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1.2.2同角三角函数的基本关系,同角三角函数基本关系问题思考1.填写下表,你能从中发现同一个角的三角函数值之间有什么关系?,2.填空:同角的三角函数基本关系(1)平方关系:同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2+cos2=1.,3.做一做:(1)sin22019+cos22019=()A.0B.1C.2019D.2019(2)若sin+cos=0,则tan=.解析(1)由平方关系知sin22019+cos22019=1.,答案(1)B(2)-14.已知sin(cos)的值,能否求出cos(sin),tan的值?已知sincos的值,怎样求出sincos的值?提示利用两种关系式的变形可以解决上述问题.,5.填空:同角三角函数基本关系式的变形(1)平方关系sin2+cos2=1的变形sin2=1-cos2;cos2=1-sin2;1=sin2+cos2;(sin+cos)2=1+2sincos;(sin-cos)2=1-2sincos.,sin=tancos;,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.,答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8),探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,利用同角三角函数关系求值角度1已知某个三角函数值,求其余三角函数值,分析已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号,然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值,再利用商数关系求解该角的正切值即可.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限;第二步:依据角的终边所在象限分类讨论;第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,角度2已知tan,求关于sin和cos齐次式的值【例2】已知tan=2,则,分析在这里,注意到所求式子都是关于sin、cos的分式齐次式(或可化为分式齐次式),将其分子、分母同除以cos的整数次幂,就把所求值的式子用tan表示,将tan=2整体代入,就能快速求其值.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,解析(1)注意到分式的分子和分母均是关于sin,cos的一次齐次式,可将分子分母同除以cos(cos0),然后整体代入tan=2的值.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,已知tan,求关于sin和cos齐次式的值的基本方法已知角的正切值,求由sin和cos构成的齐次式(次数相同).,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,角度3利用sin+cos,sin-cos与sincos三者之间的关系求值,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,1.由(sin+cos)2=1+2sincos,(sin-cos)2=1-2sincos可知如果已知sin+cos,sin-cos,sincos三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,2.sincos的符号的判定方法:(1)sin-cos的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当的终边落在直线y=x上时,sin=cos,即sin-cos=0;当的终边落在直线y=x的上半平面区域内时,sincos,即sin-cos0;当的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sin-cos,即sin+cos0;当的终边落在直线y=-x的下半平面区域内时,sin-cos,即sin+cos0.如图所示.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,利用同角三角函数关系化简【例4】化简下列各式:,分析(1)对分子利用诱导公式一化简,对分母利用平方关系的变形化简;(2)先对被开方式通分化简,再化简根式.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,三角函数式的化简过程中常用的方法(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2+cos2=1,以降低函数次数,达到化简的目的.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,(3)原式=(cos2+sin2)(cos4-cos2sin2+sin4)+3sin2cos2=cos4+2sin2cos2+sin4=(sin2+cos2)2=1.因为180270,所以sin0,cos0,因此解是唯一的.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,在利用sincos,sincos之间的关系解题时,往往易忽略角的取值范围造成增根或丢根,在已知sincos的值求sin+cos或sin-cos的值时,需开方,因此要由角的范围确定取“+”还是“-”.,1,2,3,4,5,答案B,1,2,3,4,5,答案C,1,2,3,4,5,答案C,1,2,3,4,5,答案sin,1,2,3,4,5,5.求证:2(1-sin)(1+cos)=(1-sin+cos)2.证法一左边=2-2sin+2cos-2sincos=1+sin2+cos2-2sincos+2(cos-sin)=1+2(cos-sin)+(cos-sin)2=(1-sin+cos)2=右边.所以原式成立.证法二左边=2-2sin+2cos-2sincos,右边=1+sin2+cos2-2sin+2cos-2sincos=2-2sin+2cos-2sincos.故左边=右边.所以原式成立.证法三令1-sin=x,cos=y,则(x-1)2+y2=1,即x2+y2=2x.故左边=2x(1+y)=2x+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2=右边.所以原式成立.,
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