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第1课时三角函数的定义,一,二,三,思维辨析,一、三角函数的定义问题思考1.填空:在直角坐标系中,称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.,一,二,三,思维辨析,2.如图,如果一个锐角的终边与单位圆的交点是P(x,y),根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义,你能否用点P的坐标表示sin,cos,tan?这一结论能否推广到是任意角时的情形呢?,一,二,三,思维辨析,3.填空:如图,是任意角,以的顶点O为坐标原点,以的始边为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系.设P(x,y)是的终边与单位圆的交点.(1)y叫做的正弦,记作sin,即sin=y;(2)x叫做的余弦,记作cos,即cos=x;,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.,一,二,三,思维辨析,一,二,三,思维辨析,5.如果在角的终边上有一点M(3,4),那么如何求角的三个三角函数值?,7.如果角的终边落在y轴上,这时其终边与单位圆的交点坐标是什么?sin,cos,tan的值是否还存在?提示终边与单位圆的交点坐标是(0,1)或(0,-1),这时tan的值不存在,因为分母不能为零,但sin,cos的值仍然存在.,一,二,三,思维辨析,8.填空:三角函数的定义域如下表所示.,一,二,三,思维辨析,二、三角函数值的符号问题思考1.根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位圆上点的坐标表示的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三角函数值的正负就不同,你能推导出sin,cos,tan在不同象限内的符号吗?提示当在第一象限时,sin0,cos0,tan0;当在第二象限时,sin0,cos0;当在第四象限时,sin0,tan0,cos40.()(2)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应.()(3)sin,cos,tan的值与点P(x,y)在角终边上的位置无关.()(4)不存在角,使得sin0,cos0,tan0.()(5)若sin=sin,则必有=.()(6)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化.()(7)若是第二象限角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos=.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7),探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用三角函数的定义求三角函数值【例1】求解下列各题:,分析(1)先求出x的值,再计算;(2)利用三角函数的定义的推广求解;(3)先在终边上取点,再利用定义求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,三角函数值的符号判断【例2】(1)若sintan0,tan0,则点P(sin,tan)在第四象限.答案D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,诱导公式一的应用【例3】求下列各式的值:(1)a2sin(-1350)+b2tan405-(a-b)2tan765-2abcos(-1080);,分析将角转化为k360+或2k+的形式,利用公式一求值,注意熟记特殊角的三角函数值.解(1)原式=a2sin(-4360+90)+b2tan(360+45)-(a-b)2tan(2360+45)-2abcos(-3360)=a2sin90+b2tan45-(a-b)2tan45-2abcos0=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,诱导公式一的应用策略:(1)诱导公式一可以统一写成f(k360+)=f()或f(k2+)=f()(kZ)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为02角的三角函数值,即可把负角的三角函数转化为0到2间的三角函数,亦可把大于2的角的三角函数转化为0到2间的三角函数,即把角实现大化小,负化正的转化.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2求下列三角函数值:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽视对参数的分类讨论致误【典例】角的终边过点P(-3a,4a),a0,则cos=.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,在利用三角函数的定义解决问题时,如果终边上一点的坐标中含有参数,那么要注意对其进行分类讨论,以免丢解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练已知角的终边在直线y=x上,则sin=.解析易知角的终边在第一象限或第三象限,当角的终边在第一象限时,在角的终边上取一点P(1,1),1,2,3,4,5,答案D,1,2,3,4,5,2.若tansin20,则角在()A.第一象限B.第二象限C.第二象限或第四象限D.第二象限或第三象限解析因为tansin20,所以tan0,于是角在第二象限或第四象限.答案C,1,2,3,4,5,答案A,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.判断下列各式的符号:(1)tan120sin269;,解(1)120是第二象限角,tan1200.,
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