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专题二不等式第5讲三个“二次”的问题,第5讲三个“二次”的问题1.不等式0的解集是.,答案1,3),解析0解得1x3,故原不等式的解集为1,3).,2.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是.,答案,解析由二次函数图象可得f(x)0,xm,m+1恒成立,即解得-m0.,3.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+),若关于x的不等式f(x)0的解集为(-1,3)时,求实数a,b的值.,解析(1)f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3.,因为f(1)0,所以a2-6a+3-b0的解集为;当b-6时,3-6时,f(1)0的解集为a|3-0的解集为.(2)因为不等式-3x2+a(6-a)x+b0的解集为(-1,3),所以解得,【方法归纳】(1)解二次不等式要结合二次函数图象,从图象的开口方向、判别式等方面考虑,含有参数的问题,一般还需要分类讨论,此时要弄清分类讨论的标准,避免重复和遗漏;(2)已知一元二次不等式的解集求参数的取值,一般结合图象将不等式的解集的区间端点转化为方程的根,利用韦达定理建立方程组求解.,1-1已知函数f(x)=(x0,a0),当x1,3时,函数f(x)的取值范围恰为.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若向量m=,n=(k2+k+2,3k+1)(k-1),解关于x的不等式f(x)0恒成立;若c0,则f(x)=在1,3上单调递增,所以解得故f(x)=.(2)由题意得-+,即0,即x(x-2k)x-(k+1)0.当-1k0,则f(x)=ax2+bx+a.因为对于一切实数x,f(x)(x+1)2恒成立.所以x2+(b-1)x+0对于一切实数x恒成立,又因为=(b-1)2-4=(1-2a)2-(2a-1)2=0,所以a-0,即a0(0)或y0(0)或ax2+bx+c时,0)有两个实根x1,x2.(1)求(1+x1)(1+x2)的值;(2)求证:x1-1,且x2-1;(3)如果,试求a的最大值.,解析(1)由已知得x1+x2=-,x1x2=,则(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2=1-+=1.(2)证明:令f(x)=ax2+x+1,由已知及=1-4a0得00,所以f(x)的图象与x轴的交点都在点(-1,0)的左侧,故x1-1,且x2-1.(3)由(1)知,x1=-1=-,则=-.因为,所以-,则-.,所以a=-=-+,故当-=时,a取得最大值,为.,【方法归纳】一元二次不等式与一元二次方程转化时需注意:不等式的解集的区间端点就是对应方程的根,但要注意不等号的方向;在一元二次方程中,综合应用判别式与韦达定理解决根的问题.,3-1(2017江浦中学期中)若关于x的不等式ax2-6x+a20的解集是(1,m),则m的值为.,答案2,解析根据不等式与方程之间的关系知,x=1为方程ax2-6x+a2=0的一个根,则a2+a-6=0,解得a=2或a=-3.当a=2时,不等式ax2-6x+a20的解集是(1,2),符合要求;当a=-3时,不等式ax2-6x+a20的解集是(-,-3)(1,+),不符合要求,舍去.故m=2.,题型四三个“二次”的综合问题,例4设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR),且f(1)=-,2b0且-30,所以-30时,因为a0,所以f(1)=-0,所以函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点;当c0时,因为a0,所以f(1)=-0,所以函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点.综合得函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.(3)因为x1,x2是函数f(x)的两个零点,所以x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,所以|x1-x2|=.,因为-3,则函数(x)在(-,a上的最小值为=-+a,且(a).(ii)当xa时,函数(x)=x2+x-a-1=-a-.若a-,则函数(x)在a,+)上的最小值为=-a,且(a);,
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