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第十一章,弯曲问题的进一步研究与组合变形,11-1概述,11-3斜弯曲,11-4拉伸(压缩)与弯曲截面核心,目录,11-2非对称截面梁的平面弯曲弯曲中心,11-5弯曲与扭转,11-1概述,我们曾在第四章介绍过平面弯曲的概念：,纵向对称面,梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲。,问题：当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但外力的作用面与该纵向对称平面间有一夹角，则该梁发生什么变形呢？,斜弯曲,斜弯曲,平面弯曲与扭转,工程中的许多受力构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形，称为组合变形。,轴向压缩和弯曲,轴向拉伸和扭转,偏心压缩,（轴向压缩和弯曲）,当组合变形是属于小变形的范畴时，且材料是在线弹性范围内工作，就可以利用叠加法进行分析。,其基本步骤是：,（1）将载荷分解，得到与原载荷等效的几组简单载荷，使构件在每组简单载荷作用下只产生一种基本变形。,（2）分别计算构件在每种基本变形情况下的应力。,（3）将每种基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。,本章讨论斜弯曲、拉压与弯曲、弯曲与扭转等的组合变形情况,11-2非对称截面梁的平面弯曲弯曲中心,一非对称截面梁的平面弯曲,1.对称截面梁的平面弯曲,静力学条件,横截面不会绕y轴转动，只会绕z轴转动，梁变形后的轴线一定位于xy平面内，与外力偶作用面共面，梁产生平面弯曲。,2.非对称截面梁平面弯曲的条件,图（a）,平面弯曲,结论：当外力（包括外力偶和横向力）作用在梁的形心主惯性平面内（或作用在与形心主惯性平面平行的平面内）时，梁将产生平面弯曲。,图（b）,xy平面不是形心主惯性平面，变形时轴线所在的平面与外力偶所在的平面不共面，这种变形称为斜弯曲,二开口薄壁截面弯曲中心,上述两个剪力Fsy和Fsz作用线的交点称为横截面的弯曲中心（也称剪切中心，简称弯心或剪心）,只要横向力通过弯心并与一个形心主轴平行，则梁只发生平面弯曲。如果横向力与一个形心主轴平行但不通过弯心，则梁不仅发生平面弯曲，还将发生扭转变形。,由于Fsy和Fsz在横截面上的作用线位置与外力的位置、大小无关，故截面弯心的位置也与外力的位置、大小无关，仅与截面的形状和尺寸有关。这就是说，弯心的位置是横截面的几何特性。,常见开口薄壁截面的弯曲中心位置,A和C重合,A位于对称轴上,A位于两矩形中心线的交点处,开口薄壁截面梁横力弯曲时，可归纳为：,（1）若横向力和形心主轴平行或重合，且通过截面的弯心，则梁产生平面弯曲；,（2）若横向力和形心主轴平行或重合，但不通过截面的弯心，则梁同时产生平面弯曲和扭转变形；,（3）若横向力不和形心主轴平行或重合，但通过截面的弯心，则梁产生斜弯曲；,（4）若横向力既不和形心主轴平行或重合，又不通过截面的弯心，则梁同时产生斜弯曲和扭转变形；,例11-1悬臂梁的横截面分别采用如图所示三种截面，在自由端受集中力F作用，F力均通过这些截面的形心C。试指出这三种截面梁各产生何种变形形式。,平面弯曲和扭转,斜弯曲和扭转,斜弯曲,11-3斜弯曲,前面讲过只要作用在杆件上的横向力通过弯心，并与一个形心主轴方向平行，杆件将只发生平面弯曲。但在工程实际中，有时横向力通过弯心，但不与形心主轴平行。例如屋架上倾斜放置的矩形截面檩条，它所承受的屋面荷载q就不沿截面的形心主轴方向。,试验结果以及后面的分析均表明此时挠曲线不再位于外力所在的纵向平面内，这种弯曲称为斜弯曲。,(1)将力F沿y、z轴方向分解,梁在竖直平面xy内发生平面弯曲，z轴为中性轴,一.正应力计算及强度条件,Fy单独作用：,Fz单独作用：,梁在水平平面xz内发生平面弯曲，y轴为中性轴,斜弯曲：两个互相垂直方向的平面弯曲的组合,(2)任意x截面上的弯矩,(3)x截面上任一点C（y,z）处的正应力,上两式弯矩均为绝对值,叠加（代数和）：,(4)危险截面（固定端）上的弯矩及正应力分布,危险截面（固定端）上正应力分布规律,a点:,c点:,(5)强度条件,由于角点处切应力为零，应按单向应力状态建立强度条件,在Fy和Fz单独作用下自由端的挠度分别为,总挠度为,若以b角表示总挠度与y轴之间的夹角，则,二.挠度计算,由于IyIz（矩形截面），所以bj,表明：梁在斜弯曲时的挠曲平面与外力所在的纵向平面不重合,讨论：,（1）若梁的截面是正方形，由于Iy=Iz，所以b=j，故梁不会发生斜弯曲，而发生平面弯曲。