《平面力系的平衡》PPT课件.ppt

第2节平面力系的平衡,一力的投影和合力矩定理二力的平移定理三平面任意力系的简化四平面力系的平衡方程及应用,1,平面力系的平衡,平面力系及其分类平面力系：各力作用线都在同一平面内的力系。平面汇交力系：在平面力系中，各力作用线汇交于一点的力系。平面力偶系：在平面力系中，全部由力偶组成的力系。平面平行力系：在平面力系中，各力作用线互相平行的力系。平面任意力系：在平面力系中，各力作用线任意分布的力系。,1,力的投影与合力矩定理1力在直角坐标轴上的投影与分解2合力投影定理3合力矩定理,平面力系的平衡,x,y,a,b,a,b,o,1、力在直角坐标轴上的投影与分解,A,B,1）若已知合力F及其与X轴的夹角，则F在直角坐标系xoy的X、Y轴上的投影分别为Fx及Fy:2)投影的正负号规定如下：对Fx，若从a到b的方向与X轴正向一致，则取正号,反之取负号。对Fy，则以类似方法决定其正负号.,3）若已知合力F在X、Y轴上的投影Fx、Fy，则合力F的大小由右式之标量F表示、其方向由tan表示：,(A)力在直角坐标轴上的投影,在力F作用的平面内建立直角坐标系xoy，由力F的起点A和终点B分别作x轴的垂线，垂足分别为a、b，线段ab冠以适当的正负号即称为力F在x轴上的投影，用Fx表示之，即：Fx=ab.同理，力F在y轴上的投影，用Fy表示之，即：Fy=ab.,（B）力在直角坐标轴上的分解,若将力F（矢量，以红色表示，下同）沿直角坐标轴方向分解，可得两个分力Fx及Fy。必须注意，分力亦为矢量，其作用点必须与原力F的作用点相同，其大小及方向则按照力的平行四边形公理来确定。而前述之投影Fx及Fy（标量，以黑色表示）则为代数量，代数量无作用点，两者不可混淆。只有在沿直角坐标轴方向分解时，分力的大小才与对应坐标轴上的投影的绝对值相等。,1）平面汇交力系的合力设一刚体受平面汇交力系F1,F2,Fn作用，多次利用力在刚体中的可传性和力的平行四边形公理，可推出：此力系可合成为一个合力FR，即平面汇交力系的合力矢量等于该力系各分力的矢量和，此合力矢量可由下式表示：,FR=F1+F2+Fn=F,2、合力投影定理,合力投影定理,2）合力投影定理将上述等式(FR=F1+F2+Fn=F)各端分别向x、y轴投影，可得出合力投影定理：合力在坐标轴上的投影等于各分力在同轴上投影的代数和。,合力投影定理,合力的大小FR、方向可分别表示为：,式中：表示合力FR与x轴所夹的锐角，FR的指向由Fx和Fy的正负来确定。,求如图所示平面汇交力系的合力。其中：F1=200N，F2=300N，F3=100N，F4=250N。各力与x轴之夹角如图所示。,解：,根据合力投影定理，得合力在轴x，y上的投影分别为：,例题1.5,合力投影定理,合力的大小：,合力与轴x的夹角的正切为：,所以，合力与轴x的夹角为,例题1.5,合力投影定理,FR,合力矩定理,设刚体上作用有一个平面汇交力系F1,F2，Fn,其合力为FR，由于合力FR与该力系等效，所以得出：合力对平面内任意点之矩，等于所有各分力对同一点之矩的代数和。此即为合力矩定理，如下式所示：当合力的力臂不易求出时，常将合力正交分解为两个易确定力臂的分力，然后应用合力矩定理计算力矩。,Mo(FR)=Mo(F1)+Mo(F2)+.+Mo(Fn)=Mo(F),3、合力矩定理,图a）所示圆柱直齿轮的齿面受一啮合角=20的法向压力Fn=1kN的作用，齿面分度圆直径d=60mm。试计算力对轴心O的力矩。,解1：按力对点之矩的定义,例题1.6,合力矩定理,Mo（FR）Mo（Ft）Mo（Fr）Ftr0Fncosr28.2Nm,b),解2：按合力矩定理,例题1.6,合力矩定理,一轮在轮轴B处受一切向力F的作用，如图2-10a所示。已知F、R、r和，试求此力对轮与地面接触点A的力矩。,例题1.7,合力矩定理,合力矩定理,C,MA（F）=MA（Fx）+MA（Fy）MA（Fx）=-FxCA=-Fx(OA-OC)=-Fcos(R-rcos)MA（Fy）=Fyrsin=Frsinsin=Frsin2MA（F）=-Fcos(R-rcos)+Frsin2=F(r-Rcos),合力矩定理,C,二、力的平移定理,1,作用在刚体上A点处的力F，可以平移到刚体内任意点O，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点O之矩。