数列创新题型突破.doc

数列创新题型突破-五、数阵和数表所谓数表就是指满足一定的生成规则并按一定的顺序排列成的一个表，数表问题常与数列知识联手，在高考中奏出一曲曲优美的“乐章”，逐渐成为高考命题的热门，本文试就数表问题考查的几种常见类型及变化趋势作一阐述，以馈读者。一、三角形数表例1（2008年江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数表：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第n 行（n 3）从左向右的第3 个数为 【评析】：通过列举、分析、归纳、猜想，前n-1行共有1+2+3+ n-1个数，即共有个，因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个数，即例2（2008年山东卷19）将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和，且满足1（n2）.（）证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k3)行所有项和的和.（）证明略，（）析：本题关键在于确定在表中的位置，再由通项公式求出,然后求和，设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q0. 因为所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项，故 a81表中第13行第三列，因此,又所以 q=2. 记表中第k(k3)行所有项的和为S，则（k3）.点拨：研究数表问题，首先要明确数表的构成元素,数表是由什么样的数列或哪些元素构成，即先要寻找数列的递推关系或元素的规律。二、方形数表例3（2004年北京春季高考题改编）下表给出一个“等差数表”：47（ ）（ ）（ ）a1j712（ ）（ ）（ ）a2j（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）a3j（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）a4jai1ai2ai3ai4ai5aij 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.（1）写出的值；（2）写出aij的计算公式；（3）写出2008这个数在等差数表中所在的一个位置。【评析】：本题主要考查等差数列的基础知识，考查学生的逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力。由每行和每列均成等差数列和表格中前两行两列的4个数，可求出第一行和第二行所有的数，再由第5列的前两个数求得第4个数，即。解：（1）（略解）=49（2）该等差数表的第1行是首项为4，公差为3的等差数列，a1j=4+3(j-1)，第二行是首项为7，公差为5的等差数列，a2j=7+5(j-1)，第i行是首项为4+3（i-1），公差为2i+1的等差数列，因此aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1) =2ij+i+j=i(2j+1)+j（3）要找2008在该等差数表中的位置，也就是要找正整数i,j使得2ij+i+j=2008，所以，当i=1时，得j=669所以，2008在等差数表中的一个位置是第1行第669列。点拨：对于数表形等差、等比数列的综合问题，行、列关系较为复杂，在解题时一定要多找等量关系，少设变量,尽可能把已知元素的值化归到同行或者同列。三、回形数表例4 （2008江苏高考零距离突破二轮复习题）将自然数排成如下的螺旋状第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数分别是，【评析】：由图可知，前n个拐弯处的数依次是2，3，5，7，10，13，17，21，26，这是一个数列题目，要求找出它的第20项和第25项各是多少，因此要找出这个数列的规则，经观察，该数列的后一项减去一项，得一新数列1，2，2，3，3，4，4，5，5，把数列的第一项添在数列的前面得2，1，2，2，3，3，4，4，5，5，观察数列，发现原数列的第n项就等于数列的前n项和,即，,故第20个拐弯处的数a20=2+1+2+2+10+10=1+2（1+2+10）=111a25=2+1+2+2+12+12+13=170解法2：设第i个拐弯处的数为ai，显然a1=2，a2i=a2i-1+I, a2i+1= a2i+(i+1)20=21025=212+1a20=1+2(1+2+10)=11 a25=1+2(1+2+12)+13=170解法1到解法2由具体到抽象，体现出思维不断优化的过程。点拨：解决数表问题，需细心研究其元素的排列的规律，即构成数列的元素，或数列的项是按照何种规则排列而成的，有时即使找到排列的规则，但如果不能对所发现的规律所蕴含的信息进行整理再加工，解题同样会误入歧途。四、数表与排列组合的有机结合例5、（2005年上海春季高考）用n个不同的实数可得到n！个不同的排列，每个排列为一行，写成一个n！行的数表，对第行，记 （）例如1，2，3可得数表如图，由于此数表中每一列数之和均为12，所以。那么在用1，2，3，4，5形成的数表中，【评析】：此题题目新颖有趣，思维要求较高，它给出计算数表中各数的某种组合的新思路，同时又具备高等数学的背景，渗透高等数学背景是高考命题的一大趋势，值得引起重视。解：在用1，2，3，4，5所形成的数表中，起始数字为1的共有A44行，类似，起始数字为2，3，4，5的行都有A44个，于是数表中各数之和为(1+2+3+4+5) A44=360.=总之，适应新课程的需要，高考命题会出现一些新情况、新定义、新背景的问题，数表作为近年来数学命题的一个新亮点，为在今后高考中再次出现增添了无限的魅力空间。数列创新题型突破-六、数列应用题数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向1某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠（）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？（）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？讲解：本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题不难看出，这是一道数列型应用问题因此，我们可以设：全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为，经过n年后全县绿地面积占总面积的百分比为，则我们所要回答的问题就是：（）是否存在自然数，使得80% ？（）求使得60%成立的最小的自然数.