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微专题3多变量问题的处理,微专题3多变量问题的处理题型一利用基本不等式实现求解,例1(1)已知x为正实数,且xy=2x+2,则+的最小值为.(2)若a2-ab+b2=1,a,b是实数,则a+b的最大值是.,答案(1)2(2)2,解析(1)由题意可得x(y-2)=2,x0,y-20,所以+2=2,当且仅当=时取等号,故+的最小值为2.,(2)因为a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=1,所以(a+b)2-1=3ab,即(a+b)21,所以-2a+b2,故a+b的最大值是2.,【方法归纳】解决约束条件下的二元最值问题,可将条件与目标函数联系起来,对条件或目标函数适当变形,若两者之间有和或积的形式,可利用基本不等式求解.,1-1若实数x,y满足xy0,且log2x+log2y=1,则的最小值为.,答案4,解析由log2x+log2y=1得xy=2,又xy0,所以=(x-y)+2=4,当且仅当x-y=2,即x=1+,y=-1时取等号,所以的最小值为4.,1-2已知实数x,s,t满足8x+9t=s,且x-s,则的最小值为.,答案6,解析由x-s和8x+9t=s得9x+9t=x+s0,所以=(x+s)+=9(x+t)+6,当且仅当9(x+t)=时取等号,故它的最小值为6.,题型二利用换元法实现求解,例2(1)设函数f(x)=x2+bx+c(b,cR)对任意的xR,都有f(x)f(x)成立,若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)M(c2-b2)恒成立,则实数M的最小值为.,(2)已知实数x,y满足+y2=1,则3x2-2xy的最小值为.,答案(1)(2)6-2,解析(1)函数f(x)=x2+bx+c(b,cR)对任意的xR,都有f(x)f(x)成立,即x2+(b-2)x+c-b0恒成立,则=(b-2)2-4(c-b)0,c+1,则c1,且c2=|b|,当c=|b|时,由c=+1可得c=|b|=2,此时f(c)-f(b)=-8或0,不等式f(c)-f(b)M(c2-b2)恒成立;当c|b|时,M=,令t=,-10,则bc0,02,由+t恒成立,得t,则t2,故实数t的最大值为2.,2-2已知a,bR,a+b=4,则+的最大值为.,答案,解析由基本不等式可得ab=4,则+=.令9-ab=t,t5,则ab=9-t,+=,当且仅当t=4时取等号,故+的最大值为.,题型三利用消元实现求解,例3(1)若关于x的不等式x3-3x2+ax+b0对任意的实数x1,3及任意的实数b2,4恒成立,则实数a的取值范围是.(2)已知实数x,y满足x2+2xy-1=0,则x2+y2的最小值为.,答案(1)(-,-2)(2),解析(1)不等式x3-3x2+ax+b0,xy+2x+y=4,所以y=0,得00,所以x-10,y-10.又+=1x+y=xy,所以(x-1)(y-1)=xy-x-y+1=1.则+=4+9+=13+13+2=25,当且仅当=,与+=1联立解得x=,y=时等号成立,所以+的最小值为25.,2.函数f(x)=2x2-4x+1(xR),若f(x1)=f(x2),且x1x2,则的最小值为.,答案2,3.如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,AD=1,点P,Q分别在边BC,CD上,且PAQ=45,则的最小值为.,答案4-4,4.已知a,b为正实数,且a+b=1,则+的最小值为.,答案,5.已知正实数,a,b满足+=1,则ab的最大值为.,答案2-,解析ab=ab=+.令2a+b=m,2b+a=n,则a=,b=,m0,n0,则+=+=2-.因为+2=,当且仅当n=m时取等号,则2-2-,当且仅当n=m时取等号,故ab的最大值为2-.,
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