,力的平移定理,1,力的平移定理图解说明,O,O,O,A,A,A,O,F,F,F,F,F”,F,F”,F,A,d,d,d,M=Fd,1,2,3,4,力的平移定理,力的平移定理：揭示了力与力偶在对物体的作用效应方面的区别和联系：可以将一个力转换或分解为一个力和一个力偶，也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为一个力。也就是说：一个力不能与一个力偶等效，但一个力可以和一个与它平行的力和一个力偶的联合作用等效。,三、平面任意力系的简化,平面任意力系的简化,平面任意力系向平面内任一点的简化1、设刚体上作用有一个平面任意力系F1,F2,Fn,各力的作用点分别为A1,A2,An,在平面内任选一点O，称为简化中心，多次利用力的平移定理，可将力系中的各力分别平移到点O。平移的结果，得到一个作用于O点的平面汇交力系F1,F2,Fn,和一个附加的平面力偶系M1=MO(F1),M2=MO(F2),Mn=MO(Fn)；2、主矢：对平移后得到的平面汇交力系F1,F2,Fn，反复利用平行四边形公理，可将此力系合成为一个合力FR，该合力FR即称为原平面任意力系的“主矢”。主矢的作用点在简化中心O，主矢的矢量大小等于平移后得到的平面汇交力系中各分力的矢量和，亦等于原任意力系中各分力的矢量和（注意：主矢不能称为原任意力系的合力，因为它们并不等效。），即：FR=F1+F2+Fn=F1+F2+Fn=F=F主矢的标量大小和方向分别为：,平面任意力系的简化,3、主矩：对前述附加的平面力偶系M1=MO(F1),M2=MO(F2),Mn=MO(Fn),根据力偶的性质可知，力偶对刚体只产生转动效应，且转动效应的大小完全取决于力偶矩的大小和转向，因此该附加的平面力偶系可简化为一个合力偶，该合力偶之矩为MO。MO即称为原平面任意力系对简化中心O的“主矩”。主矩的大小等于各个分力偶矩的代数和，亦即等于原任意力系中各力F1,F2,Fn,对简化中心O之矩的代数和，即：Mo=M1+M2+Mn=M=Mo(F)4、注意事项：（1）关于主矢：选取不同的简化中心，主矢不会改变，因为主矢总是等于原任意力系中各力的矢量和，也就是说，主矢与简化中心O的位置无关。（2）关于主矩：主矩的大小等于原任意力系中各力F1,F2,Fn,对简化中心O之矩的代数和。因此，一般来说，主矩与简化中心O的位置有关，提到主矩时一定要指明是对哪一点的主矩。（3）关于等效：主矢与主矩的共同作用才与原任意力系等效。,平面任意力系向平面内任一点简化可以得到一个力和一个力偶，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简化中心，称为原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的主矩。,平面任意力系的简化,（5）结论,6、平面任意力系简化结果的简单总结：,FR=F=FMO=M1+M2+Mn=MO(F),平面任意力系的简化,（1）简化结果：,（2）主矢的矢量大小及主矩的大小分别表示如下：,平面任意力系的简化,（3）主矢在X,Y轴的投影、主矢的标量大小及方向分别表示如下：,应用实例,平面任意力系的简化,应用实例,平面任意力系的简化,应用实例,平面任意力系的简化,四、平面力系的平衡方程及应用,对平面任意力系简化（或称合成）结果的分析,（1）FR=0，Mo0,（2）FR0，Mo=0,（3）FR0，Mo0,（4）FR=0，Mo=0,平面力系的平衡方程及应用,平面力系的平衡方程及应用,根据以上分析可知，平面任意力系平衡的充要条件是：FR=0，Mo=0，即：,由此可得平面任意力系的平衡方程：,一矩式方程（基本形式）,平面力系的平衡方程及应用,二矩式方程,平面力系的平衡方程及应用,其中：A、B两点的连线不能与x轴垂直。,三矩式方程,平面力系的平衡方程及应用,其中：A、B、C三点不能共线。