资源描述
第六节二次函数的综合应用,考点一二次函数与一元二次方程例1(2018湖北襄阳中考)已知二次函数yx2xm1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是()Am5Bm2Cm5Dm2,【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可【自主解答】二次函数yx2xm1的图象与x轴有交点，(1)241(m1)0，解得m5.故选A.,1(2018湖南衡阳中考)如图，抛物线yax2bxc与x轴交于点A(1，0)，顶点坐标(1，n)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：3ab0；1a；对于任意实数m，abam2bm总成立；关于x的方程ax2bxcn1有两个不相等的实数根其中结论正确的个数为(),A1B2C3D4,考点二利用二次函数解决实际生活中的最值问题例2(2018浙江衢州中考)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系,(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度,【分析】(1)根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点(8，0)，求出a值，此题得解；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y1.8时x的值，由此即可得出结论；,(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为yx2bx，代入点(16，0)可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论,【自主解答】(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为ya(x3)25(a0)将(8，0)代入ya(x3)25得25a50，解得a，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y(x3)25(0x8),(2)当y1.8时，有(x3)251.8，解得x11(舍去)，x27，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内(3)当x0时，y(x3)25.设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为yx2bx.,该函数图象过点(16，0)，016216b，解得b3，改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为yx23x(x)2，扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米,利用二次函数解决实际问题中的最大(小)值时，在解题方法上常用到待定系数法、配方法、公式法等在数学思想方面同样体现了函数思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想等求二次函数的表达式和函数的最大(小)值是考查重点，解题过程中要注意自变量的取值范围,2(2018四川达州中考)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同,(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？(2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？,解：(1)设进价为x元，则标价是1.5x元由题意得15x0.988x(1.5x100)77x，解得x1000，1510001500(元)答：进价为1000元，标价为1500元,(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元由题意得w(513)(15001000a)(a80)226460.0，当a80时，w最大26460.答：该型号自行车降价80元出售时，每月获利最大，最大利润是26460元.,考点三利用二次函数解决几何图形中的最值问题例3(2018甘肃天水中考)如图所示，在正方形ABCD和EFG中，ABEFEG5cm，FG8cm，点B，C，F，G在同一条直线l上当点C，F重合时，EFG以1cm/s的速度沿直线l向左开始运动，ts后，正方形ABCD与EFG重合部分的面积为S.请解答下列问题：,(1)当t3时，求S的值；(2)当t5时，求S的值；(3)当5t8时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.,【分析】(1)首先确定重叠部分是三角形，再根据相似三角形的判定和性质求出高，进而得出面积；(2)确定重叠部分的面积是四边形，再根据EFG的面积CHG的面积计算即可；(3)先确定重叠部分是五边形，然后根据相似三角形的判定和性质表示出对应边，再根据SSEFGSBFHSCGP，列出S关于t的关系式，再根据二次函数的性质讨论最值即可,【自主解答】如图，过点E作EMl于点M.EFEG5cm，FG8cm，FMMG4cm.在RtEFM中，根据勾股定理得EM3cm.由EFG以1cm/s的速度运动，可知CFtcm.(1)当t3时，CF3cmCM，知重叠部分为CFH，如图所示，,FCHFME，HFCEFM，FCHFME，.CF3cm，FM4cm，EM3cm，CHcm.则SCFCH(cm2),(2)如图所示，当t5时，点F与点B重合，SCHGcm2，SSEFGSCHGFGEMSCHG12(cm2),(3)如图，当5t8时，重叠部分是五边形，BF(t5)cm，CG(8t)cm.FBHFME，HFBEFM，FBHFME，.,BF(t5)cm，FM4cm，EM3cm，则BH(t5)cm.SBFHBFBH(t5)2t2t.同理可得CP(8t)cm，SCGPCGCP(8t)2t26t24，SSEFGSBFHSCGP(t)2.当t时，S的最大值为cm2.,构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解,3(2018四川自贡中考)如图，抛物线yax2bx3过A(1，0)，B(3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为2，点P(m，n)是线段AD上的动点,(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由,解：(1)把(1，0)，(3，0)代入函数表达式得抛物线的表达式为yx22x3.当x2时，y(2)22(2)33，即D(2，3),设AD的表达式为ykxq，将A(1，0)，D(2，3)代入得故直线AD的表达式为yx1.,(2)设P点坐标为(m，m1)，Q(m，m22m3)，l(m1)(m22m3)，化简得lm2m2，配方得l(m)2.当m时，l最大.,(3)由(2)可知，0PQ.当PQ为边时，DRPQ且DRPQ.R是整点，D(2，3)，PQ是正整数，PQ1或PQ2.当PQ1时，DR1，此时点R的横坐标为2，纵坐标为312或314，,R(2，2)或R(2，4)当PQ2时，DR2，此时点R的横坐标为2，纵坐标为321或325，即R(2，1)或R(2，5)当PQ为对角线时，,设点R的坐标为(n，nm2m3)，Q(m，m22m3)，则QR22(mn)2.