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第一章空间几何体,本章概览一、地位作用本章充分注意到对学生数学思维能力的培养,在本章,学生将从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形,了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法,在历年高考中,突出了对空间想象能力的考查.二、内容要求1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.会用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图.,3.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).三、核心素养本章从具体实物入手,加强从实物模型到图形,再由图形到实物的训练,提高学生画图、识图和解释图的水平,帮助学生逐渐形成空间想象能力,有序建立图形、文字、符号语言表示的联系,帮助学生达成直观想象、逻辑推理等数学核心素养.,1.1空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征1.1.2简单组合体的结构特征,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入情境导学,知识探究,1.空间几何体的分类,平面多边形,它所在平面内,封闭几何体,多边形,公共边,棱与棱,定直线,2.柱体的结构特征,平行,四边形,平行,两个互相平行,其余各面,公共,边,公共顶点,ABCD-,ABCD,矩形的一边,轴,垂直于轴,平行于轴,母线,柱体,圆柱OO,3.锥体的结构特征,多边形,三角形,多边形面,三角形面,公共顶点,公共边,S-ABCD,一条直角边,锥体,圆锥SO,探究1:根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形;(2)由五个面围成,其中一个面是正方形,其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形.答案:(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形,可满足每相邻两个面的公共边都相互平行,故该几何体是六棱柱.(2)该几何体的其中一个面是四边形,其余各面都是三角形,并且这些三角形有一个公共顶点,因此该几何体是四棱锥.,4.台体的结构特征,平行于棱锥底面,底面,截面,ABCD-,ABCD,平行于圆锥底面,截面,圆台,圆台OO,5.球的结构特征,直径,球体,球,球心,半径,直径,球O,6.简单组合体的结构特征(1)简单组合体:由组合而成的几何体叫做简单组合体.(2)简单组合体的构成有两种基本形式:由简单几何体而成;由简单几何体一部分而成.,简单几何体,拼接,截去或挖去,探究2:如图所示,将一个直角三角形绕其一边旋转,得到的几何体是什么?答案:如图所示.绕任一直角边旋转,都将得到一个圆锥,但是底面半径不同,分别是BC,AB,母线长都是斜边AC.绕其斜边AC旋转,得到的是一个组合体,由两个同底面的圆锥组成.,拓展延伸:特殊棱柱棱锥、棱台的结构特征(1)特殊棱柱侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱;底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体,底面是矩形的直平行六面体是长方体,棱长都相等的长方体是正方体.(2)特殊棱锥如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形;等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高,正棱锥是一种特殊棱锥,判断一棱锥是正棱锥必须满足下面两个条件:一是底面是正多边形,二是底面水平放置时,它的顶点与底面正多边形的中心都在铅垂线上.这也是掌握正棱锥定义的两个要点.(3)特殊棱台得的棱台叫做正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高.,自我检测,1.(简单几何体的结构特征)下列几何体是棱柱的有()(A)5个(B)4个(C)3个(D)2个,D,2.(多面体的结构特征)下列四个命题中,正确的有()棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面;各个面都是三角形的几何体是三棱锥;有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;四棱锥有4个顶点.(A)0个(B)1个(C)3个(D)4个,A,3.(简单组合体的结构特征)如图是由哪个平面图形旋转得到的(),D,4.(旋转体的结构特征)下列命题中正确的是()在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;圆柱的任意两条母线相互平行.(A)(B)(C)(D),D,5.(棱锥的结构特征)如果一个棱锥的侧面都是正三角形,则该棱锥最多是棱锥.,答案:五,6.(组合体的结构特征)如图,长方体ABCD-ABCD被截去一部分,其中EHAD,则剩下的几何体是,截去的几何体是.,答案:五棱柱三棱柱,题型一,简单几何体的结构特征,【思考】1.有两个面互相平行,其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗?,课堂探究素养提升,提示:不一定.如图所示的几何体中,平面ABC与平面ABC互相平行.其余各面是平行四边形,但它不是棱柱.反之,若一个几何体是棱柱,则它有两个面互相平行,其余各面均是平行四边形是正确的.,2.若一个几何体有两个面互相平行,其余面均为梯形,那么它一定是棱台吗?提示:不一定.