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一、内容提要:本章介绍电路的等效变换的概念。内容包括：电阻和电源的串、并联，电源的等效变换、一端口输入电阻的计算。二、典型题解析：例2.1 图2.1（a）所示电路，求电流Iab。分析 设电流I，I1，I2参考方向如图中所标。对求上述各电流，将短路线压缩，图2.1 (a)等效为图21(b)，各电阻的串、并联关系一目了然。由图2.1(b)所示电路求得I，I1，I2，即是图2.1(a)所示电路中的I，I1，I2 。再由图2.1(a)所示电路应用KCL可求得所求的电流Iab。解 由图2.1（b）所示电路得评注 应用电路等效求解电路时，定要紧盯住电路等效的对象。读者常犯的错误是把等效对象搞错，“张冠李戴”。例如对本问题，许多学生误以为图2.1(b)中所示a，b点间电流“Iab”即是所求的Iab，导致结果错误。图2.1(b)中所示的“Iab”是电流I。这类电阻串，并联等效的简单问题，熟练之后，亦可不画图2.1(b)，直接列写算式术解。例2.2 图2.2（a）所示电路，求b点电位Vb 。分析 本电路有两处接“地”，可以将这两处的“地”用短路线相连，如图2.2（a）中虚线所示。应用电阻并联等效、电压源互换为电流源等效，将图2.2（a）等效为图2.2 (b)；再应用电阻并联等效与电流源并联等效，将图2.2 (b)等效为图2.2(c)由图图2.2(c)即可简便地求得Vb。 评注 本题电路看似复杂，若概念正确、等效方法运用得当，可很快算出结果。有的问题甚至心算就可给出答案。例2.3 图2.3(a)所示电路。求(1)a，b看做输入端时的输入电阻Ri；(2)c，d看做输出端时的输出电阻Ro 。分析 对含有受控源，电阻的二端电路求等效电阻，不能不“理睬”受控源简单地用电阻串、并联等效的方法求。这是初学者易犯错误之处。常用的方法有：伏安法和外加电源法。采用外加电压源u，求端子上“电流”i；采用外加电流源i，求端于上电压u。当u，I参考方向对二端电路关联时，。所以 故得 评注 由本问题的计算可以看出：士输入电阻、输出电阻都是对两个端子的等效电阻，对一个确定的电路来说，从不问端子看的等效电阻一股是不相同的；对含有受控源的电阻二瑞电路，其二端子间的等效电阻可以是负值，如Ri=-30；亦可以是正值，如Ri=12。例2.4 图2.4所示电路为线性时不变二端电路。已知端口VAR为，式中，V。试求图中R与电流is的值。分析 图示电路端口的VAR已给出，只须由电路根据KCL，KVL写出用未知电阻、未知电流源表示的VAR，令二者相等求出R与is。评注 绐出的式就是一个电压源的端口VAR。如果本问题中的二端电路与这个电压源是等效的，为满足等效条件，二者就应具有相同的VAR。例2.5 图2.5（a）所示电路为实际中的电电压测量电路。(1)若用内阻为1 200的电压表测量，求电正表读数。(2)若用内阻为3 600的电压表测量，求这时电压表的读数。(3)若用理想电压表即内阻力无限大的电压表测量，再求这时电压表的读数。分析 这是联系实际问题的简单圳例题，目的是讨论实际电压表内阻对测试电路的影响。则评注 由此例具体的计算可得出结论：实际电压表的内阻越大，对测试电路的影响越小。理论上讲，若电压表内阻无穷大理想的电压表，则对测试电路无影响，由此例还可以联想到，测量电流时是将电流表串联接入电路，实际电流表的内阻越小，对测试电路的影响越小。理想电流表(内阻为零)对测试电路无影响。例2.6 图2.6（a）所示电路，求电流i5。分析 这个问题用电阻串、并联等效即可求解。将短路线压缩为一点，如图2.6（b）所示。各电阻之间的串、并联关系很容易看出，但应注意：所要求的电流i5在图2.6（b）中见不到了。图2.6（b）对求电流i，i1，i2，i3，i4与图2.6（a）是等效的。从图2.6（b）所示电路中求得各等效电流然后回到图2.6（a）所示电路巾求出i5。评注 若串、并联等效应用熟练，可不画图2.6（b）直接列写算式计算即可，过程同上。例2.7 图2.7（a）所示电路，已知电流源IS产生功率为6mW，求IS。分析 这个问题也属于“逆”问题，不过这里已知的不是某个响应(电压或电流)而是某个功率，求未知元件数值或某电源数值。这类“逆”问题有时会得到两个有意义解。应用电源互换及电阻并联等效将图2.7 (a)逐步等效为图2.7(b)、(c)。由图2.7(c)所示单回路电路，求出uab，再联系已知条件求得IS。解 图2.7(c)所示电路中的电流即是IS。所以a，b点电位分别为评注 例2.8 图2.8所示电路，已知Iab1A，求电压源US产生的功率PS。分析 本题可看做是与例2.1相对应的“逆”问题。例2.1算是“顺”问题(或称“正”问题)。所谓“顺”问题，就是已知电路的结构、元件值求电路的响应或功率类型的问题。“顺”问题与“逆”问题在求解中所用到的概念与求解过程是类同的，但人们感觉“逆”问题的难度大于“顺”问题。这是因为在“逆”问题的求解过程中间，某些结果要用含有待求量的代数式表示，不像“顺”问题的求解过程中间某些结果可以直接表示成数。这就增加了“逆”问题求解过程的复杂度。本例题仍用电阻串、并联等效，以及KCL和KVL先计算出US，然后由功率概念计算出PS。