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.第七章 多元函数微分学【内容提要】1.空间解析几何基础知识三条相互垂直的坐标轴Ox、Oy、Oz组成了一个空间直角坐标系。空间直角坐标系下两点间的距离公式为：平面方程：二次曲面方程：球面方程：圆柱面方程：椭球面方程：椭圆抛物面方程：双曲抛物面方程：单叶双曲面图方程：(a，b，c0)双叶双曲面方程：椭圆锥面方程：2.多元函数与极限多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围的每一对值，在变域中存在值，按一定对应法则进行对应，有唯一确定的值，则称为集合上的二元函数，记为称为自变量，称为定义域，称为因变量。的对应值记为，称为函数值，函数值的集合称为值域。多元函数的极限：设函数在开区间（或闭区间）内有定义，是的内点或边界点。如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称常数为函数当时的极限，记作多元函数的连续性：设函数在区域D内有定义，点是D的内点或边界点且。如果则称函数在点处连续。3.多元函数的偏导数与全微分偏导数：设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量如果极限存在，则称此极限为函数在点处对x的偏导数， 记作， ， ， 或同理，如果极限存在，则称此极限为函数在点处对y的偏导数， 记作， ， ， 或4.二元函数在点的偏导数的几何意义是过曲面上点的曲线在点处的切线对轴的斜率。5二阶偏导数，。如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续， 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。6.全微分如果函数在点的全增量可表示为其中A、B不依赖于、 而仅与、有关，则称函数在点可微分， 而称为函数在点的全微分，记作，即如果函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分。 7.复合函数微分法复合函数的中间变量均为一元函数的情形 如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且有复合函数的中间变量均为多元函数的情形 如果函数u=j(x, y), v=y(x, y)都在点(x, y)具有对x及y的偏导数, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f j(x, y)， (x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有 8. 全微分形式不变性无论是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的,这个性质叫做全微分形式不变性。9. 隐函数微分法在点的某邻域内，若函数有连续的偏导数、，且，则在0时，方程确定唯一的、有连续导数的函数，满足及。这个定理称为隐函数存在定理。隐函数存在定理给出了隐函数求导的方法，即由，两边全微分得，由0，得到隐函数的导数为。10. 二元函数的极值设函数在点的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于的点，都有 （或） 则称函数在点有极大值(或极小值)。 极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则有 ，设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数， 又， 令则在点处是否取得极值的条件如下： (1) AC-B20时具有极值，且当A0时有极小值； (2) AC-B20， 又A0， 所以函数在处有极大值，取得最大利润50时的两种产品的价格分别为15和17，销量分别为1和5。【课外练习】一、单选题1点关于原点的对称点是（ ）。A（2，3，1） B（2，3，1）C（2，3，1） D（2，3，1）2球面方程的球心及半径分别为（ ）。A， B，C， D，3在空间直角坐标系中，的图形是（ ）。A球面 B圆柱面 C圆周 D旋转抛物面4在空间直角坐标系中，点和点之间的距离（ ）。A B C D5平面方程中，若，则此平面（ ）。A平行于YOZ平面 B过原点 C平行于x轴 D过x轴6函数在点处间断，则（ ）。A函数在点处一定无定义 B函数在点处一定极限不存在C函数在点处可能有定义，也可能有极限D函数在点处一定有定义，且有极限，但二者不等7设，则（ ）。A BC D8 二元函数在点得满足关系（ ）。A可微可导连续 B可微可导连续C可微可导，可微连续 D可导连续，反之不行9若，则在点处有极值的（ ）。A 充要条件 B必要条件 C充分条件 D 既不是充分条件，也不是必要条件10设函数的驻点为，则为极大值点的充分条件是（ ）。A B C D二、填空题1设有曲面方程，当时，则方程表示的曲面为（ ）；当时，方程表示的曲面为_。2函数的定义域是_。3设，则_。4设，而，则_，_。5设，则_。6设，则_。7若函数，当，时，函数的全增量_；全微分_。三、判断题1. 函数的定义域为的那些点。 ( )2. 设，而，则。 ( )3. 若点是的极值点, 则一定有.。 ( )4. 函数的定义域是整个平面。 ( ) 5. 函数在点偏导存在，则在该点一定连续。 ( )6. 对,若与都存在,则它们一定相等( )。 ( )7. 函数的偏导数在点连续，则函数在该点的全微分存在。 ( ) 四、计算及证明题1已知函数f(x，y)(x1)2y，求f(1，2)。2求下列各函数的定义域。（1）； （2）；（3）； ； 。3证明下列极限不存在。； 。4求下列函数的间断点。 ； 5求下列函数的偏导数。(1) ； (2) ；(3) (4) ；(5) ； (6) 。6求在点(0，1)当x0.1、y0.3时的全微分。7求在点(2，1)的全微分。8求下列函数的全微分：(1) ； (2) ；(3) ； (4)； (5) ； (6)。9求下列函数的二阶偏导数。(1) ； (2) 。10，求，。11若，证明。12设、，求。13设、，求。14设，求、。15f、g有一阶连续偏导数，求下列函数的一阶偏导数。(1) ； (2) 。16设、，求一阶偏导数。17设，F有连续偏导数，证明。18作一个三角形，使其三内角的正弦之积为最大。19求半径为R的圆内接最大面积的三角形。【课外练习】 参考答案一、单项选择题1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. C 7. C 8. C 9. D 10. D二、填空题1. 椭圆抛物面；双曲抛物面 2. 3. 4. ， 5. 6. 7. 0.502 8. 9. 0.58，0.60三、判断题1.是 2.错 3.错 4.错 5.错 6.错 7.是四、计算及证明题1. 2 （1） 由，得或（2）由，得（3） 由，得（4）由，得(5) 由，得(6) 定义域为：(7) 由，得3(1) 当沿趋于点时，当沿趋于点时，所以的极限不存在.(2) 当沿趋于点时，极限不存在，所以的极限不存在.。4 (1) 间断点为 ；(2)间断点是直线。5(1) ，(2) ，(3) (4)，(5) ，(6) ；6 ，7 ，8(1) ，(2) (3) ，(4) ，(5) (6) ，9(1) ，(2) ，10 ，11 ， ，12 13 14 15 令，则16 ，17 设，则,18 设三角形三内角分别为，则，它们的正弦之积为由，解得 时，它们的正弦之积为最大。19设圆心角分别为，则，得所以当时，面积最大，此时。 .
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