，符合条件的 E点的个数分别是 1 个、 2 个？【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。【分析】（ 1 ）利用待定系数法求出直线 y =k x 的解析式，根据 A点坐标用勾股定理求出线段 OA的长度。（ 2 ）如图 1 ，过点 Q作 QG y 轴于点 G， QH x 轴于点 H，构造相似三角形 QHM与 QGN，将线段 QM与线段 QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即为定值需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立。（ 3 ）由已知条件角的相等关系 BAE= BED= AOD，可以得到 ABE OED。在相似三角形 ABE与 OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出 AB的长度，如图 2 ，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得 AB的长度。设 OE=x ，则由相似边的比例关系可以得到 m关于 x 的表达式，这是一个二次函数借助此二次函数图象（如图 3 ），可见 m在不同取值范围时， x 的取值（即 OE的长度，或 E点的位置）有 1 个或 2 个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。【答案】解：（ 1 ）把点 A（ 3 ， 6 ）代入 y =k x 得； 6 =3 k ，即 k =2 。 y =2 x 。。（ 2 ）线段 QM与线段 QN的长度之比是一个定值，理由如下：如图 1 ，过点 Q作 QG y 轴于点 G， QH x 轴于点 H 当 QH与 QM重合时，显然 QG与 QN重合，此时。当 QH与 QM不重合时， QN QM， QG QH不妨设点 H， G分别在 x 、 y 轴的正半轴上， MQH= GQN。又 QHM= QGN=9 0 ， QHM QGN。。当点 P、 Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得。线段 QM与线段 QN的长度之比是一个定值。（ 3 ）如图 2 ，延长 AB交 x 轴于点 F，过点 F作 FC OA于点 C，过点 A作 AR x 轴于点 R。 AOD= BAE， AF=OF。 OC=AC=。 ARO= FCO=9 0 ， AOR= FOC， AOR FOC。。 OF=。点 F（， 0 ）。设点 B（ x ，），过点 B作 BK AR于点 K，则 AKB ARF。，即。解得 x 1 =6 ， x 2 =3 （舍去）。点 B（ 6 ， 2 ）。 BK=6 3 =3 ， AK=6 2 =4 。 AB=5 。在 ABE与 OED中， BAE= BED， ABE+ AEB= DEO+ AEB。 ABE= DEO。 BAE= EOD， ABE OED。设 OE=x ，则 AE= x （），由 ABE OED得，即。。顶点为。如图 3 ，当时， OE=x =，此时 E点有 1 个；当时，任取一个 m的值都对应着两个 x 值，此时 E点有 2 个当时， E点只有 1 个，当时， E点有 2 个。

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