资源描述
第一章,计数原理,11分类加法计数原理与分步乘法计数原理,第2课时两个基本原理的应用,自主预习学案,2015年8月，世界田径锦标赛在北京举行，这是体坛的一大盛事一名志愿者从广州赶赴北京为游客提供导游服务，但需在武昌停留，已知从广州到武昌每天有7个航班，从武昌到北京每天有6列火车请思考：该志愿者从广州到北京需要经历几个步骤？完成每一步各有几种方法？该志愿者从广州到北京共有多少种不同的方法？,1用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析需要分类还是需要分步应用_原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；应用_原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成,加法,乘法,2分类要做到_，分类后再分别对每一类进行计数，最后用_求和，得到总数3分步要做到_，步与步之间要_，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数,不重不漏,分类加法计数原理,步骤完整,相互独立,1在2、3、5、7、11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为()A20B10C5D24解析假分数的分子不小于分母故以2为分母的有4个；以3为分母的有3个；以5为分母的有2个；以7为分母的只有1个由加法原理知共有432110个,B,2图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，从中任取一本书，共有不同的取法()A120种B16种C64种D39种解析由分类加法计数原理知，共有不同取法35816种,B,3已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40B16C13D10解析分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面故可以确定8513个不同的平面,C,4一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有()A6种B8种C36种D48种,D,解析由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有64248种不同的参观路线,互动探究学案,命题方向1两个计数原理在排数中的应用,从0,1,2,3,4,5这六个数字中取四个数字组成一个四位数，问：(1)能组成多少个四位数？(2)能被5整除的四位数有多少个？思路分析(1)要完成的一件事是组成四位数，所以首位数字不能是0；(2)要使所组成的四位数能被5整除，则末位数字必须是0和5中的一个,典例1,解析(1)第1步，千位上的数不能取0，只能取1,2,3,4,5，有5种选择；第2步，由于千位取了一个数，还剩下5个数供百位取，所以有5种选择；第3步，由于千位、百位分别取了一个数，还剩下4个数供十位取，所以有4种选择；第4步，由于千位、百位、十位分别取了一个数，还剩下3个数供个位取，所以有3种选择根据分步乘法计数原理，组成的四位数共有5543300(个),(2)因为满足要求的四位数能被5整除，所以个位上的数字只能是0或5第1类，当个位上的数字为0时，依次取千位、百位、十位上的数字，分别有5种选择、4种选择、3种选择，所以有54360个满足要求的四位数；第2类，当个位数字为5时，依次取千位、百位、十位上的数字，分别有4种选择、4种选择、3种选择，所以有44348个满足要求的四位数根据分类加法计数原理，能被5整除的四位数共有6048108(个),规律总结排数问题实际就是分步问题，需要用分步乘法计数原理解决在有附加条件时，可能需要进行分类讨论，即在解决相关的排数问题时，要注意两个原理的综合应用,跟踪练习1用0,1,2,3，9十个数字可组成不同的：(1)三位数_个；(2)无重复数字的三位数_个；(3)小于500且无重复数字的三位奇数_个解析(1)由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有91010900(个)(2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有998648个无重复数字的三位数,900,648,144,(3)小于500的无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：首位只能从1,2,3,4中选，个位必须为奇数，按首位分两类：第一类，首位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，共有(48)264种第二类，首位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，共有(58)280种，由分类加法计数原理知，共有6480144种,命题方向2平面区域问题,用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？思路分析由于要求相邻(有公共边)的区域不同色，所以可按“1号区域与4号区域同色”和“1号区域与4号区域不同色”两种情况分类，然后根据两个原理分别求解.,典例2,解析第一类：1号区域与4号区域同色，此时可分三步来完成，第一步，先涂1号区域和4号区域，有5种涂法，第二步，再涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有4种涂法；第三步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有4种涂法，由分步乘法计数原理知，有54480种涂法；第二类：1号区域与4号区域不同色，此时可分四步来完成，第一步，先涂1号区域，有5种涂法，第二步，再涂4号区域，只要不与1号区域同色即可，因此有4种涂法；第三步，涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有3种涂法；第四步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有3种涂法由分步乘法计数原理知，有5433180种涂法依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法种数为80180260,规律总结这是一个有限制条件的计数问题，解决方法是：特殊位置、特殊元素优先安排的原则本题是先分类再分步，而分类的标准是两个特殊位置，这样，在分类时才能做到“不重不漏”,42,72,解析(1)只满足相邻实验田种植不同作物，则从左往右5块试验田分别有3,2,2,2,2种种植方法，共3222248种方法，而5块试验田只种植了2种作物共有3211116种，所以不同的种植方法有48642