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第一篇知识方法固基,第一单元数与式,第1讲实数的相关概念与运算,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,考点一实数的概念1.实数的分类(1)按定义分:,(2)按正负分:实数:正实数、0、负实数,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,2.正、负数的意义我们把如零上温度、高于海平面高度等记为正数,而把与它相反意义的量,如零下温度、低于海平面高度等记为负数.3.数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.实数与数轴上的点是一一对应的.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点二相反数、绝对值、倒数(高频)1.相反数(1)只有符号不同的两个数,叫做互为相反数,零的相反数是零.(2)实数a,b互为相反数a+b=0.2.绝对值(1)在数轴上,表示一个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值.(2)一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,即:绝对值具有非负性.,考点六,3.倒数(1)乘积为1的两个数,叫做互为倒数,实数a,b互为倒数ab=1.(2)非零实数a(a0)的倒数是;零没有倒数.特别地,倒数是它本身的数是1.,考点七,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,考点三科学记数法与近似数(高频)1.科学记数法一般地,绝对值大于10的数可记为a10n的形式,其中1|a|10,n为原数的整数位数减1,这种记数的方法叫做科学记数法.2.近似数一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,考点四平方根、算术平方根与立方根1.平方根一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做二次方根,记为.一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根.2.算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记为,0的算术平方根是0.3.立方根如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根,也叫做三次方根,记为.正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,0的立方根是0.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,考点五无理数的估算(高频)对无理数的估值,一般先对其平方,找出与平方后所得数字左右相邻的两个开得尽方的整数,并对其进行开方,就可以确定这个根式在哪两个整数之间.例如,估算在哪两个整数之间时,先对平方,找出与7左右相邻的两个开得尽方的整数4和9,因为4b;若a-b0,b0,若1,则ab;若=1,则a=b;若1,则ab.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,考点七实数的运算(高频)1.实数的每一步运算都要先确定结果的符号,再确定结果的绝对值.2.运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的,同一级运算按照从左到右的顺序依次进行.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,3.常考的运算及法则,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点1相反数、绝对值、倒数的概念,1.(2018安徽,1,4分)-8的绝对值是(B),3.(2016安徽,1,4分)-2的绝对值是(B)A.-2B.2C.2D.,4.(2013安徽,1,4分)-2的倒数是(A),命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点2有理数的大小比较5.(2015安徽,1,4分)在-4,2,-1,3这四个数中,比-2小的数是(A)A.-4B.2C.-1D.3,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点3科学记数法,6.(2018安徽,2,4分)2017年我省粮食总产量为635.2亿斤,其中635.2亿用科学记数法表示为(C)A.6.352106B.6.352108C.6.3521010D.635.2106,7.(2017安徽4,4分)截至2016年底,国家开发银行对“一带一路”沿线国家累计发放贷款超过1600亿美元.其中1600亿用科学记数法表示为(C)A.161010B.1.61010C.1.61011D.0.161012,8.(2016安徽,3,4分)2016年3月份我省农产品实现出口额8362万美元,其中8362万用科学记数法表示为(A)A.8.362107B.83.62106C.0.8362108D.8.362108,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,9.(2015安徽,3,4分)移动互联网已经全面进入人们的日常生活.截至2015年3月,全国4G用户总数为1.62亿,其中1.62亿用科学记数法表示为(C)A.1.62104B.162106C.1.62108D.0.162109,10.(2014安徽,11,5分)据报载,2014年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户,其中25000000用科学记数法表示为2.5107.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点4数的开方,11.(2017安徽,11,5分)27的立方根是3.12.(2015安徽,11,5分)-64的立方根是-4.,命题点5无理数的估算13.(2015安徽,5,4分)与1+最接近的整数是(B)A.4B.3C.2D.1,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,14.(2014安徽,6,4分)设n为正整数,且nn+1,则n的值为(D)A.5B.6C.7D.8,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点6实数的运算15.(2014安徽,1,4分)(-2)3的结果是(C)A.-5B.1C.-6D.6,解:原式=1+2+4=7.,18.(2014安徽,15,8分)计算:-|-3|-(-)0+2013.解:原式=5-3-1+2013=2014.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,考法1实数及其分类例1(2018山东菏泽)下列各数:-2,0,0.020020002(两个2之间0的个数逐次加1),其中无理数的个数是()A.4B.3C.2D.1答案:C解析:=3,整数和分数都是有理数,0.020020002(两个2之间0的个数逐次加1)是有规律的无限不循环的小数,是无理数,圆周率是无限不循环小数,是无理数.故选C.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,方法总结初中阶段常见的4种无理数,(2)有规律但是不循环的无限小数,如0.30300300030000(两个3之间依次多一个0)等;,(4)某些特殊角的三角函数值,如sin60,tan30.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应练1(2017四川成都)九章算术中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若气温为零上10记作+10,则-3表示气温为(B)A.