因为棱台是由棱锥得到,其侧棱延长应相交于一点,若侧棱延长后不相交于一点,则它不是棱台.,【例1】(1)(2018嘉兴市一中期中)下列命题中,正确的命题是()有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台四面体都是三棱锥.(A)(B)(C)(D),解析:(1)错误;反例:将两个相同的斜平行六面体叠放;正确,在长方体中可以截出;错误,侧棱可能无法聚成一点;正确.故选A.,(2)下列叙述正确的是()(A)直角三角形围绕一边旋转而成的几何体是圆锥(B)用一个平面截圆柱,截面一定是圆面(C)圆锥截去一个小圆锥后,剩下的是一个圆台(D)通过圆台侧面上一点有无数条母线,解析:(2)直角三角形绕斜边所在直线旋转形成的是两个对底的圆锥,为组合体,故A错;用平行于底面的平面去截圆柱,截面才是圆面,故B错.通过圆台侧面上一点有且只有一条母线,故D错.C正确.选C.,方法技巧准确理解几何体的定义,把握几何体的结构特征,并且学会通过举反例进行辨析.,即时训练1-1:(1)下列说法中正确的是()(A)顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正棱锥(B)底面是正三角形,各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥(C)底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥(D)底面是正三角形,并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥,解析:(1)选项A,到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心,该三角形不一定为正三角形,故A错;选项B,如图所示,ABC为正三角形,若PA=PB=AB=BC=ACPC,PAB,PBC,PAC都为等腰三角形,但它不是正三棱锥,故B错;选项C,顶点在底面面上的射影为底面三角形的垂心,底面为任意三角形皆可,故C错;选项D,顶点在底面上的射影是底面三角形的外心,又底面三角形为正三角形,因此,外心即中心,故D正确.故选D.,(2)下列命题正确的是()(A)圆柱的轴是经过圆柱上、下底面圆的圆心的直线(B)圆柱的母线是连接圆柱上底面和下底面上一点的直线(C)矩形较长的一条边所在的直线才可以作为旋转轴(D)矩形绕任意一条直线旋转,都可以围成圆柱,解析:(2)由圆柱的定义和有关概念可知,A正确;圆柱的母线必须在侧面上且垂直于底面,所以B不正确;矩形的任意一条边所在的直线都可以作为旋转轴,C错误;矩形绕任意直线旋转不一定形成圆柱,因此D错误,故选A.,题型二,折叠与展开问题,【例2】(2018江西省九江市一中月考)如图所示平面图形沿虚线折起后,为,为,为.,解析:由图知几何体各侧面是矩形,底面为四边形.该几何体是四棱柱;由图知几何体各侧面是三角形,底面是三角形,该几何体是三棱锥;由图知几何体侧面是三角形,底面为四边形,故该几何体是四棱锥.答案:四棱柱三棱锥四棱锥,方法技巧(1)对于所给展开图发挥空间想象力,若想象力不足,应当动手折纸做实验.(2)对于给出的几何体的展开图,应当给顶点标上字母,先把底面画出来,再依次画出侧面,还原出几何体的形状.,即时训练2-1:(2018湖南师大附中高一测试)如图底面半径为1,高为2的圆柱,在A点有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点,则蚂蚁爬行的最短距离是.,题型三,简单组合体的结构特征,【例3】(1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(),解:(1)A.,解:(2)旋转后的图形草图分别如图(1),(2)所示.其中图(1)是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;图(2)是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的.,(2)如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?,变式探究:(1)(变换条件)若将典例(1)选项B中的平面图形旋转一周,想象并说出它形成的几何体的结构特征.,解:(1)是直角三角形,旋转后形成圆锥;是直角梯形,旋转后形成圆台;是矩形,旋转后形成圆柱,所以旋转后形成的几何体如图所示.通过观察可知,该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的.,解:(2)可把原图看成由,两部分构成,即大梯形挖去一个小梯形,则旋转一周后得到一个大圆台挖去一个以大圆台上底面为下底面的小圆台组合而成.,(2)若将典例(1)选项B中的图形改为以下面的底边所在直线为轴旋转一周,说出它形成的几何体的结构特征.,方法技巧不规则平面图形旋转形成的几何体的结构特征的分析策略(1)分割:首先要对原平面图形适当分割,一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形.(2)定形:然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.,即时训练3-1:将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括()(A)一个圆台、两个圆锥(B)一个圆台、一个圆柱(C)两个圆台、一个圆柱(D)一个圆柱、两个圆锥,解析:设等腰梯形ABCD,较长的底边为CD,则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥(如轴截面图),故选D.,【备用例题】一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为(只填写序号).,解析:当截面与正方体的一面平行时,截面图形如,当截面不与正方体的一面平行,截面图形如.答案:,谢谢观赏！,
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