种(2)当使用四种颜色时，先着色第1区域，有4种方法，剩下3种颜色涂其他四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有32212种，由分步乘法计数原理得，共有41248种当使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色第1区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法由分步乘法计数原理得有43224种综上共有482472种,命题方向3抽取(分配)问题,高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A16种B18种C37种D48种思路分析解决此类问题可以用直接法先分类再分步，也可用排除法解析若不考虑限制条件，每个班级，都有4种选择共有44464种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择共有33327种方法，则符合条件的有642737种,典例3,C,规律总结解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象的数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法(2)当涉及对象的数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行间接法去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有符合条件的抽取方法数即可,跟踪练习33个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种不同的方法？解析把3个不同的小球分别放入5个不同的盒子里(每个盒子至多放一个球)实际上是从5个位置选3个位置用3个元素进行排列共有60种结果,已知集合Aa1，a2，a3，a4，集合Bb1，b2，其中aibj(i1,2,3,4，j1,2)均为实数(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合A为定义域，以集合B为值域的不同函数思路分析(1)由映射的定义可知，集合A中的每一个元素总对应着B中唯一的元素；(2)依题意，集合B中的每一个元素在集合A中要有对应元素，因此只要从问题(1)的映射数中减去A中四个元素对应B中一个元素的情况即可得到(2)的解,元素重复的计数问题,典例4,解析(1)因为集合A中的每个元素ai(i1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，得构成AB的映射有22222416(个)(2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一个元素b1或b2的情形构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有16214(个),规律总结通过阅统计分析，造成失分的原因如下：(1)混淆分类加法计数原理和分步乘法计数原理而至错；(2)利用分步乘法计数原理时列式24误列为42而致错；(3)对函数概念的理解不清而致错,跟踪练习4将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A12种B18种C24种D36种解析第一步先排好一列，由于每列字母不同，则只能是a，b，c，共6种排列，第二步根据排好的一列进行排列，假设第一列是a，b，c，第二列只能是b，c，a或c，a，b两种，共有6212种排列,A,有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？错解每次升一面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成326种不同信号；每次升3面旗可组成3216种不同的信号，根据分类加法计数原理知，共有不同信号36615种辨析每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同,分类计数时考虑不全致误,典例5,正解每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成339种不同的信号；每次升3面旗可组成33327种不同的信号根据分类加法计数原理得，共可组成：392739种不同的信号点评审题时要细致，把题意弄清楚本题中没有规定升起旗子的颜色不同，故既要考虑升起旗子的面数，又要考虑其颜色，不可偏废遗漏,跟踪练习5三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是_解析另两边长用x，y表示，且不妨设1xy11，要构成三角形，必须xy12.当y取11时，x可取1,2,3，11，有11个三角形；当y取10时，x可取2,3，10，有9个三角形；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形所求三角形的个数为119753136,36,1把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有()A4种B5种C6种D7种解析分类考虑，若最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法；若最少一堆是2个，则由3544知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个，故共有分法1214种,A,2如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同涂色方法种数为()A24种B48种C72种D96种,C,解析解法一：分两种情况：(1)A、C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B、D有1种，由分步乘法计数原理知有43224种(2)A、C同色，先涂A有4种，E有3种，E有2种，B、D各有2种，由分步乘法计数原理知有432248种由分类加法计数原理知，共有72种，故选C解法二：先涂A，有4种涂法，再涂B、D，若B与D同色，则B有3种，E有2种，C有2种，共有432248种；若B与D不同色，则B有3种，D有2种，E有1种，C有1种，共有4321124种，由分类加法计数原理知，共有不同涂法482472种,3有三只口袋装有小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？解析分为三类：一类是取白球、黑球，有5630种取法；一类是取白球、红球，有5735种取法；一类是取黑球、红球，有6742种取法共有取法：303542107(种),
展开阅读全文