《集合映射与运算》PPT课件.ppt

离散数学DiscreteMathematics,邓辉文编著清华大学出版社2010.3ISBN978-7-302-21193-8,十一五国家级规划教材计算机系列教材,离散数学是计算机各专业的专业基础课.(1)程序设计语言(2)离散数学(3)数据结构与算法(4)计算机组成原理(5)计算机网络(6)操作系统(7)数据库(8)软件工程,离散数学研究的对象:离散量及其之间的关系.离散量与连续量及其之间的转换.现今计算机的处理对象是非常特殊的离散量:0和1.学习离散数学的目的:1.培养各种能力.2.为后继专业课程的学习作知识上的准备.,离散数学的主要内容:1.集合与关系Chapter1集合、映射与运算Chapter2关系2.数理逻辑Chapter3命题逻辑Chapter4谓词逻辑3.代数结构(Chapter5)4.图论Chapter6图论Chapter7几类特殊的图5.组合计数(Chapter8),学习离散数学的方法:1.预习.2.听课.3.复习.4.(分组)作业.,参考文献:屈婉玲,耿素云,张立昂,离散数学,高等教育出版社,2007.(108144学时)傅彦,顾小丰,王庆先,离散数学及其应用,高等教育出版社,2008.(两个学期),Chapter1Sets,MappingsandOperations,集合是现代数学的最基本概念(?).映射又称为函数,它是现代数学的基本概念,可以借助于集合下定义.运算本质上是映射,但其研究有其特殊性.(关系也是集合)集合、映射、运算及关系(Chapter2)是贯穿于本书的一条主线.,1.1集合的有关概念,1.集合在一定范围内,集合(set)是其具有某种特定性质的对象汇集成的一个整体,其中的每一个对象都称为该集合的元素(element).这里所指范围是全集U(见图1-1).(避免悖论!)在数学中常用表示整体.,若x是集合A中元素,则记xA,否则xA.Fuzzyset?集合通常用大写字母A,B,C,D,表示.N是自然数集合,包括数0；Z是整数集合；Q是有理数集合；R是实数集合；C是复数集合.,P:2,3,5,7,11,13,17,19,23等.(1)m|n:n=mq.(2)Dn.(3)素数测试与Mersenne素数:2p-1.,表示集合的常用方法:(1)列举法:0,2,4,6,8,N=0,1,2,3,.(2)描述法:x|x满足的条件.可简记:直角三角形,所有人(3)递归法自然数集合N可递归定义,在后面章节定义命题公式及谓词公式时还会用此法.有限集合A的元素个数|A|,card(A).,Remarks1.集合中的元素可以是集合,例如A=a,a,b,b,c.a,bA,a,bA.2.集合之间的元素原则上是没有次序的,如A=a,a,b,b,c就是a,b,c,a,b;3.集合中的元素原则上不重复,如a,a,b,b,b,c还是集合A.不含有任意元素的集合称为空集(emptyset),记为或.,2.子集AB,特别地是任意集合的子集.A=B.Theorem1-2(P3)(1)AA.(2)AB,BAA=B.(3)AB,BCAC.Theorem1-3A=BAB且BA.,注意与的不同.例1-2由AB,BC可否得出AC?Solution不成立,例如A=a,b,B=a,b,c,C=a,a,b,c.课堂练习:4,5.,3.幂集(powerset)X=a,bP(X)=,a,b,a,b.P(P()=P()=,(P5,6(1).,(P5,2),Theorem1-4Proof(加法原理)由乘法原理证明?,4.n元组Def1-4将n个元素(?)x1,x2,xn按一定顺序排列就得到一个n元(有序)组(n-tuple).线性代数中的n维向量(?):n=2,n=3(seebelow),n=2:(x,y).n=3:(x,y,z)4元组?显然,一般说来(x,y)(y,x).注意区别(a,b,c),(a,b),c),(a,(b,c)的不同.,n维向量是n元组,长度为n的线性表是n元组,抽象数据结构Data_Structure=(D,S)本身是一个2元组.2元组常称为有序对(orderedpair)或序偶.5.笛卡儿积(crossproduct),例1-4(P4)设A=a,b,B=1,2,C=,求AB,BA,ABC,BC.SolutionABC=(a,1,),(b,1,),(a,2,),(b,2,).BC=(1,),(2,)RemarkA=B=.P5,10?,TheoremHint可推广到更多个集合的笛卡儿积的情形:作业习题1.16,9,10.,1.2映射的有关概念,1.映射的定义映射mapping=函数function.C语言是一种函数型语言:从main开始.DefA,B:,A,B,Ceilingfunction:Floorfunction:(取整函数)复杂度:,函数的表示:(1)解析式(2)图形(3)表格(数值计算中出现较多)函数符号的选取(P6):f,g,F,G,sin,exp,main,add,average,注意区别函数f与函数表达式f(x).映射的两个特点:(1)全函数;(2)唯一性.,B上A:例1-5Theorem1-6注意B上A的记号与该结论的关系.,x1x2x3,y1y2,X,f(X),Y,f-1(Y),n元函数(n1):floataverage(flotarray,intn)n=0:C语言中的无参函数?一般处理方式:A到B的一个0元函数是B中某一个元素(seeP136).,2.映射的性质(1)单射(injection),(2)满射(surjection)例1-7是Z到N的满射,但不是Z到Z的满射(?).,(3)双射(bijection,one-to-onecorrespondence)双射又称为一一对应:既单又满.