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第2讲立体几何中的空间角问题,高考定位以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查，高考注重以传统方法解决空间角问题，但也可利用空间向量来求解.,(2018浙江卷)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)证明：AB1平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.,真题感悟,(2)解如图，过点C1作C1DA1B1，交直线A1B1于点D，连接AD.,由AB1平面A1B1C1，AB1平面ABB1，得平面A1B1C1平面ABB1，,由C1DA1B1得C1D平面ABB1，所以C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.,法二(1)证明如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.,由题意知各点坐标如下：,考点整合,图1图2,探究提高求异面直线所成的角，可以应用向量法，也可以应用异面直线的定义求解.,【训练1】(1)(2018浙江卷)已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则()A.123B.321C.132D.231,解析(1)由题意知四棱锥S-ABCD为正四棱锥，如图，连接AC，BD，记ACBDO，连接SO，则SO平面ABCD，取AB的中点M，连接SM，OM，OE，易得ABSM，则2SEO，3SMO，易知32.再根据最小角定理知，31，所以231，故选D.,热点二求线面角【例2】(2017浙江卷)如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点.(1)证明：CE平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.,(2)解分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，,在平行四边形BCEF中，MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中点得BNAD.,因为PNBNN，所以AD平面PBN.由BCAD得BC平面PBN，因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PBN.,过点Q作PB的垂线，垂足为H，则QH平面PBC.连接MH，则MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD1.,探究提高(1)传统法解决线面角问题的关键是先找出线面所成的角，再在三角形中解此角.(2)利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.,【训练2】如图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.,解(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下：,由已知，BCED，且BCED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE.所以CM平面PBE.,(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点),(2)法一由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.从而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA45.,热点三求二面角【例3】(2016浙江卷)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.,又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK，且CKACC，CK，AC平面ACFD，所以BF平面ACFD.,(2)解法一过点F作FQAK于Q，连接BQ.因为BF平面ACK，所以BFAK，则AK平面BQF，所以BQAK.所以BQF是二面角B-AD-F的平面角.,法二如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形.取BC的中点O，连接KO，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，所以KO平面ABC.,以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.,设平面ACK的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n(x2，y2，z2).,探究提高(1)用传统法求解二面角的关键是：先找出二面角的平面角，再在三角形中求解此角.(2)利用法向量的根据是两个半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互补，在能断定所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角的情况下，这种方法具有一定的优势，但要注意，必须能断定“所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角”，在用法向量法求二面角的大小时，务必要作出这个判断，否则解法是不严谨的.,【训练3】(2018绍兴仿真考试)四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC60，E为AB的中点，PA平面ABCD，PC与平面PAB所成的角的正弦值为.(1)在棱PD上求一点F，使AF平面PEC；(2)求二面角D-PE-A的余弦值.,法二取BC的中点G，连接AG，由已知可得AGAD.又PA平面ABCD，故可以A为原点，以AG，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系.,3.利用空间向量求解二面角时，易忽视二面角的范围，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.4.空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.应用的核心是充分认识形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意运算的准确性,
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