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9.3圆的方程,知识梳理,考点自测,1.圆的定义及方程,定点,定长,(a,b),r,知识梳理,考点自测,2.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆内.,=,0.(),答案,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.圆心在y轴上,且过点(-1,2)并与x轴相切的圆的标准方程为(),答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为()A.(-,-2)B.(-,-1)C.(1,+)D.(2,+),答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.(2017湖南邵阳一模)已知A(-1,4),B(3,-2),以AB为直径的圆的标准方程为.,答案,解析,考点1,考点2,考点3,例1(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2(2)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=(),答案:(1)B(2)C,考点1,考点2,考点3,解析:(1)(方法一)设出圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可.设圆心坐标为(a,-a),故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.(方法二)题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离;圆心是直线x+y=0被这两条平行线所截线段的中点,直线x+y=0与直线x-y=0的交点坐标是(0,0),直线x+y=0与直线x-y-4=0的交点坐标是(2,-2),故所求圆的圆心坐标是(1,-1),所求圆C的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.,考点1,考点2,考点3,(方法三)作为选择题也可以验证解答.圆心在x+y=0上,排除选项C,D,再验证选项A,B中圆心到两直线的距离是否等于半径即可.(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)代入,则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,考点1,考点2,考点3,思考求圆的方程有哪些常见方法?解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的垂直平分线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线.(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为.(2)(2017河南百校联盟)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为.,答案:(1)(x-3)2+y2=2(2)(x-2)2+(y-1)2=10,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,例2已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.,答案,考点1,考点2,考点3,思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法?解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.,考点1,考点2,考点3,对点训练2已知点A(-1,0),点B(2,0),动点C满足|AC|=|AB|,则点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程为.,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考向1斜率型最值问题例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求的最大值和最小值.思考如何求解形如的最值问题?,答案,考点1,考点2,考点3,考向2截距型最值问题例4在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.思考如何求解形如ax+by的最值问题?,答案,考点1,考点2,考点3,考向3距离型最值问题例5在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值.思考如何求解形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题?,答案,考点1,考点2,考点3,考向4建立目标函数求最值问题例6设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为.思考如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值?,答案,解析,考点1,考点2,考点3,解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律:(1)借助几何性质求最值形如的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解,其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法.,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)已知实数x,y满足方程x2+y2-2的最大值和最小值分别是和.(2)已知实数x,y满足x2+y2=4(y0),则m=x+y的取值范围是.(3)已知P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-1)2=1上移动,则x2+y2的最小值为.(4)设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,
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