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9.7抛物线,知识梳理,考点自测,1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的_的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的,直线l叫做抛物线的.2.抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为;(2)顶点在坐标原点,焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为;(3)顶点在坐标原点,焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为;(4)顶点在坐标原点,焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为.,距离相等,焦点,准线,y2=2px(p0),y2=-2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0),知识梳理,考点自测,3.抛物线的几何性质,(0,0),y=0,x=0,知识梳理,考点自测,1,知识梳理,考点自测,1.设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则(4)以AB为直径的圆与准线相切.(5)CFD=90.,知识梳理,考点自测,2.设P(x0,y0)为圆锥曲线C:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上的任意一点,则过点P的切线方程为3.抛物线y2=2px(p0)的通径长为2p.,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,答案,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.(2017江西新余一中模拟七,理5)已知抛物线y=ax2(a0)的焦点到准线距离为1,则a=()A.4B.2,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为.,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为.,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,例1(1)(2017安徽模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则AOB的面积为()(2)(2017辽宁大连双基测试)若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则OFP的面积为(),答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题?解题心得1.由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.2.注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练1(1)(2017河南濮阳一模)抛物线y2=2px(p0)的焦点为圆x2+y2-6x=0的圆心,过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于M,N两点,则|MN|=()A.30B.25C.20D.15,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,例2(1)(2017安徽合肥一模)已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积为1,则p的值为()(2)(2017宁夏石嘴山第三中学模拟)如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为(),答案:(1)B(2)D,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.抛物线几何性质的确定,由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练2(1)(2017宁夏银川模拟)直线l过抛物线x2=2py(p0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是6,AB的中点到x轴的距离是1,则此抛物线方程是()A.x2=12yB.x2=8yC.x2=6yD.x2=4y(2)(2017广西玉林、贵港一模)已知椭圆与抛物线y2=2px(p0)交于A,B两点,|AB|=2,则p=.,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(2)(2017全国,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10,答案:(1)C(2)A,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考求与抛物线有关的最值问题的一般思路是怎样的?解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练3(1)(2017江西赣州模拟)若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的点M的坐标为()(2)(2017河北邢台摸底)已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是.,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,例4(1)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若FAC=120,则圆的方程为.(2)在平面直角坐标系xOy中,双曲线(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考求解抛物线与其他圆锥曲线的小综合问题要注意什么?解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的小综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练4(1)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x(2)(2017山西太原二模)已知双曲线-y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p0)的焦点,直线y=kx+m与抛物线交于A,B两个不同的点,点M(2,2)是AB的中点,则OAB(O为坐标原点)的面积是(),答案:(1)C(2)D,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,例5(2017安徽安庆二模,理20)已知抛物线x2=2py(p0),F为其焦点,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,过点B作x轴的垂线,交直线OA于点C,如图所示.(1)求点C的轨迹M的方程;(2)直线m是抛物线的不与x轴重合的切线,切点为P,点C的轨迹M与直线m交于点Q,求证:以线段PQ为直径的圆过点F.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考求解抛物线综合问题的一般方法是怎样的?解题心得求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦点在x轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练5(2017北京海淀区二模,理18)已知动点M到点N(1,0)和直线l:x=-1的距离相等.(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)已知不与直线l垂直的直线l与曲线E有唯一公共点A,且与直线l的交点为P,以AP为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系,并证明你的结论.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解:(1)设动点M(x,y),则M的轨迹E是以N(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线,所以轨迹E的方程为y2=4x.(2)点N在以PA为直径的圆C上.证明如下:由题意可设直线l:x=my+n,因为直线l与曲线E有唯一公共点A,所以=16m2+16n=0,即n=-m2.所以(*)可化简为y2-4my+4m2=0.所以A(m2,2m).所以NANP,所以点N在以PA为直径的圆C上.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,1.认真区分四种形式的标准方程:(1)区分y=ax2与y2=2px(p0),前者不是抛物线的标准方程.(2)求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.,
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