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第四节定积分的几何应用,二、平面图形的面积,三、平面曲线的弧长,四、某些特殊的几何体的体积,一、微元法基本思想P336,五、旋转曲面的表面积,一、微元法基本思想,1.回顾曲边梯形的面积问题,具体步骤“四步曲”,把原曲边梯形分成n个窄曲边梯形,（1）分割,（2）取点,（4）取极限,第i个窄曲边梯形面积记为Si;,（3）求和,解决实际问题时按照下面步骤,简化为,如曲边梯形的面积问题,然后把dS在a,b上作定积分，,这就是所说的微元法或元素法,2.应用微元法的一般步骤：,(1)根据具体问题，选取一个变量x为积分变量，,并确定它的变化区间a,b；,(2)在a,b上，任取一小区间x,x+dx；,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；旋转体的表面积；功；水压力；引力等.,二、平面图形的面积,1.直角坐标情形,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,例1.计算两条抛物线y=x2，y2=x所围图形的面积。,解：由,取x为积分变量,变化范围为0,1,得面积元素,(1,1),得交点,P314例7.4.2,说明,也可取y为积分变量,选x作积分变量，则x的取值范围是0,例2.求y=sinx,y=sin2x(0x)所围图形的面积。,解：由,得交点(0,0)，,(,0),例3.,解.不妨设x0.,于是,由于,两式相除,得,解得,说明,双曲正弦、双曲余弦的由来,2.三角函数统称为圆函数的原因,P314例7.4.1,按顺时针方向规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,2.参数表示的情形,例4.求椭圆,解:利用对称性,所围图形的面积.,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当a=b时得圆面积公式,P314例7.4.3,例5.求由摆线,的一拱与x轴所围平面图形的面积。,解:,o,说明,常用几何曲线的图形见P333-336.,P316例7.4.4,3.极坐标的情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,极坐标表示的情形,解:,由对称性知，总面积=4倍第一象限部分面积,例6.求双纽线,所围图形面积.,P3301(12),解:,利用对称性,例7.求心形线,所围图形的面积,例8.求三叶玫瑰线围成图形的面积.,解:由对称性,只求半叶玫瑰的面积,P318例7.4.6,例9.计算心形线,与圆,所围公共部分的面积。,解:利用对称性,所求面积,下次课内容预告：定积分的几何应用(续)1.曲线的弧长2.特殊立体的体积3.旋转体的侧面积,作业P3291(1)(2)(7)(11)(13),本次课内容小结,1.微元法,2.平面几何图形的面积,三、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,即,并称此曲线弧为可求长的.,则称,问题:,1.什么样的曲线是可求长的?,2.当曲线可求长时,如何确定其弧长?,光滑曲线的切线是连续变动的,定义7.4.1,定理7.4.1若由参数方程,确定的曲线是光滑曲线,则它是可求长的,其弧长为,证明参考P319-320,略.,将,称为弧长的微分,1.曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,2.曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,3.曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分):,注意:求弧长时积分上下限必须上大下小。,P320例7.4.7自学,例10.计算摆线,一拱,的弧长.,解:,P321例7.4.8,解：,例11.求心形线,的长度.,P3303(6),推广,则由参数方程,所确定的曲线的弧长为,例12.求圆锥螺线,第一圈的长度.,解.,四、某些特殊几何体的体积,设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,1.平行截面面积已知的立体的体积,例13.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并,与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积.,P323例7.4.10自学,注意与本题的区别!,2.旋转立体的体积,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做旋转轴。,圆柱,圆锥,圆台,成的立体体积，,考虑连续曲线段,旋转体的体积为,当考虑连续曲线段,绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有,绕x轴旋转一周围,取x作积分变量,在a,b上任取小区间x,x+dx,薄片的体积元素为,解：,例14.椭圆所围图形分别绕x轴、y轴旋转而生成立体的体积。,绕x轴旋转时，,(利用对称性),椭圆参数方程,特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积,(利用对称性),绕y轴旋转时，,椭圆参数方程,(1)曲线的参数方程为,说明,解：,旋转体的体积,(利用对称性),例15.求星形线绕x轴旋转构成旋转体的体积。,解:,绕x轴旋转的旋转体体积,利用对称性,例16.计算摆线,的一拱与y0,所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积.,P324例7.4.12,思考:若是绕y轴旋转,结果如何?,绕y轴旋转的旋转体体积,可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差。,注意上下限!,例17.证明,由平面图形0axb，0yf(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为,证明:,(不要求0yf(x)时),柱壳法P3306(1),例18.圆绕x=-b(0ab)旋转一周所生成立体的体积。,解：建立坐标系,(1,1),例19.求由y=x2及x=y2所围图形绕y轴旋转一周所生成立体的体积。,解：如图,绕y轴旋转时，,五、旋转体的侧面积,设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.,取侧面积元素:,侧面积元素,的线性主部.,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积S的,注意:,侧面积为,例19.求由星形线,一周所得的旋转体的表面积S.,解:利用对称性,绕x轴旋转,将旋轮线的参数方程代入求旋转曲面面积的公式,例20.求旋轮线一拱绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积.,解:,下次课内容预告：定积分的物理应用1.液体的静压力2.引力3.做功与功率,作业P3302(2)(4)(8)5(2)(3)7(2)(4-ii)(6),
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