资源描述
1.3.2奇偶性第一课时函数奇偶性的定义与判定,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,【情境导学】导入函数f(x)=x2-1,f(x)=-,f(x)=2x的图象分别如图所示.,想一想1:(1)导入中三个函数的定义域分别是什么?它们有什么共同特点?,(R;(-,0)(0,+);R.关于原点对称),(2)对于导入中的三个函数计算f(-x),观察对定义域内每个x,f(-x)与f(x)有怎样的关系?,(f(-x)=x2-1,f(-x)=f(x).f(-x)=,f(-x)=-f(x).f(-x)=-2x,f(-x)=-f(x),想一想2:导入中的三个函数的图象具有怎样的对称性?,(图象关于y轴对称;图象关于原点对称),知识探究,奇函数、偶函数的定义(1)偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内一个x,都有,那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内一个x,都有,那么函数f(x)就叫做奇函数.探究1:若函数具有奇偶性,则它的定义域有何特点?答案:定义域关于原点对称.,任意,f(-x)=f(x),任意,f(-x)=-f(x),探究2:若函数y=f(x)是奇函数,且点(a,f(a)是y=f(x)图象上一点,点(-a,-f(a)是否在函数图象上?答案:由f(-a)=-f(a)知点(-a,-f(a)一定在函数y=f(x)图象上.,【拓展延伸】判断函数奇偶性的方法(1)判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域关于原点对称,再判断f(-x)是否等于f(x),或判断f(x)f(-x)是否等于零,或判断f(-x)0是否等于1.图象法:通过函数的图象可直观地看出函数的奇偶性.,性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数;两个奇函数的商(分母不为零)为偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.对于复合函数F(x)=f(g(x):若g(x)为偶函数,f(x)为偶函数,则F(x)为偶函数;若g(x)为奇函数,f(x)为奇函数,则F(x)为奇函数;若g(x)为偶函数,f(x)为奇函数,则F(x)为偶函数;若g(x)为奇函数,f(x)为偶函数,则F(x)为偶函数.,注意:利用上述结论时要注意各函数的定义域必须关于原点对称.(2)用定义判断函数奇偶性的步骤:定义域(关于原点对称)验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)下结论.(3)判断分段函数奇偶性的步骤:先看分段函数的定义域(各段自变量范围的并集)是否关于原点对称.根据奇偶性定义,要判断f(-x)与f(x)的关系,需求出f(-x),因此要判断-x的取值范围,所以要根据x0与x0时,f(-x)要用-x0的解析式.奇函数的定义要求是对定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),此处对x分x0与x0已讨论完毕.,自我检测,1.(偶函数定义)已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,3a上的偶函数,那么a+b的值是(),C,2.(奇函数定义)已知f(x)=x3+2x,则f(a)+f(-a)的值是()(A)0(B)-1(C)1(D)2,A,3.(偶函数定义)f(x)为定义在R上的偶函数,若f(2)=3,则f(-2)等于()(A)-3(B)-2(C)3(D)2,C,4.(判断奇偶性)若函数f(x)=则f(x)为()(A)偶函数(B)奇函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数又不是偶函数,5.(由奇偶性求参数)若函数f(x)=+k是奇函数,则k等于.,B,答案:0,题型一,函数奇偶性的判定,课堂探究素养提升,规范解答:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.1分又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),2分因此函数f(x)是奇函数.3分,【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3+x;,规范解答:(2)由得x2=1,即x=1.因此函数的定义域为-1,1,关于原点对称.4分又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.6分,(3)函数f(x)的定义域是(-,-1)(-1,+),7分不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.9分,方法技巧判断函数奇偶性的方法(1)函数图象法.(2)定义法:求函数f(x)的定义域;判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步;结合函数f(x)的定义域,化简函数f(x)的解析式;求f(-x);根据f(-x)与f(x)之间的关系,判断函数f(x)的奇偶性:奇函数,偶函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数;其中既奇又偶函数的表达式是f(x)=0,xA,A是关于原点对称的非空数集.,解:(1)因为对于任意的xR,都有f(-x)=(-x)4-1=x4-1=f(x),所以函数f(x)=x4-1是偶函数.,解:(3)函数f(x)=2|x|的定义域是R.因为对于任意的xR,都有f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),所以函数f(x)=2|x|是偶函数.(4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R.因为f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2f(x)且f(-x)-f(x).所以函数f(x)是非奇非偶函数.,(3)f(x)=2|x|;(4)f(x)=(x-1)2.,题型二,函数奇偶性的图象特征,【例2】已知奇函数f(x)的定义域为-5,5,且在区间0,5上的图象如图所示.(1)画出在区间-5,0上的图象;,(2)写出使f(x)0的解集是(0,2),故选D.,题型三,利用函数奇偶性求参数,【例3】(1)设函数f(x)=为奇函数,则a=;,答案:(1)-1,(2)已知函数f(x)=是奇函数,则a=.,解析:(2)(特值法)由f(x)为奇函数,得f(-1)=-f(1),即a(-1)2+(-1)=-(-12+1),整理得a-1=0,解得a=1.答案:(2)1,变式探究:是否存在实数a使函数f(x)=为偶函数,说明理由.,误区警示由函数的奇偶性求参数应注意两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.,【备用例3】已知函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,且其定义域为m-1,2m.(1)求m,n的值.,解:(1)因为函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,所以函数的定义域关于原点对称.又因为函数f(x)的定义域为m-1,2m.所以m-1+2m=0,解得m=.又因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=mx2-nx+3m+n=f(x)=mx2+nx+3m+n,解得n=0.,(2)求函数f(x)在其定义域上的最大值.,题型四易错辨析奇偶性判断错误致误,【例4】判断函数f(x)=(x-1)的奇偶性.,纠错:忽视了函数f(x)的定义域,盲目化简变形,误认为定义域为-1,1,扩大了x的取值范围.,正解:函数f(x)的定义域为-1,1),不关于原点对称,故函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数.,谢谢观赏！,
展开阅读全文