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场论概要,如果一种物理量在某个空间区域中的每一点都有确定的值，就称这个空间区域上定义着该物理量的场。,数量场:温度场、电位场等矢量场:速度场、力场等,1.梯度（gradient）,若在数量场中的一点M处存在着矢量g，其方向为M点处函数变化率最大的方向，其模为这个最大变化率的数值，则称g为这个函数在M点处的梯度,称为Hamilton算符,若某个函数对坐标xi取偏微分，则简记为(.),i,方向导数,2.散度（divergence）,称为矢量v在S上的通量,Gauss公式(奥高公式，或奥式公式)：,物理意义:若divu0则表示在该点处有“源”若divu=0则表示在该点处无“源”无“汇”其大小表示“源”和“汇”的强度与坐标系无关,对于矢量场u，称为沿L的环量。若L为某一曲面S的边界，曲面S的法线单位矢量为n，而且曲线L的走向与n满足右手法则，则根据Stokes公式，有：,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数一点的旋度的大小是该点环量面密度的最大值。旋度的方向是与该点最大环量面密度对应的法线方向。在矢量场中，若rotuJ0，称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)，若矢量场处处rotu0，称之为无旋场。,小节：梯度：散度：旋度：,并积数积矢积,矩阵：,方阵：行数列数；矩阵的转置：将mn的矩阵A的行列互换，得到nm的新矩阵，称作A的转置，记为AT；列矩阵：只有一列的矩阵；行矩阵：列矩阵的转置；,对称矩阵：对于方阵A，有A=AT；反对称矩阵：若AT=A；对角阵：方阵A的主对角线上有非零元素，其余元素均为零，记为A=diag（A11,A22,Ann）；单位阵：对角线元素全为1的对角阵，记为I；,矩阵的加法分解：任意方阵A都可以分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。,令：,关于转置和逆的计算规则:转置:逆:,正交矩阵：对于方阵A，若有A1AT，则称A是正交矩阵,坐标变化矩阵M是正交矩阵,对于方阵A，若存在着数和非零向量b，使,矩阵的特征值,成立，则称是方阵A的特征值，称b是A的特征向量。,求解方法：,特征方程：,在A的特征值求得后，将其代入特征方程，即得：,特征向量b就是上述齐次方程的非零解。,当A是对称矩阵时，有如下定理成立：A的特征值均为实数。对应于不同特征值的特征向量相互正交。若是特征方程的m重根，则相应的齐次方程一定存在着m个线性无关的非零解，并可由此而导出m个相互正交的特征向量。,注意这样得到的特征方向，一定有b(1)与p(2)正交，b(1)与p(3)正交。虽然p(2)与p(3)不一定正交，但两者构成基础解系的两个基，因而线性无关。这两个向量的线性组合的全体张成了与b(1)正交的平面（如图1.15），这个平面上的任意不重合的两个方向都可构成对应于2和3的主方向。如果要取三个两两正交的方向，那么，可根据b(1)和p(2)的方向将p(3)正交化。,Kronecker符号,正定矩阵：,若对于任意的非零向量b，恒有bTAb0，则称A为正定矩阵。可以证明，对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是A的所有特征值均为正数。,一种常用的计算技巧,第一，a、b和e的脚标一定是1、2、3的一个排列，也就是说，在同一项内，不会重复出现1、2、3中的任何一个数。第二，当a、b和e的脚标是123这个自然顺序的一个偶排列（即123，231，312）时，该项取正号。第三，当a、b和e的脚标是123这个自然顺序的一个奇排列（即132，213，321）时，该项取负号。,置换符号:,偶排列与奇排列：,123是偶排列；当一个排列从123开始交换相邻两个数的位置，若需要交换奇数次则该排列是奇排列，交换偶数次则是偶排列。,方法一：,方法二：,作业：P461.4，1.5，1.10,
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