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第一章导数及其应用,1.1.1函数的平均变化率,假设下图是一座山的剖面示意图,并建立如图所示平面直角坐标系A是出发点,H是山顶爬山路线用函数yf(x)表示,自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点A的坐标为(x0,y0),点B的坐标为(x1,y1),问题1:若旅游者从点A爬到点B,且这段山路是平直的,自变量x和函数值y的改变量分别是多少?自变量x的改变量为x1x0,记作x,函数值的改变量为y1y0,记作y.,问题2:怎样用数量刻画山路的陡峭程度呢?,此人从点A爬到点B的位移可以用向量来表示,,假设向量对x轴的倾斜角为,直线AB的斜率为k,容易看出,问题3:能否刻画山路陡峭程度呢?,因表示A、B两点所在直线的斜率k,显然,“线段”所在直线的斜率的绝对值越大,山坡越陡这就是说,竖直位移与水平位移之比的绝对值越大,山坡越陡,反之,山坡越缓,现在摆在我们面前的问题是:山路是弯曲的,怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢?,一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段,每一小段的山坡可视为平直的。例如,山坡DE可近似的看作线段DE,再用对平直山坡AB分析的方法,得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。,注意:各小段的是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡,高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来度量。由此我们引出函数平均变化率的概念。,平均变化率的概念:,一般地,已知函数y=f(x),x0,x1是其定义域内不同的两点,记x=x1x0,y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0).,则当x0时,商称作函数y=f(x)在区间x0,x0+x(或x0+x,x0)的平均变化率。,概念理解,(1)x0,x1是定义域内不同的两点,因此x0,但x可正也可负;而yf(x1)f(x0)为相应xx1x0的改变量,因此y的值可正可负,也可为零所以,平均变化率可正可负,也可为零,(2)函数f(x)在点x0处的平均变化率与自变量的增量x有关,与x0也有关,(3)函数平均变化率的几何意义:函数图象上两点连线的斜率.,求函数平均变化率的步骤,求函数y=f(x)在x0附近的平均变化率(1)确定自变量改变量x(2)求函数改变量y(3)求平均变化率,例1求函数y=x2在区间x0,x0+x(或x0+x,x0)的平均变化率。,解:函数y=x2在区间x0,x0+x(或x0+x,x0)的平均变化率为,探究一:计算函数f(x)x2在区间1,1+x(x0)的平均变化率,其中x的值为:(1)2;(2)1;(3)0.1;(4)0.01.思考:当x越来越小时,函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势?,探究二:求函数f(x)x2在x0=1,2,3附近的平均变化率,取x的值为2,哪一点附近的平均变化率最大?思考:当x0越来越大时,函数f(x)在x0附近的平均变化率有怎样的变化趋势?,由上式可以看出,当x0取定值时,x取不同的值,函数的平均变化率不同,当x取定值,x0取不同的值时,该函数的平均变化率也不一样。例如,x0取正值,并不断增大时,该函数的平均变化率也不断地增大,曲线变得越来越陡峭。,例2求函数在区间x0,x0+x(或x0+x,x0)的平均变化率(x00,且x0+x0).,解:函数的平均变化率为,1已知函数yf(x)x21,则在x2,x0.1时,y的值为()A0.40B0.41C0.43D0.44解析:yf(2x)f(2)f(2.1)f(2)2.12220.41.答案:B,课堂练习,课堂练习,2已知函数f(x)=x2+x的图象上的一点A(1,2)及临近一点B(1+x,2+y),则,小结:,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:(1)确定自变量改变量x(2)求函数改变量y(3)求平均变化率,
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