例1-8例1-9(P8),Def1-11有限集合A上自身的双射称为A上的置换(permutation).例1-10第一种方式:,123,123,第二种方式:A=1,2,3,4上的所有置换有多少个?4!,3.逆映射设f:AB,将对应关系f逆转(改变方向),一般来说,不能得到B到A的映射:,abc,123,Def1-12设f:AB,若将对应关系f逆转后能得出一个得到B到A的映射,则称该映射为f的逆映射(invertiblefunction),记为f-1.,abc,123,Theorem1-7f的逆映射存在的充要条件是f是双射.对于y=sinx,当时,有反函数,常记为当时,y=sinx仍有反函数,但不能记为arcsin.显然,当时,无反函数.,4.复合映射(compositionfunction)Theorem1-8设f:AB,g:BC:则h:AC.,x,y=f(x),z=g(y)=g(f(x),Def1-13例1-12,abc,123,Remarks(1)y=sinu,u=x2未引入运算符号,有时是不方便的.(2)顺序问题:有些专业书但会出现一些混乱.,例1-13(P9)f:RR,f(x)=x2,g:RR,g(x)=x+2,求fg和gf.SolutionxR:(fg)(x)=g(f(x)=g(x2)=x2+2.(gf)(x)=f(g(x)=f(x+2)=(x+2)2.Remarkfggf.,IA:AATheorem1-9理解:,abc,123,abc,123,abc,123,Theorem1-10(1)若f和g是单射,则fg是单射.(2)若f和g是满射,则fg是满射.(3)若f和g是双射,则fg是双射.Proof(2)任意zC,由于g是满射,存在yB,使得z=g(y).又由于f是满射,存在xA,使得y=f(x).于是z=g(y)=g(f(x)=(fg)(x).故fg是满射(seebelow).,Theorem1-11(1)若fg是单射,则f是单射,g不一定.(2)若fg是满射,则g是满射,f不一定.(3)若fg是双射,则f是单射且g是满射.Proof(1)任意x1,x2A,若f(x1)=f(x2),显然,g(f(x1)=g(f(x2),即(fg)(x1)=(fg)(x2).由于fg是单射,因此x1=x2.故f是单射.g不一定(见上图)?,一般来说fggf,但Theorem1-12作业习题1.2:3,4,7,8,12.Hint7.使用定理1-10和第3题.8.使用第7题结论.12.使用第7题结论.,1.3运算的定义及性质,运算是讨论对象之间有何联系的一种方法.其实，我们已经接触过很多运算,如数之间的加法运算、多项式之间的乘法运算、矩阵的逆运算、向量的线性运算等.在讨论离散数据结构时也会经常遇到各种各样的运算，如在下节即将研究的集合间的运算.虽然运算本质上是映射，但研究的侧重点不同，在运算中更注重于运算满足的一些运算性质，而根据这些性质可以对一些离散对象分门别类进行讨论.因此，有必要先把运算的一般定义及其性质进行讨论.,1.运算的定义(1)定义A1,A2,An到B的n元运算(n-aryoperation):A到B(或A上)的n元运算:A上的n元封闭运算(代数运算):,(n=0?一般处理方式:A到B的一个0元运算可理解为B中某一个元素.)例1-14f:ZN,f(x)=|x|.例1-15(模运算)f:ZN,f(x)=x(modk),x=qk+r,0r1.Proof(?),2.集合的覆盖Def设A是集合,由A的若干非空子集构成的集合称为A的覆盖(covering),如果这些非空子集的并等于A.a,b,b,c,集合的划分集合的覆盖,但反过来不成立.A=a,b,c上所有不同的覆盖有哪些?作业习题1.51,4,7.,1.6集合的对等,集合的对等,它是集合间的另一种关系.通过集合对等以及相关内容的学习,加深对函数概念的理解,提高正确使用函数工具作为研究手段的能力.1.集合对等(equivalent)DefAB:存在双射f:AB.,NE.ZN?(0,1)R.G.Cantor.NNN.Theorem1-28(对等的性质)(1)AA.(2)ABBA.(3)AB,BCAC.,2.无限集合有了集合对等的概念,就可以给出无限集合及有限集合的严格定义.Def设A是集合,若存在A的一个子集与自然数集合N对等,则称A为无限集合(infiniteset),否则称A为有限集合(finiteset).N.0,1.,3.集合的基数有限集合的基数就是的元素个数.借助于集合对等概念,可以将其扩展到无限集合.Def若集合A和B对等,则称这两个集合的基数(cardinality)相同.|A|,card(A),#(A).G.Cantor被这些问题所折磨难以自拔,1884年后患精神病(受到很多人的批评和攻击,包括他的老师,用脑过度?),4.可数集合Def能与自然数集合N对等的集合称为可数集合(countableset).根据无限集合的定义知：任意无限集合均存在一个可列的子集合.根据这一点,可以证明无限集合的特征性质.Theorem设A是无限集合,则存在A的一个真子集B,使得AB.,Proof因为A是无限集合,存在可数的子集合考虑Q是可列集合.,5.不可数集合是否所有无限集合都是可数的?答案是否定的.例证明:(0,1)是不可数集合.Proof(反证)取,6.基数的比较Def给定集合A和B,若存在A到B的单射,则称A的基数小于等于B的基数,记为|A|B|.若进一步,不存在A到B的双射,则称A的基数小于B的基数,记为|A|B|.由定义易知,若存在B到A的满射,则|B|A|.显然,Problem是否存在集合A,满足(著名的连续统假设?!)作业习题1.62,4,6.,