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问题的提出,问题一：,一个小球自由落体,它在下落3秒时的速度是多少？,问题二：,周长为60cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角截去一个小正方形,然后把四边翻转90o角,再焊接而成.水箱底边多长时,水箱容积最大？最大容积是多少？,第三章变化率与导数,在报纸或电视节目中,我们有时会得到这样的信息:,这种新研制的战斗机最大飞行高度18000米,最大冲刺速度1480千米/时.,据某气象台报道,某市在20日凌晨12时降雨强度达72毫米/时;有的地方瞬间降雨强度达99毫米/时,被称作“白雨”(眼睛已看不清景物).,“冲刺速度”“降雨强度”刻画的是飞行的路程和降雨量瞬时变化的情况,都是数学中导数概念的原型.,导数是数学中最重要的概念之一,它在日常生活和科学研究中有广泛的应用.,M,x=x2-x1,y,如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x1,y1)是曲线C上的任意一点,Q(x2,y2)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的倾斜角.,1变化的快慢与变化率,一、平均变化率,记:,自变量的改变量,x,y=y2-y1,函数值的改变量,用它来刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢.,平均变化率,P,切线,T,请看：当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,x,y,当x0时,PQPT,某一常数,切线的斜率,1.切线：当点Q沿着曲线无限接近点P,即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,2.切线的斜率：设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,3.如何求曲线上一点的切线的斜率：,（1）求y；,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;,指出了切线斜率的本质函数平均变化率的极限；,说明切线是割线的极限位置,切线的斜率是一个极限.,二、瞬时变化率,(瞬时变化率),例1.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线的斜率、切线方程.,解：,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,例2.曲线y=x3在x=0处的切线是否存在？若存在,求出切线的斜率和切线方程,若不存在,请说明理由.,解：,(1)y=f(0+x)-f(0)=(x)3,因此,切线方程为y=0.,注意：曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,问：曲线在点x0处一定有切线吗？,4.曲线在点x0处的切线有以下几种情形：,说明曲线在x0处有切线,且切线的斜率是k.,说明曲线在x0处有切线,但切线的斜率不存在.,说明曲线在x0处没有切线.,练习1.判断曲线y=2x2在点P(1,2)处是否有切线,如果有,求出切线方程.,4x-y-2=0,第3秒,第3+t秒,三、瞬时速度,当t0时,常数29.4,平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.,1.平均速度：设物体的运动规律是ss(t),则物体在t到t+t这段时间内的平均速度为,3.求瞬时速度一般可以分为三步：,（1）求s；,2.物体在时刻t的瞬时速度:物体在t到t+t这段时间内,当t0时的平均速度的极限；,解:,(1)将t=0.1代入上式,得:,从而平均速度的极限是,即物体在t=2(s)时的瞬时速度是20m/s.,练习2.P56/2.,小结,2.曲线在点P(x0,y0)处切线的斜率:,2.瞬时速度:,二、曲线的切线,三、速度,一、函数的变化率,1.函数y=f(x)的平均变化率是:,2.函数y=f(x)的的瞬时变化率是:,1.割线的斜率:,1.平均速度:,
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