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专题五函数与导数第13讲函数的图象与性质,第13讲函数的图象与性质1.若函数f(x+1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于对称.,答案直线x=1,解析因为函数f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),则y=f(x)的图象关于直线x=1对称.,2.已知f(x)为定义在2-a,3上的偶函数,在0,3上单调递减,并且ff(-m2+2m-2),则m的取值范围是.,答案,解析由题意可得2-a=-3,a=5,则f(-m2-1)=f(m2+1)f(-m2+2m-2)=f(m2-2m+2),所以m2+11,则函数f(x)不存在最大值,若0a1,2+loga31,则loga3-1=loga,解得a,故a的取值范围是a1.,4.已知函数f(x)=若存在实数a,b,c满足abc且f(a)=f(b)=f(c),则(ab+1)c的取值范围是.,答案(16,64),解析画出函数f(x)的图象,由图象可知,0a1b4c6,且-log4a=log4b,得ab=1,则(ab+1)c=2c(16,64).,5.若f(x)=ex+ae-x为偶函数,则f(x-1)的解集为.,答案(0,2),解析因为f(x)=ex+ae-x为偶函数,所以f(-x)=e-x+aex=ex+ae-x=f(x),整理得(a-1)(ex-e-x)=0,则a=1,所以f(x)=ex+e-x,f(x-1)即为eex-1+e-(x-1)e2+1,整理得e2x-ex+2-ex+e20,即为(ex-e2)(ex-1)0,解得1exe2,则00时,函数图象必须经过第四象限,即f(x)0时有解,即a,当00,函数递增;当x2时,y=x2-+1递增,所以x=1时,=2,则a2,综上可得,实数a的取值范围是a2.,【方法归纳】(1)函数图象形象地展示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等),为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,因此常用函数的图象研究函数的性质,同时也会借用函数性质去研究函数图象的有关问题,二者相辅相成.(2)关于函数图象的问题,一般要利用图象变换、等价转化等数学方法和思想进行转化,如图象上存在关于原点对称的点,即将x0的图象有交点,进而转化为方程有解问题,再结合分离参数法转化为函数的值域问题.,2-1(2018江苏南通中学高三考前冲刺)若函数f(x)=的图象上存在关于原点对称的点,则实数a的取值范围是.,答案,解析f(x)=x2+-4,x0的图象与f(x)=2x,x0的图象有交点,即方程-x2+4=2x,a=x3+2x2-4x,x0有解,令g(x)=x3+2x2-4x,x0,则g(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2),x,g(x)0,g(x)单调递增,则g(x)min=g=-,故a-.,题型三函数的图象和性质的综合应用,例3(2018苏锡常镇四市高三调研)已知函数f(x)=若存在实数abc,满足f(a)=f(b)=f(c),则af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是.,答案2e2-12,解析作出函数f(x)的图象如图,当f(a)=f(b)=f(c),a0,所以c0(,e2),使得g(c0)=0,且c(,c0),g(c)0,g(c)单调递增,且g()=(-6)0,则g(c)的最大值即为af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值,即2e2-12.,【方法归纳】(1)利用函数图象的对称性对目标函数化简、变形,尤其是目标函数中有多个变量时要结合图形减少变量个数.(2)求解目标函数的最值,首先要建立合适的目标函数,再利用目标函数的特征选择工具(如导数、基本不等式等)求解最值.,解析作出函数f(x)的图象如图,设直线y=ax与y=lnx相切于(x0,lnx0),则曲线在切点处的切线方程为y-lnx0=(x-x0),把原点坐标代入得x0=e,要使直线y=ax与y=f(x)的图象交于三个不同的点,则n(1,e),联立y=x,y=2x+1解得x=,则m,故n+2.,
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