零上3B.零下3C.零上7D.零下7,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应练2(2016浙江金华)如图是加工零件的尺寸要求,现有下列直径尺寸的产品(单位:mm),其中不合格的是(B)A.45.02B.44.9C.44.98D.45.01,对应练3(2018沈阳)下列各数中是有理数的是(B),考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,考法2实数的相关概念例2(2018河北张家口桥东区模拟)下列说法正确的有()若x与3互为相反数,则x+3=0;-的倒数是2;|-15|=-15;负数没有立方根.A.B.C.D.答案:D解析:若x与3互为相反数,则x+3=0,正确;-的倒数是-2,此选项错误;|-15|=15,此选项错误;负数有1个立方根,此选项错误.故选D.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,方法总结此题考查了绝对值的性质,要求掌握绝对值的性质及其定义,并能熟练运用到实际运算中.求一个数的相反数,直接在这个数的前面加上负号,有时需要化简得出;乘积是1的两个数互为倒数,0没有倒数,倒数等于本身的数是1或-1.解有关绝对值和数轴问题时,常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应练4(2018贵州贵阳)如图,数轴上有三个点A、B、C,若点A、B表示的数互为相反数,则图中点C对应的数是(C)A.-2B.0C.1D.4,解析:数轴上点A、B表示的数互为相反数,点A、B两点之间距离一半处的点为原点,即点C往左一个单位处是原点,故点C对应的数是1.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,考法3科学记数法例3(2010安徽)2010年一季度,全国城镇新增就业人数为289万人,用科学记数法表示289万正确的是()A.2.89107B.2.89106C.2.89105D.2.89104答案:B解析:289万=2890000=2.89106,故选B.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,方法总结科学记数法表示的数的形式为a10n,其中1|a|10,n为整数.(1)对于一个很大的数,n为原数的整数位数减1;对于一个大于0小于1的数,n是负整数,它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点左边的零).(2)对于含有计数(量)单位的数,先把计数(量)单位化成数字,再用科学记数法表示.常见的记数单位有:1千=103,1万=104,1亿=108.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应练5(2018浙江嘉兴)2018年5月25日,中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日L2点,它距离地球约1500000km.数1500000用科学记数法表示为(B)A.15105B.1.5106C.0.15107D.1.5105,解析:1500000=1.5106,故正确答案为B.,对应练6(2018黑龙江齐齐哈尔)“厉害了,我的国”!2018年1月18日,国家统计周对外公布,全年国内生产总值(GDP)首次站上82万亿元的历史新台阶.把82万亿用科学记数法表示为(A)A.8.21013B.8.21012C.8.21011D.8.2109,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应练7(2018江苏镇江)0.000182用科学记数法表示应为(B)A.0.18210-5B.1.8210-4C.1.8210-5D.18.210-4,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,考法4平方根、算术平方根与立方根,答案:A,故选A.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,方法总结一个正数的平方根有两个,其中正的平方根是算术平方根.0的算术平方根是0.任何实数的立方根只有一个.正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,零的立方根是零.注意:常见的非负数有实数的绝对值:|a|0;实数的平方:a20;非负实数的算术平方根:0.如果a,b,c都是实数,且满足a2+|b|+=0,那么根据非负数的性质,有a=0,b=0,c=0,由非负数的性质可求多个未知数的值.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应练8(2018上海)-8的立方根是-2.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,考法5实数的大小比较例5(2018四川巴中)下列四个数中,最大的数是(),答案:A,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应练11(2018四川雅安)下列各数中,比-2小的数是(C),对应练12(2018福建A卷)在实数|-3|、-2、0、中,最小的数是(B)A.|-3|B.-2C.0D.,解析:|-3|=3,根据有理数的大小比较法则(正数大于零,负数都小于零,正数大于一切负数)比较即可.因为-20|-3|,所以最小的数是-2.故选B.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应练13(2018湖北江汉油田潜江天门仙桃)点A,B在数轴上的位置如图所示,其对应的实数分别是a,b,下列结论错误的是(C)A.|b|1-2bC.-ab2D.a-21-2b,故B项表述正确;-ab2应是b2-a,故C项表述错误;a-2-b,故D项表述正确.故选C.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,考法6无理数的估算,A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间答案:B解析:因为32=9,3.52=12.25,故答案为B.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,方法总结估算无理数的大小一般用平方法,先对要估算的无理数进行平方,再找紧邻平方前后且能开方的两个数,无理数就在找到的这两个数之间.要确定离哪个数最近,先确定在哪两个整数之间,求这两个整数的平均数,用平方法比较无理数与平均数的大小.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应练14(2018江苏常州)已知a为整数,且,则a等于(B)A.1B.2C.3D.4,对应练15(2017浙江温州)下列选项中的整数,与最接近的是(B)A.3B.4C.5D.6,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,考法7实数的运算,=7.方法总结实数运算要熟练运用各个运算法则、零指数与负整数指数、特殊角的三角函数值等计算.一般运算顺序是先乘方、开方,再乘、除,后加、减,有括号的先算括号里面的,同一级运算从左到右依次进行运算.注意零指数、负整数指数的意义,防止以下错误:遇到带绝对值的先去绝对值符号再运算.无论何种运算,都要注意先定符号后运算.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应练16(2009安徽)计算:|-2|+2sin30-(-)2+(tan45)-1.解:原式=2+1-3+1=1.对应练17(2018广东深圳)计算:,
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