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2.相关性的判定定理,定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关，则整个向量组也必定线性相关。,推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关。,解：,解：,证明定理4.,写成分量形式为,(j=1,2,n),对A作初等变换,考虑A的r+1阶子式,按向量形式写，上式为：,0,推论1：当mn时，m个n维向量线性相关。,推论2：任意m个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的矩阵A=的秩r(A)=m。,推论3：任意n个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式不等于零。或r(A)=n.,推论4：任意n个n维向量线性相关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式等于零。或r(A)n.,定理5：若m个r维向量线性无关，则对应的m个r+1维向量也线性无关。,用语言叙述为：线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。,推论：r维线性无关的向量，添加n-r个相应分量组成的n维向量仍旧线性无关。,证明：,Ex,含有零向量的向量组必线性相关,相关性的判定-利用定义方法,(1)设k1a1+kmam=0,得到一向量方程,(2)将向量方程转化为关于k1,km的方程组,并求解,(3)根据解的情况判断向量组的线性相关性:k1=km=0,线性无关;否则,线性相关,向量组的极大无关组,或,极大无关组的含义有两层：1无关性;2.极大性.,1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;,2.向量组与其极大无关组等价;,3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是等价的.,注:,例:求向量组的极大无关组.,一个向量组只要含有非零向量,则一定有极大线性无关组,极大线性无关组一般不唯一,但是它们所含向量个数是否相等,极大无关组的性质,定理1：设有两个n维向量组,若向量组(I)线性无关，且可由向量组(II)线性表示，则rs.,证：设,推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。,定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等。,注：,（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。,（2）向量组线性无关秩=向量个数。,定理3：,r(0)=0,推论：等价的向量组有相同的秩。,必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。,=n,例2：,你能举一个反例吗？,上面的结论需要记住,并应用,如果线性无关,则下列向量组线性无关的为,作用:利用向量组的等价性(向量组的秩)讨论相关性,定理4：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。,行秩：矩阵行向量组的秩；列秩：矩阵列向量组的秩。,推论：矩阵的行秩与列秩相等。,这实际上给出了一个求向量组秩的方法：先将向量组构成一个矩阵，然后求矩阵的秩，这个秩就是向量组的秩。,例1：求向量组的秩。,解：,向量组的秩的求法,极大无关组的求法,逐个考察法,列摆行变换法。,例2：求向量组的秩及极大无关组。,列摆行变换将矩阵化为梯形阵后，秩即求出来了。这时，只要在同一高度上取一个向量，即可得到极大无关组。,如上例，,求秩及一个极大无关组。,矛盾,反例：,但，行摆行变换不行！,我们已经看到：用矩阵可以解决向量组的问题，实际上，用向量组也可以解决矩阵的问题。一个最典型的例子是：,这是一个非常重要的关于秩的不等式！,这又是一个非常有用的公式。,
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