又P(m，m1)，D(2，3)，PD22(m2)2，(m2)2(mn)2，解得n2(不合题意，舍去)或n2m2.,点R的坐标为(2m2，m23m1)R是整点，2m1，当m1时，点R的坐标为(0，3)当m0时，点R的坐标为(2，1)综上所述，存在满足条件的点R，它的坐标为(2，2)或(2，4)或(2，1)或(2，5)或(0，3)或(2，1),考点四二次函数与一次函数、反比例函数的综合性问题例4(2018湖北鄂州中考)如图，已知直线yx与抛物线yax2bxc相交于A(1，0)，B(4，m)两点，抛物线yax2bxc交y轴于点C(0，)，交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M.,(1)求抛物线的表达式及点M的坐标；(2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当PAB的面积最大时，求此时PAB的面积及点P的坐标；(3)点Q为x轴上一动点，点N是抛物线上一点，当QMNMAD(点Q与点M对应)，求Q点的坐标,【分析】(1)将B(4，m)代入一次函数的关系式即可求得点B的坐标，再将A，B，C三点的坐标代入二次函数关系式即可求出其关系式，再将其化为顶点式就能得到点M的坐标,(2)过点P作PEx轴，交AB于点E，交x轴与点G，过点B作BFx轴于点F，则SCDEPEAF，求出直线AB的关系式，设点P的坐标为(m，m2m)，则点E的坐标为(m，m)，即可得到SCDE的函数关系式，将其化为顶点式即可求出最大值；(3)由勾股定理的逆定理可证得MAD是等腰直角三角形，则QMN也是等腰直角三角形，从而得到点Q的坐标,【自主解答】(1)将B(4，m)代入yx得m4，B(4，)将A(1，0)，B(4，)，C(0，)代入yax2bxc，解得抛物线的表达式为yx2x(x1)22，故顶点M的坐标为(1，2),(2)如图，过点P作PEx轴，交AB于点E，交x轴与点G，过点B作BFx轴于点F.,(3)抛物线的表达式为yx2x(x1)22，抛物线的对称轴为直线x1.又A(1，0)，点D的坐标为(3，0)又M的坐标为(1，2)，AD3(1)4，AD24216，AM2(11)2(02)28，DM2(31)2(02)28，AD2AM2DM2，且AMDM，,MAD是等腰直角三角形，AMD90.又QMNMAD，QMN也是等腰直角三角形，且QMQN，MQN90，QMN45.又AMD90，AMQQMD45，,此时点D(或点A)与点N重合，如图，此时MQx轴，故点Q的坐标为(1，0),二次函数与一次函数、反比例函数的综合性问题，往往涉及利用待定系数法求一次函数、反比例函数和二次函数的表达式，一次函数、反比例函数和二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数最值的求法，综合性较强，利用数形结合、分类讨论是解题的关键,4(2018山东日照中考)在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点已知反比例函数y(m0)与yx24在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2，则实数m的取值范围为_,2m1,考点五二次函数综合题百变例题(2018山东济宁中考)如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过点A(3，0)，B(1，0)，C(0，3),(1)求该抛物线的表达式；(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由,【分析】(1)已知A，B两点坐标，可得ya(x3)(x1)，再将点C坐标代入即可解得；(2)过点A作AMBC，利用全等三角形求出点N的坐标，再利用待定系数法求出直线AM的表达式，同理可求出直线BC的表达式，联立求出M坐标即可；(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可,【自主解答】(1)抛物线yax2bxc(a0)经过点A(3，0)，B(1，0)，ya(x3)(x1)又抛物线经过点C(0，3)，3a(03)(01)，解得a1，抛物线的表达式为y(x3)(x1)，即yx22x3.,(2)如图，过点A作AMBC，垂足为点M，AM交y轴于点N，,BAMABM90.在RtBCO中，BCOABM90，BAMBCO.A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AOCO3，OB1.又BAMBCO，BOCAON90，,AONCOB，ONOB1，N(0，1)设直线AM的函数表达式为ykxb，把A(3，0)，N(0，1)代入得解得直线AM的函数表达式为yx1.,(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形设Q(t，0)，P(m，m22m3)分两种情况考虑：当四边形BCQP为平行四边形时，由B(1，0)，C(0，3)，根据平移规律得1m0t，0(m22m3)30，解得m1.,当m1时，m22m3822233，即P(1，3)；当m1时，m22m3822233，即P(1，3)当四边形BCPQ为平行四边形时，,由B(1，0)，C(0，3)，根据平移规律得1t0m，003(m22m3)，解得m0或2.当m0时，P(0，3)(舍去)；当m2时，P(2，3)综上所述，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为(1，3)或(1，3)或(2，3),变式1：若点D是抛物线的顶点，求ACD面积与ABC面积的比解：如图，连结AC，AD，CD，作DLx轴于点L.,变式2：若E是x轴上一个动点，过E作射线EFBC交抛物线于点F，随着E点的运动，在抛物线上是否存在这样的点F，使以B，E，F，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由,解：存在理由如下：如图，当点F在x轴下方时，作FRx轴于点R.,四边形BCFE为平行四边形，EFBC，ERFBOC，RFOC3，3x22x3，解得x2或x0(与C点重合，舍去)，F(2，3),如图，当F在x轴上方时，作FSx轴于点S.,四边形BCEF为平行四边形，EFBC，EFSBCO，FSOC3，3x22x3，解得x11，x21.综上所述，F点为(2，3)或(1，3)或(1，3),变式3：如图，若点G是线段AC上的点(不与A，C重合)，过G作GHy轴交抛物线于H，若点G的横坐标为m，请用m的代数式表示GH的长,解：设直线AC的表达式为ykx3，则有03k3，解得k1，故直线AC的表达式为yx3.已知点G的横坐标为m，则G(m，m3)，H(m，m22m3)，GHm3(m22m3)m23m(0m3),变式4：若对称轴是直线l，在对称轴l上是否存在点W，使WBC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点W的坐标；若不存在，请说明理由,易错易混点一忽视根的判别式的作用例1已知抛物线yx2(6)xm3与x轴有两个交点A，B，且A，B关于y轴对称，求此抛物线表达式,易错易混点二确定实际问题中的最值与自变量的取值范围例2某商品的进价为40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件如果每件商品的售价涨1元，那么每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元,(1)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？,
展开阅读全文