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专题（四）,三角形与四边形综合题,几何所涉及的计算与证明一般都是以三角形、四边形为基础,三角形的综合一般结合其边与角,通过转化为特殊的三角形,如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等解决问题,而四边形一般通过连接对角线,从而转化为三角形,再进行计算与证明.三角形与四边形相关的题一般结合相似三角形、平行线、勾股定理、面积、锐角三角函数等知识,重在考查对知识的全面理解与掌握.,例12018遵义如图Z4-1,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AEBE),且EOF=90,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.,题型一求长度,题型一求长度,【分层分析】(1)证OAMOBN即可得;(2)作OHAD,由正方形的边长为4且E为OM的中点,知OH=HA=2,HM=4,再根据勾股定理得OM=2,由等腰直角三角形的性质知MN=OM.【方法点析】解求边长之类的题:添加常用辅助线,将四边形化成三角形(或构造直角三角形),通过解直角三角形去求.,题型一求长度,拓展12018张家界如图Z4-2,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DFAE,垂足为F.(1)求证:DF=AB;(2)若FDC=30,且AB=4,求AD的长.,题型一求长度,拓展22018呼和浩特如图Z4-3,已知A,F,C,D四点在同一条直线上,AF=CD,ABDE,且AB=DE.(1)求证:ABCDEF;(2)若EF=3,DE=4,DEF=90,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.,题型一求长度,拓展32017杭州如图Z4-4,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GEDC于点E,GFBC于点F,连接AG.(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;(2)若正方形ABCD的边长为1,AGF=105,求线段BG的长.,解:(1)结论:AG2=GE2+GF2.理由:如图,连接CG.四边形ABCD是正方形,A,C关于对角线BD对称.点G在BD上,GA=GC.GEDC于点E,GFBC于点F,GEC=ECF=CFG=90.四边形EGFC是矩形.CF=GE.在RtGFC中,CG2=GF2+CF2,AG2=GF2+GE2.,题型一求长度,拓展32017杭州如图Z4-4,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GEDC于点E,GFBC于点F,连接AG.(2)若正方形ABCD的边长为1,AGF=105,求线段BG的长.,题型二求面积,例22018广西如图Z4-5,在ABCD中,AEBC,AFCD,垂足分别为E,F,且BE=DF.(1)求证:ABCD是菱形;(2)若AB=5,AC=6,求ABCD的面积.,题型二求面积,【分层分析】(1)利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题;(2)连接BD,交AC于O,利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题.【方法点析】在四边形或三角形中求面积,关键是要将四边形转化为三角形,再利用三角形的全等、相似、直角三角形的勾股定理,求出其底与高,再求面积.,题型二求面积,拓展1如图Z4-6,在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4,ABC的平分线交边AC于点D,延长BD至点E,且BD=2DE,连接AE.(1)求线段CD的长;(2)求ADE的面积.,题型二求面积,拓展22018陇南如图Z4-7,在矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:BGFFHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.,题型二求面积,拓展32018青海如图Z4-8,在平行四边形ABCD中,E为AB边上的中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点F.(1)求证:AD=BF;(2)若平行四边形ABCD的面积为32,试求四边形EBCD的面积.,题型三求角度,例32017枣庄如图Z4-9,已知正方形ABCD中,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA,EC.(1)如图,若点P在线段AB的延长线上,求证:EA=EC;(2)如图,若点P为线段AB的中点,连接AC,判断ACE的形状,并说明理由;(3)如图,若点P在线段AB上,连接AC,当EP平分AEC时,设AB=a,BP=b,求ab及AEC的度数.,题型三求角度,例32017枣庄如图Z4-9,已知正方形ABCD中,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA,EC.(2)如图,若点P为线段AB的中点,连接AC,判断ACE的形状,并说明理由;,题型三求角度,例32017枣庄如图Z4-9,已知正方形ABCD中,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA,EC.(3)如图,若点P在线段AB上,连接AC,当EP平分AEC时,设AB=a,BP=b,求ab及AEC的度数.,题型三求角度,题型三求角度,拓展2018曲靖如图Z4-10,分别在平行四边形ABCD的边AB,CD上截取AF,CE,使得AF=CE,连接EF,点M,N是线段EF上两点,且EM=FN,连接AN,CM.(1)求证:AFNCEM;(2)若CMF=107,CEM=72,求NAF的度数.,解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,CDAB.AFN=CEM.又FN=EM,AF=CE.AFNCEM(SAS).(2)AFNCEM,NAF=ECM.CMF=CEM+ECM,107=72+ECM.ECM=35.NAF=35.,题型四求线段的数量比,解:(1)证明:AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,AD=BD=AE=EC.由旋转的性质可知,DAD=EAE=,AD=AD,AE=AE.AD=AE.BDACEA.BD=CE.,题型四求线段的数量比,题型四求线段的数量比,题型四求线段的数量比,【分层分析】(1)首先依据旋转的性质和中点的定义证明AD=AE,然后利用SAS证明BDACEA,最后依据全等三角形的性质进行证明即可;(2)连接DD,先证明ADD为等边三角形,然后再证明ABD为直角三角形,接下来证明BFDAFE,最后依据相似三角形的性质求解即可.,题型四求线段的数量比,
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