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2.3.2两个变量的线性相关,例1：下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：,（1）将上表中的数据制成散点图.（2）你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系吗?（3）如果近似成线性关系的话，请画出一条直线方程来近似地表示这种线性关系.,（1）画出散点图：,（2）从图中可以看出温度与杯数具有相关关系，当温度由小到大变化时，杯数的值由大到小.所以温度与杯数成负相关.图中的数据大致分布在一条直线附近，因此温度与杯数成线性相关关系。,（3）根据不同的标准，可以画出不同的直线来近似地表示这种线性关系。如可以连接最左侧和最右侧的点，或者让画出的直线上方的点和下方的点的数目相同。,由图可见，所有数据的点都分布在一条直线附近，显然这样的直线还可以画出许多条，而我们希望找出其中的一条，它能最好地反映x与Y之间的关系。换言之，我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点。记此直线方程是,上式叫做Y对于x的回归直线方程，b叫做回归系数。,要确定回归直线方程，只要确定a与b.,回归直线的方程的求法：,设x，Y的一组观察值为(xi，yi)(i=1，2，n)且回归直线的方程为,当变量x取xi(i=1，2，n)时，可以得到：(i=1，2，n)，,可见，偏差的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表n个点与相应直线在整体上的接近程度。故采用n个离差的平方和,表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.,记,(为连加符号),上式展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求使Q取得最小值时a、b的值.,这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条。由于平方又叫做二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做“最小二乘法”。,用最小二乘法求回归直线方程中a，b有下面的公式：,其中,同样a，b的上方加“”，表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值。,由于，故巧合的是：(xi，yi)(i=1，2，n)的中心点在回归直线上，x处的估计值为.,例2.在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度Y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表：,（1）画出表中数据的散点图；（2）求Y对x的回归直线方程；（3）试预测腐蚀时间为100时腐蚀深度是多少？,解：（1）散点图如下,（2）根据公式求腐蚀深度Y对腐蚀时间x的回归直线方程。,由上表分别计算x，y的平均数得,（3）根据求得的回归方程，当腐蚀时间为100s时，,即腐蚀深度约为38.86m.,1.2011广东卷某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm.,185,快乐体验,2.2011江西卷为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下父亲身高x(cm),174,176,176,176,178儿子身高y(cm),175,175,176,177,177则y对x的线性回归方程为()Ayx1Byx1Cy88x/2Dy176,C,快乐体验,3.2011辽宁卷调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y0.254x0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元,0.254,【解析】由题意得0.254(x1)0.3210.254x0.3210.254，即家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元,快乐体验,4.（2011年高考山东卷8)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为（）(A)63.6万元(B)65.5万元(C)67.7万元(D)72.0万元,B,快乐体验,5.(2011年高考安徽卷20)（本小题满分10分）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程;(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.,快乐体验,快乐体验,（）当x=2012时，（万吨）答：该地2012年的粮食需求量为299.2万吨。,快乐体验,练习题,1下列说法正确的是（）（A）y=2x2+1中的x，y是具有相关关系的两个变量（B）正四面体的体积与其棱长具有相关关系（C）电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系（D）传染病医院感染“非典”的医务人员数与医院收治的“非典”病人数是具有相关关系的两个变量,D,2.有关线性回归的说法，不正确的是()A.相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有回归方程,D,3.下面哪些变量是相关关系()A.出租车费与行驶的里程B.房屋面积与房屋价格C.身高与体重D.铁的大小与质量,C,4.回归方程y=1.5x15，则()A.y=1.5x15B.15是回归系数aC.1.5是回归系数aD.x=10时，y=0,A,5.线性回归方程y=bx+a过定点_.,7.下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？,由散点图看出，求回归直线方程无实际意义。,8.某市近10年的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：,（1）求回归方程；（2）若市政府下一步再扩大5千煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少.,解：（1）画散点图并求回归方程,（2）当x=5时,y=30.367630.37。,
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