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抛物线及其标准方程,M,F,l,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线,|MF|=d,d为M到l的距离,准线,焦点,d,一、抛物线的定义:,1.建立坐标系,2.设动点坐标,3.列等式代坐标,4.化简,整理,l,解：建立直角坐标系xoy.,两边平方,整理得,M(x,y),F,依题意得,5.证明（略）,这就是所求的轨迹方程.,二、标准方程的推导,三、标准方程,把方程y2=2px(p0)叫做抛物线的标准方程.其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.,且p的几何意义是:焦点到准线的距离,焦点坐标是,准线方程为,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.,四种抛物线的标准方程对比,第一:一次项的变量如为x(或y),则x轴(或y轴)为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上.,第二:一次项的系数的正负决定了开口方向.,左”-”,右“+”，上“+”，下“-”,第三：根据标准方程的知识,我们可以确定抛物线的焦点位置及准线方程.,抛物线方程,左右型,标准方程为y2=+2px(p0),开口向右:y2=2px(x0),开口向左:y2=-2px(x0),标准方程为x2=+2py(p0),开口向上:x2=2py(y0),开口向下:x2=-2py(y0),抛物线的标准方程,上下型,例1(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程;,(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.,解:(1)因为p=3，所以焦点坐标是,准线方程是,例2.求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程.,解:(1)当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A(-3,2)代入x2=2py，得p=,(2)当焦点在x轴的负半轴上时，把A(-3,2)代入y2=-2px，得p=,抛物线的标准方程为x2=y或y2=x。,1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程是x=；,（3）焦点到准线的距离是2。,y2=12x,y2=x,y2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y,课堂练习：,（5，0）,x=-5,（0，-2）,y=2,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）y2=20 x（2）y=x（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0,2,注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式,1.抛物线的定义:抛物线的定义反映了抛物线的本质，灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易，且思路清晰，解法简捷.,2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:要抓住标准方程的特点,注意与焦点位置,开口方向的对应关系;,准线方程,焦点坐标,标准方程,焦点位置,图形,3.不同位置的抛物线,x轴的正方向,x轴的负方向,y轴的正方向,y轴的负方向,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,F(-,-,-,-,
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