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章末复习,第二章推理与证明,学习目标1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系，会利用归纳与类比推理进行简单的推理.2.加深对直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.合情推理(1)归纳推理：由到、由到的推理.(2)类比推理：由到的推理.(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.,部分,个别,一般,特殊,特殊,整体,2.演绎推理(1)演绎推理：由到的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：已知的一般原理.所研究的特殊情况.根据一般原理，对特殊情况作出的判断.,一般,特殊,大前提,小前提,结论,3.直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是和.是从已知条件推出结论的证明方法.是从结论追溯到条件的证明方法.(2)间接证明的一种方法是，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.,综合法,分析法,综合法,分析法,反证法,1.归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()2.“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.()3.综合法是直接证明，分析法是间接证明.()4.反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.(),思考辨析判断正误,题型探究,例1(1)有一个奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含两个数3,5；第三组含三个数7,9,11；第四组含四个数13,15,17,19；，试观察每组内各数之和并猜想f(n)(nN)与组的编号数n的关系式为_.,类型一合情推理的应用,f(n)n3,答案,解析,解析由于113，35823，79112733，131517196443，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)n3.,把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.,解答,(2)在平面几何中，对于RtABC，ACBC，设ABc，ACb，BCa，则a2b2c2；cos2Acos2B1；,解选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.,设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为，则cos2cos2cos21.,下面对的猜想进行证明.如图在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC，平面ABD，平面ACD为三个两两垂直的侧面.设ABa，ACb，ADc，,即所证猜想为真命题.,反思与感悟(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法.(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性.,跟踪训练1如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成.,通过观察可以发现：第4个图形中有_根火柴棒；第n个图形中有_根火柴棒.,13,3n1,解析设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a413.通过观察得到递推关系式anan13(n2，nN)，所以an3n1.,答案,解析,类型二综合法与分析法,证明,证明分析法,(0，)，sin0，,1cos0，4cos(1cos)1，可变形为4cos24cos10，只需证(2cos1)20，显然成立.,综合法,(0，)，sin0，,反思与感悟分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.,证明,证明(综合法)因为a0，b0，ab1，,(分析法)因为a0，b0，ab1，,类型三反证法,解答,例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；,解当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，,证明,(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,证明假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN)，,又因为p0，所以1x2y且1y2x，两式相加，得2xy2x2y，所以xy2.这与已知xy2矛盾.,达标检测,1,2,3,4,1.观察按下列顺序排序的等式：9011,91211,92321,93431，猜想第n(nN)个等式应为A.9(n1)n10n9B.9(n1)n10n9C.9n(n1)10n1D.9(n1)(n1)10n10,答案,解析,5,解析由已知中的式子，我们观察后分析：等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，等式右边是一个等差数列.根据已知可以推断：第n(nN)个等式为9(n1)n10n9.故选B.,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,解析,5,1,2,3,4,5,3.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是A.方程x3axb0没有实根B.方程x3axb0至多有一个实数C.方程x3axb0至多有两个实根D.方程x3axb0恰好有两个实根,答案,1,2,3,4,5,解析方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故选A.,解析,解析,1,2,3,4,答案,4.若a0，b0，则有,5,1,2,3,4,5.已知等差数列an的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S18，S220，S336，S465，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为_.,S456,解析显然S1是正确的.假设后三个数均未算错，则a18，a212，a316，a429，这四项不成等差数列，但可知前三项成等差数列，故a4有误，应为20，故S4算错了，S4应为56.,解析,答案,5,规律与方法,1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.,3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用.间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.,本课结束,
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