为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式由题可知：，所以，当时，两式作差得：又，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列所以， 由上式可知：对于任意，均有即全县绿地面积不可能超过总面积的80%（）令，得，由指数函数的性质可知：随的增大而单调递减，因此，我们只需从开始验证，直到找到第一个使得的自然数即为所求验证可知：当时，均有，而当时，由指数函数的单调性可知：当时，均有所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%点评：（）中，也可通过估值的方法来确定的值2. 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2，, a25小时，依题意它们组成公差（小时）的等差数列，且，化简可得. 解得.可见a1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.3. 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为，征地费用为元，楼层建筑费用为445+445+（445+30）+（445+302）+445+30（n2） 元，从而（元）当且仅当 , n=20（层）时，总费用y最少.故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元.5某人计划年初向银行贷款10万元用于买房他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？讲解：作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的比如说：现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱原因在于：现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息在此基础上，这个问题，有两种思考的方法：法1如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为元设每年还款x元则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为元于是：105(1+4)10= x(1+4)9+x(14)8x(14)7+x由等比数列求和公式可得：其中所以，法2从另一个角度思考，我们可以分步计算考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱仍然设每年还款x元则第一年还款后，欠银行的余额为：元；如果设第k年还款后，欠银行的余额为元，则不难得出：105(1+4)10x(1+4)9x(14)8x(14)7x另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有由此布列方程，得到同样的结果点评：存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：1分清单利、复利（即等差与等比）；2寻找好的切入点（如本题的两种不同的思考方法），恰当转化3.一般来说，数列型应用题的特点是：与n有关6. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?讲解 设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，每年新增汽车万辆，则 ，所以，当时，两式相减得：（1）显然，若，则，即，此时（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，此时，（ii）当时，则对于任意正整数，均有，所以，由，得，要使对于任意正整数，均有恒成立，即 对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 , 得,上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，. 本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.7现有流量均为300的两条河流A、B会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2和0.2假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量，即从A股流入B股100水，经混合后，又从B股流入A股100水并混合问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01（不考虑泥沙沉淀）？讲解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01”但直接建构这样的不等关系较为困难为表达方便，我们分别用来表示河水在流经第n个观测点时，A水流和B水流的含沙量则2，0.2，且（）由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列由（）可得：所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列所以，由题，令 0.01，得所以，由得，所以，即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01点评：本题为数列、不等式型综合应用问题，难点在于对题意的理解8.为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：贷款期 (年数)公积金贷款 月利率()商业性贷款 月利率()11121314154.3654.4554.5454.6354.7255.0255.0255.0255.0255.025 汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清每种贷款分别按月等额还款，问： (1)汪先生家每月应还款多少元? (2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少? (参考数据：1.0044551441.8966，1.0050251442.0581，1.0050251802.4651) 讲解 设月利率为r，每月还款数为a元，总贷款数为A元，还款期限为n月第1月末欠款数A(1r)a第2月末欠款数A(1r)a(1r)a A(1r)2a (1r)a 第3月末欠款数A(1r)2a (1r)a(1r)aA(1r)3a (1r)2a(1r)a第n月末欠款数 得：对于12年期的10万元贷款，n144，r4.455对于15年期的15万元贷款，n180，r5.025由此可知，汪先生家前12年每月还款942.371268.222210.59元，后3年每月还款1268.22元(2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款其中A150000，a1268.22，r5.025 X41669.53 再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元 需要提及的是，本题的计算如果不许用计算器，就要用到二项展开式进行估算，这在2002年全国高考第（12）题中得到考查.