华科信号与线性系统第4讲.ppt

信号与线性系统,第4讲教材位置:第3章连续信号的正交分解3.1-3.3内容概要:正交函数集与信号分解；傅里叶函数集与信号的傅里叶级数表示,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,2,开讲前言前讲回顾,连续线性时不变系统的时域求解响应的分解零输入响应零状态响应零输入响应对应齐次方程通解算子运算零状态响应通过信号分解求得激励函数表示为冲激函数的积分冲激响应的特解有标准的形式零状态响应通过激励函数与冲激响应卷积积分求得时间域求解复杂，仅仅反应系统时域特征变换域求解简化求解难度拓展系统分析的非时域范畴,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,3,开讲前言-本讲导入（3.1引言）,线性系统中对信号的分解有利于系统分析分解激励与初始条件对应零状态与零输入的响应分解激励为冲激函数的积分得到通行的零状态解法还有怎样的分解方式能带给我们分析系统的方便?简化计算引入更多的物理意义，便于对分析结果的物理解释数学上关于信号分解的描述矢量的分解：多维空间的位置，可以通过各个坐标值定位能够构成坐标空间的矢量要满足什么条件？函数是不是也可以分解到一个所谓的函数空间？具有分解价值的函数集如果能有建立函数空间的函数集，具有很好的物理解释的函数集是什么？这些促成我们需要来研究学习关于信号的正交分解,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,4,3.2正交函数集与信号分解,1、矢量的分量矢量的分量：在另外一个矢量方向的投影投影角度不同、与原矢量的差Ve不同垂直投影是误差最小的投影，所以分量一般用垂直投影表示C12表示两个矢量的接近程度，C121，两矢量夹角为0，两者重合（一致）C120，两矢量夹角为900，两者垂直（正交）,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,5,3.2正交函数集与信号分解,2、正交矢量空间空间可以由正交矢量来定义空间内的矢量可以通过分解到正交矢量方向的分量表示要能对空间内任一矢量唯一分解，需要正交矢量集具有完备性正交矢量集的数学定义集内不同矢量的点积为0归一化正交矢量集矢量的模等于1,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,6,3.2正交函数集与信号分解,3、函数分量与函数正交类比矢量的分析方法函数的分量表示不同C12取值，分量与原函数的误差不同使得误差最小的C12的计算,C120，相互之间不包括对方分量，两个函数正交。C12的分子等于0就是两个函数正交的条件。,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,7,3.2正交函数集与信号分解举例,例：,试用sint在区间（0，2）来近似f(t),1,t,0,-,1,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,8,3.2正交函数集与信号分解举例,解：,所以：,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,9,3.2正交函数集与信号分解,4、正交函数集n个函数g1(t),g2(t),gn(t)构成一函数集，如在区间(t1,t2)内满足正交特性，则此函数集称为正交函数集，任意函数可由n个正交函数的线性组合近似，要使近似结果误差最小，可证明各个分量系数应满足,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,10,3.2正交函数集与信号分解,在最小误差时候的误差能量为其中：归一化的正交函数应该满足积分归一化后,分解系数和误差能量表示为,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,11,3.2正交函数集与信号分解,5、复变函数的正交特性类比实变函数情况，只是乘积运算变成共轭函数的乘积分量的表示系数的表示正交条件的表示,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,12,3.2正交函数集与信号分解,6、完备正交信号集在一正交函数集gi(t)之外，再也找不到一个X(t)可以与集中任何一个函数正交，那么这组函数集就是完备的。数学定义为：,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,13,3.2正交函数集与信号分解,7、熟悉的正交函数集三角函数的正交性三角函数、复指数函数是完备的正交函数集,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,14,3.3信号表示为傅里叶级数,1、信号表示为三角傅里叶级数角频率满足一定规律的三角函数集，是正交函数集正弦信号作用于电路是我们熟悉的电路系统分析内容计算有规律、结果分析有现实意义，是我们变换域做法的宗旨根据三角傅里叶级数的形式，可以将周期信号在周期T内表示如下：,直流分量,基波分量n=1,谐波分量n1,谐波分量n1,基波分量n=1,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,15,3.3信号表示为傅里叶级数,三角傅里叶级数的系数直流分量系数直流分量与a0的关系余弦分量系数正弦分量系数N取值范围为0到的正整数,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,16,3.3信号表示为傅里叶级数,函数可分解为傅里叶级数的条件（狄利克雷条件）在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内只有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即一般周期信号都满足这些条件.,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,17,3.3信号表示为傅里叶级数,三角傅里叶级数的振幅相位表示方式余弦形式的振幅相位表示正弦形式的振幅相位表示,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,18,3.3信号表示为傅里叶级数,三种表达式系数关系余弦幅度相位表达式正弦幅度相位表达式,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,19,3.3信号表示为傅里叶级数,信号的三角傅里叶级数表示的误差作为完备正交三角函数集，它的谐波数量是无穷的；实际中利用三角傅里叶级数分析信号，只能取有限多次谐波项，这样的级数表示必然就会有误差如果取m次谐波以内的分量，误差就是被舍去的m次以上谐波的分量之和。误差一般用方均值来表示,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,20,3.3信号表示为傅里叶级数,周期方波的三角傅里叶级数分解,1,1,0,T/2,T,t,f(t),2020/5/14,信号与线性系统第4讲,21,3.3信号表示为傅里叶级数,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,22,3.3信号表示为傅里叶级数,2、信号表示为指数傅里叶级数（t1,t1+T）内，以对应T的角频率为基波频率，有正交指数函数集信号可以分解为指数傅里叶级数形式表示，分解系数为：分解后信号的表达式：,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,23,3.3信号表示为傅里叶级数,指数傅里叶级数与三角傅里叶级数的关系分析余弦形式的幅度相位表达式几个系数特征利用欧拉公式改写f(t)为指数表达式对比f(t)指数表达式,得到三角表达式系数An与指数表达式系数的关系关系式的意义三角级数有物理意义指数级数便于计算只考虑信号的频率特性计算，用指数系数便可,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,24,3.3信号表示为傅里叶级数,几点说明指数级数的负数项三角级数系数通过欧拉公式展开带来的数学表示没有具体物理意义（三角级数物理意义更直接）正交函数的范畴正交指数函数集中，n取值区间扩展到负数正交三角函数集中，n取值只能式整数范围函数可分解的区间正交傅里叶函数集构成的是以基波周期为周期的函数任意周期为T的函数，在（t1,t1+T）中分解为傅里叶正交函数表示，其结果可以拓展到全部函数定义范围,2020/5/14,信号与线性系统第4讲,25,本讲小结,函数分解与正交函数集矢量分解与正交矢量空间正交函数集的定义,正交函数集的完备性函数在正交函数集的分解复变正交函数集的定义三角、指数函数集构成正交函数集信号表示为傅立叶级数三角傅立叶级数，信号表示为三角傅立叶级数的分量表示信号可表示为傅立叶级数的条件指数傅立叶级数，复振幅系数，以及与三角级数系数的关系关于信号用傅立叶级数表示的几点说明物理意义、正交函数集的范畴、被表达函数的周期性,信号与线性系统,第4次课外作业教材习题:3.2、3.3、3.4、3.7,