资源描述
要点梳理1.函数的单调性在（a,b)内可导函数f(x),f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)为；f(x)0f(x)为.,导数的综合应用,增函数,减函数,基础知识自主学习,2.函数的极值（1）判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤求f(x);求方程的根；检查f(x)在方程的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)=0,f(x)=0,极大值,极小值,3.函数的最值（1）在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a,b上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在a,b上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.(3)设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在（a,b)内的；将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,f(b),f(a),f(b),极值,f(a),f(b),f(a),基础自测1.函数y=x3-3x的单调递减区间是_.解析y=3x2-3,由3x2-30,得-1x1.,（-1，1）,2.函数f(x)=x3+ax-2在区间（1，+）上是增函数，则实数a的取值范围是_解析f(x)=x3+ax-2在（1，+）上是增函数，f(x)=3x2+a0在（1，+）上恒成立.即a-3x2在（1，+）上恒成立.又在（1，+）上-3x2-3,a-3.,-3，+),3.函数y=2x3-3x2-12x+5在0，3上的最大值，最小值分别是_解析y=6x2-6x-12=0，得x=-1（舍去）或2,故函数y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在0，3上的最值可能是x取0，2，3时的函数值，而f（0）=5，f（2）=-15，f（3）=-4,故最大值为5，最小值为-15.,5,-15,4.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f(x)在（a，b）内的图象如图所示,则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点_个解析f(x)0时,f(x)单调递增，f(x)0时，f(x)单调递减.极小值点应在先减后增的特殊点，即f(x)0f(x)=0f(x)0.由图象可知只有1个极小值点.,1,5.若函数f(x)=在x=1处取极值，则a=.解析因为f(x)在x=1处取极值，所以1是f(x)=0的根，将x=1代入得a=3.,3,题型一函数的单调性与导数【例1】已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.求f(x)f(x)0或f(x)0恒成立a的范围.,思维启迪,题型分类深度剖析,解（1）由已知f(x)=3x2-a.f（x）在（-，+）上是增函数，f（x）=3x2-a0在（-，+）上恒成立.即a3x2对xR恒成立.3x20,只要a0.又a=0时，f(x)=3x20，f（x）=x3-1在R上是增函数，a0.（2）由f(x)=3x2-a0在（-1，1）上恒成立.a3x2在x（-1，1）上恒成立.又-1x1,3x23,只需a3.当a=3时，f(x)=3(x2-1)在x(-1,1)上，f(x)0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，a3.故存在实数a3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.,探究提高利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0(或f(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f(x)在（a,b)上递增（或递减）的充要条件应是f(x)0或f(x)0,x(a,b)恒成立，且f(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f（x0）=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，,因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f(x)0或f(x)0恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f(x)不恒为0，则由f(x)0或f(x)0恒成立解出的参数的取值范围确定.,知能迁移1已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解f(x)=ex-a.(1)若a0，f(x)=ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增.若a0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+).,（2）f（x）在R内单调递增，f(x)0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex0，a0.（3）方法一由题意知ex-a0在（-，0上恒成立.aex在（-，0上恒成立.ex在（-，0上为增函数.x=0时，ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0，+）上恒成立.aex在0，+）上恒成立.a1，a=1.方法二由题意知，x=0为f(x)的极小值点.f(0)=0,即e0-a=0,a=1.,题型二函数的极值与导数【例2】设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.（1）函数的导函数在极值点处的函数值为0，列方程组求解.（2）极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定义判断.,思维启迪,解（1）f(x)=+2bx+1,函数定义域为（0，+），列表,x=1是f（x）的极小值点，x=2是f（x）的极大值点.此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利用这一关系（f(x)=0）建立字母系数的方程，通过解方程（组）确定字母系数，从而解决问题.,探究提高,题型三函数的最值与导数【例3】已知a为实数，且函数f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导函数f(x);(2)若f(-1)=0，求函数f(x)在-2，2上的最大值、最小值.先求函数的极值，然后再与端点值进行比较、确定最值.解（1）f(x)=x3-ax2-4x+4a,得f(x)=3x2-2ax-4.,思维启迪,（2）因为f(-1)=0,所以a=,有f(x)=x3-x2-4x+2,所以f(x)=3x2-x-4.又f(x)=0,所以x=或x=-1.又f=,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,所以f(x)在-2，2上的最大值、最小值分别为、.,探究提高在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时，要先求函数y=f（x）在a，b内所有使f（x）=0的点，再计算函数y=f（x）在区间内所有使f（x）=0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.,知能迁移2已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值.（1）讨论f(1）和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.解（1）f(x)=3ax2+2bx-3,依题意，3a+2b-3=03a-2b-3=0,f(1)=f(-1)=0,即,解得a=1,b=0.f（x）=x3-3x,f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).令f(x)=0,得x=-1,x=1.若x(-,-1)(1,+)，则f(x)0,故f(x)在（-,-1)上是增函数，f(x)在（1,+)上是增函数.若x(-1,1)，则f(x)0,故f(x)在（-1，1）上是减函数.所以f(-1)=2是极大值，f(1)=-2是极小值.,（2）曲线方程为y=x3-3x,点A（0，16）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=-3x0.因f(x0)=3(-1),故切线的方程为y-y0=3(-1)(x-x0),注意到点A（0，16）在切线上，有16-(x-3x0)=3(x-1)(0-x0),化简得x=-8,解得x0=-2.所以，切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0.,知能迁移3已知a为实数，函数f(x)=(x2+1)(x+a).若f(-1)=0，求函数y=f(x)在，1上的最大值和最小值.解f(x)=3x2+2ax+1,又f(-1)=0，3-2a+1=0，即a=2.f（x）=3x2+4x+1=3（x+）(x+1).由f(x)0，得x-1或x-；由f(x)0，得-1x-.,因此函数f(x)的单调递增区间为，-1，1，单调递减区间为-1，.f（x）在x=-1取得极大值为f(-1)=2;f(x)在x=取得极小值为f=又f=f(1）=6，且f(x)在,1上的最大值为f(1)=6,最小值为f=.,方法与技巧1.注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值（范围）时，隐含恒成立思想.2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小.3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.,思想方法感悟提高,失误与防范1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.3.要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意识.,定时检测,下课！同学们再见！,
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