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矢量分析简介,一、标量场和矢量场,1、标量场：在空间各点存在着一个标量，它的数值是空间位置的函数。如气压场、温度场、电势等。,2、矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的大小和方向是空间位置的函数。如电场、磁场、流速场等。,研究任何标量场时，常引入“等值面”概念,研究任何矢量场时，常引入“场线”概念，如电场线，磁场线。,的轨迹,二、标量场的梯度grad,标量场的梯度定义为这样一个矢量，它的方向沿方向微商最大的方向，数值上等于这个最大的方向微商：,的梯度的方向总是与的等值面垂直的。,方向微商：,例如：电场中的电势是标量场，它的梯度的负值等于电场强度，是个矢量场：,三、矢量场的通量和散度，高斯定理,1、通量,2、矢量的散度（是标量场）,3、高斯定理,四、矢量场的环量和旋度，斯托克斯定理,1、矢量的环量（环流）,2、矢量场的旋度（是个矢量场）,3、斯托克斯定理,五、矢量场的类别,1、有散场和无散场（又称为“有源场”和“无源场”）,若一矢量场在空间某一范围内,称“无散场”或“无源场”,否则称“有散场”或“有源场”,任何矢量场的旋度永远是无散场：,2、有旋场和无旋场,若一矢量场在空间某一范围内,称“无旋场”或“有势场”或“位场”,否则称“有旋场”,任何标量场的梯度永远是个无旋场：,3、谐和场,若一矢量场在空间某一范围内，即无散又无旋，称谐和场,无散：,无旋：,拉普拉斯方程,即：谐和场的位函数满足拉普拉斯方程。,4、静电场和恒定磁场,静电场：,是无旋场，因此又是有势场或保守场,“有散场”或“有源场”,恒定磁场：,“无散场”或“无源场”,是有旋场，无势场或非保守场,5、一般矢量场的分解,非恒定情况下，电场既有散度又有旋度。,以电磁场为例：,麦克斯韦方程组：,是“无散场”或“有旋场”,
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