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23等差数列的前n项和(一),1.设梯形的上底，下底，高分别为a，b，h，把两个相同的梯形一个倒置并成平行四边形，则梯形的面积为_.,知识链接,2.把二次函数y2x24x3化成ya(xh)2k的形式是_，当x_时，y有最大值_.,解析y2x24x32(x22x)32(x1)25.x1时，y有最大值5.,y2(x1)25,1,5,1.数列前n项和的概念把a1a2an叫数列an的前n项和，记做.a1a2a3an1(n2).2.等差数列前n项和公式(1)若an是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn；(2)若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn.,Sn1,预习导引,Sn,3.等差数列前n项和的性质(1)若数列an是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.(2)Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为.(3)设两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn，Tn，则,m2d,例1在等差数列an中.(1)a1，an，Sn5，求n和d.,探究一与等差数列Sn有关的基本量的计算,(2)a14，S8172，求a8和d.,又a84(81)d39，d5.,(3)已知d2，an11，Sn35，求a1和n.,规律方法a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.,变式训练1在等差数列an中；(1)已知a610，S55，求a8和S10；,(2)已知a3a1540，求S17.,例2已知数列的前n项和公式为（1）这个数量是等差数列吗？求出它的通项公式；（2）求使得最小的序号n的值。,探究二等差数列前n项和的最值问题,解：将n-1代人数列的前n项和公式，得因此当n=1时也适合上式，所以这个数列的通项公式为,例2已知数列的前n项和公式为（1）这个数量是等差数列吗？求出它的通项公式；（2）求使得最小的序号n的值。,探究二等差数列前n项和的最值问题,解：又因为所以是等差数列。（2）因为且所以当或8时，最小，最小值是-112。,例3某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？,探究三等差数列前n项和公式在实际中的应用,解设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则a15010001%60(元)，,a250(100050)1%59.5(元)，a1050(1000950)1%55.5(元)，即第10个月应付款55.5元.由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，所以有S20201105(元)，即全部付清后实际付款11051501255(元).,规律方法建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.,例4等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m.,解：法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列.30,70，S3m100成等差数列.27030(S3m100)，S3m210.,探究四等差数列前n项和性质的应用,法二在等差数列中成等差数列，即S3m3(S2mSm)3(10030)210.,变式训练2：两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知求的值.,规律方法等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.,变式训练3设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.,解设等差数列an的公差为d，则Snna1n(n1)d，,1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)，若mn2p，则anam2ap的应用.,课堂小结,
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