解 设有关电流、电压参考方向如图中所标。由电阻串、并联等效和分流关系以及KCL, KVL得评注 求解本问题首先想到求出US数值，而找出Iab与US之关系是关键步骤。例2.9 图2.9（a）所示电路，求电流i 。 分析 将受控电流源等效互换为受控电压源，如图2.9(b)所示；再将图2.9(b)所示受控电压源等效互换为受控电流源，如图2.9(c)图所示；将4 2等效为一个4/3电阻，再将图2.9(c)所示受控电流源等效互换为受控电压源，如图2.9(d)所示。于是，由KVL便可求得i。 解： 列写图2.9(d)所示回路KVL方程，有 解得 A评注 在用各种电路等效方法求解含有受控源的电路时，注意，不要把控制量所在支路变化掉。本问题中，不要把控制量i所在支路即2串联9V电压源支路互换等效为电流源。例2.10 在图2.10（a）所示电路中，I1=1A，在图2.10（b）所示电路中，6A。求电阻R。 分析 设图2.10（a）、（b）所示电路中从a b端向右看的等效电阻分别为：Ri1，Ri2。因两电路中电压源US是相同的，而图2.10(b)中所示等于图2.10（a）中所示I1的6倍。据此判断Ri16 Ri2。然后，由两电路分别应用电阻串、并联等效写出Ri1， Ri2用R表示的关系式，从中解出R。解 在图2.10（a）所示电路中：评注 联系从ab端向右看的输入电阻，是求解本问题的关键。例2.11 图2.11(a)所示的调压电路，端子a处为开路。若以地为参考点，当调变电阻R2(R22 R1)的活动点时，求a点电位va的变化范围。分析 +24V端相当接24 V电源正极，它的负极接地；-12 V端相当接12 V电源负极，它的正极接地。应用电源互换等效、电阻并联等效，将图2.11(a)分别等效为图2.11(b)和图2.11(c)，进而求得va的变化范围。解：在图2.11(c)所示电路中设电流I，由KVL得 当端子a调至R2最右端，即c点时，vamin V当端子a调至R2最左端，即b点时，vamin Vva的范围为-3V9V。评注 识别电位表示电路的含义，正确运用电源互换等效是求解该例的关键步骤。例2.12 图2.12(a)所示电路，已知U=3V，求电阻R。分析 应用电源互换等效、电阻串联、并联等效、电流源并联等效，将图2.12(a)等效为图2.12(a) 和(c)。考虑已知条件，应用OL可求得R。解 在图2.12(c)所示电路中，设电流I的参考方向，由图示可得 A所以 评注 本问题亦可在图2.12(b)所示电路中应用OL,KVI，KCL及已知U=3V条件，先后求出I1，I2，I及R (可不再画图2.12(c)所示等效电路)。例2.13图2.13(a)所示电路，求电压U。分析 图2.13所示电路中2 A电流源、30 电阻、6 V理想电压源并联，对相并的两个端子来说可以等效为一个6 V理想电压源；10电阻与6 A理想电流源串联可等效为一个6 A的理想电流源，两个相并联的20 电阻等效为一个10电阻，二者并联，如图2.13(b)所示，再将相并联的10电阻与6 A电流源等效为电压源，如图2.13(c)所示，然后求得图2.13(c)中所示的电流I，电压U。 解：在图2.13(c)所示电路中： A所以 U15I+16152+1646V评注 应用与理想电压源US相并联的电路元件或二端电路，就其相并联的两端钮的外部来说，可等效为一个理想电压源叭US；与理想电流源IS相串联的电路元件或二端电路，就其两端钮外部来说，可等效为一个理想电流源IS。这是求解本问题的关健步骤。 例2.14 图2.14(a)所示电路，求电流I，电流源IS产生的功率PS。分析 应用电源互换等效、电阻串联等效、电阻并联等效、独立电压源串联等效、独立电流源并联等效，对求Uab，I，将图2.14(a)逐步等效为图2.14(b)。(c)。(d)。(e)，进而求得I，Uab及图2.14(a)所示电路中电流源IS产生的功率。解 在图2.14(e)所示电路中： A V再回到图2.14(a)所示电路中， I S电流源、Uab对I S两端呈参考方向关联，所以它产生功率 V评注 I S电流源产生-3 w功率，实际它吸收了3 w的功率。例2.15 求图2.15所示各电路中ab端等效电阻Rab。分析 对短路线的“处理”(压缩为“一点”或“伸长”)是判别串、并联关系的关键。解： 在图2.15(a)所示电路中：在图2.15(b)所示电路中：在图2.15(c)所示电路中： 在图2.15(d)所示电路中：评注 “/”符号表示并联符号，“+”表示串联符号。串并联运算规则：不加括号，是先并后串，加括号折优先。例2.16 求图2.16(a)所示电路中电压U1。分析 本问题是含有Y结构连接的电路，不能直接应用串、并联等效求解；般，町先应用Y互换等效，将图2.16(a)等效为图2.16(b)。然后，再用电阻串、并联等效方法求解。解 所以电流 A由分流公式得 A故得 V评注 Y互换等效属多端子电路等效，在使用这种等效变换时，除正确使用变换公式计算出各电阻以外，务必正确连接各对应端子。当或Y形连接的3个电阻相等时(如本例就是)，变换关系简单：，。一般情况3个电阻数值不相等，采用变换公式计算欲等效的3个电阻，过程是复杂的且数据亦不整齐。还要提醒读者注意不要把本是串、并联的问题看做Y结构进行等效变换，那样会使问题的计算更复杂化。三、习题