正多边形也是如此。,（2）若梁的截面是圆形，由于Iy=Iz，所以b=j，故梁不会发生斜弯曲，而发生平面弯曲。,例11-2外力F通过截面形心，且与y方向的夹角j15，材料许用应力s=170MPa,试校核此梁的强度。,解：梁跨中截面上的弯矩最大，故为危险截面，该截面上的弯矩值为,在两个形心主惯性平面内的弯矩分量分别为,故此梁满足正应力强度条件,讨论：若F力的作用线与y轴重合，即j0，则梁的最大正应力为,例11-3直径为d的圆截面悬臂梁，在自由端受集中力Fy和Fz作用。试求该梁的最大弯曲正应力。,解：绘弯矩图,由弯矩图可知：A为危险截面,所以,课堂练习：（1）圆形截面悬臂梁的直径为d，受力如图。对危险截面A上的危险点位置，分别用a点表示最大拉应力，b点表示最大压应力，则正确的危险点位置为（），其值为,（2）矩形截面简支梁受横向力F1和轴向力F2作用，如图所示。危险截面为跨中D截面，D截面上最大拉应力作用点位置为（），梁的最大拉应力为,11-4拉伸（压缩）与弯曲截面核心,一、轴向拉伸(压缩)和弯曲的组合变形,危险截面为固定端A截面,由左图可知，A截面的上边缘各点有最大拉应力，这些点处于单向应力状态。设材料的抗拉和抗压强度相同，则拉伸与弯曲组合时的强度条件为,+,=,+,=,=,设材料的抗拉和抗压强度相同，则压缩和弯曲组合时的强度条件为,例11-4简易吊车，最大吊重F=13kN，AB梁为工字钢，材料为Q235钢，许用应力s=100MPa。试按正应力强度条件选择工字钢型号。,解（1）受力分析（取AB）,由受力分析可知，AB梁为轴向压缩和弯曲的组合变形。,分解：,（2）变形分析,绘AB杆的弯矩图和轴力图,D截面为危险截面,初选：先不考虑轴力FN的影响，由弯曲正应力强度条件进行选择。,查表，16号：W=141cm3A=26.1cm2,再按压、弯组合进行强度校核，最大应力为压应力（D截面，上边缘）,故无需重新选择截面型号,（3）选择工字钢型号,二、偏向拉伸(压缩),当直杆受到与杆的轴线平行但不通过截面形心的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。,设F力作用点的坐标为zk、yk。将力向杆端截面的形心简化。,可见偏心拉伸实质上是轴向拉伸和两个平面弯曲的组合变形。这时各横截面上的轴力和弯矩分别相同，即,当材料在线弹性范围内工作内，在离力作用稍远的那些横截面上，将三个内力所对应的正应力叠加起来，即得任一横截面上任一点C(y,z)的应力表达式,由正应力的表达式可以求出最大拉应力和最大压应力分别为,危险点处为单向应力状态，假设材料的拉压强度不等，则偏心拉压的强度条件为,例3铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力t30MPa，许用压应力c120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。,解：（1）计算横截面的形心、面积、惯性矩,（2）立柱横截面的内力,（3）立柱横截面的最大应力,（2）立柱横截面的内力,（4）求压力F,11-4弯曲与扭转,可以看出，对于许用应力相同的材料，1、3点同等危险，只需要对其中一点进行强度校核即可。,由于圆截面的WP2Wz，为计算方便，将强度表达式改写,式中，Wz为圆截面的弯曲系数；M和T分别是危险截面上的弯矩和扭矩。而,称为按第三强度理论得到的相当弯矩。,称为按第四强度理论得到的相当弯矩。,以上分析的圆截面的第三、第四强度理论的相当弯矩也同样适用于空心圆截面杆的弯曲与扭转的组合变形。,例4图示一45号钢制的实心圆轴。齿轮C的直径dC200mm，齿轮D的直径dD100mm。材料的许用应力s=90MPa，试按第四强度理论求轴的直径。,解：将齿轮上的切向力向轴线简化。,由于圆截面不会发生斜弯曲，故可以把弯矩My与Mz的矢量求出,求第四强度理论的相当弯矩,根据公式建立强度条件为,代入数据有,所以,取轴的直径为68mm。,例5图示结构。AB杆直径d101mm的圆截面杆，其许用正应力s=170MPa。试用第四强度理论校核AB杆的强度。,解：将作用在BC杆上的载荷向B截面的形心简化。,根据简化后的载荷图，作出相应的内力图,由内力图可知A为危险截面,A截面总弯矩,A截面最大弯曲正应力,A截面的轴向拉伸应力,A截面总的拉应力,A点的应力状态如图所示,按照第四强度理论，其强度条件为,即AB杆的强度满足要求。,
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