,平面力系的平衡方程及应用,上述三组方程都可以用来求解平面任意力系的平衡问题，可视具体情况选择使用。由平面任意力系的平衡方程，还可方便地得到平面特殊力系的平衡方程。,平面力系的平衡方程及应用,（1）平面汇交力系的平衡方程由于平面汇交力系中各力的作用线汇交与同一点，所以各力对该点之矩均为零。就取该点为简化中心O，则简化后其主矩为零的条件，即Mo(F)=0的条件已自然满足，故前述平面任意力系的平衡方程中，只剩有两个独立平衡方程，即平面汇交力系的平衡方程为：,两个独立平衡方程可以解出两个未知量。,M=0,平面力系的平衡方程及应用,（2）平面力偶系的平衡方程因为平面力偶系中每对力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零，也就是Fx0,Fy0,又知力偶对作用面内任意点之矩恒等于力偶矩,故前述平面任意力系的平衡方程中，只剩有一个独立平衡方程，即平面力偶系的平衡方程为：,一个独立平衡方程只可以解出一个未知量。,平面力系的平衡方程及应用,基本式,二矩式,（3）平面平行力系的平衡方程在平面平行力系中，若选择直角坐标轴的y（或x）轴与力系中各力的作用线相平行，则每个力在x（或y）轴上的投影均为零，即Fx0（或Fy0），故前述平面任意力系的平衡方程中，只剩有两个独立平衡方程，即平面平行力系的平衡方程为：,注意:（a）其中A、B两点的连线不能与各力平行。（b）两个独立平衡方程可以解出两个未知量。,（4）关于平面力系平衡问题的解题步骤：,1）确定研究对象；2）去除约束物，代之以相应的约束反力；3）画受力图(包括所有主动力和约束反力)；4）针对研究对象建立平衡方程，并求解。,平面力系的平衡方程及应用,在长方形平板的O，A，B，C四点上分别作用有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求：（1）以上四个力构成的力系对O点的简化结果。（2）该力系的最后合成结果。,F1,F2,F3,F4,O,A,B,C,x,y,2m,3m,30,60,例题1.8,平面力系的平衡方程及应用,（1）求向O点简化结果,建立如图坐标系Oxy。,1.求主矢FR。,解：,例题1.8,主矢的方向,所以，主矢的大小,=52.1,2.求主矩Mo,Mo=Mo(F)=2F2cos60-2F3+3F4sin30=0.5kNm,例题1.8,（2）求最后合成结果,由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR，如右图所示。,合力FR到O点的距离,例题1.8,FR=FR,如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。,例题1.9,1,1,3.列平衡方程：,4.解方程：,取梁为研究对象；受力分析如图；,解：(AB梁受平面任意力系作用),例题1.9,塔式起重机如图所示。机架重G1=700kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量G2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重G3到机身中心线距离为6m。试问：(1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重G3应为多少?(2)当平衡荷重G3=180kN时，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力？,例题1.10,1,1.起重机不翻倒,满载时，G2=200KN，不绕B点翻倒，临界情况下FA=0，可得,（塔架受平面平行力系作用）取塔式起重机为研究对象，受力分析如图所示。,解：,例题1.10,空载时，G2=0，不绕A点翻倒，临界情况下FB=0，可得,75kNG3350kN,则有,例题1.10,2.取G3=180kN，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力。,列平衡方程,解方程得,例题1.10,