《堆结构及其应用》PPT课件.ppt

常州市第一中学林厚从,堆结构及其应用,一、堆结构堆结构是一种数组对象，它可以被视为一棵完全二叉树，树中每个结点与数组中存放该结点中值的那个元素相对应，如下图：,左边的图（a）是一棵典型的完全二叉树，结点上方为编号，结点的值在圆圈当中。右边的图(b)是我们非常熟悉的一维数组，当又不是一般意义上的数组，因为这个数组存储了左边的二叉树结构。,常州市第一中学林厚从,堆结构及其应用,表示一个堆的数组具有以下一些属性：设数组A的长度为len，二叉树的结点个数为size，sizelen，则Ai存储二叉树中编号为i的结点值（1isize），而Asize以后的元素并不属于相应的堆，树的根为A1，并且利用完全二叉树的性质，我们很容易求第i个结点的父结点（parent(i)）、左孩子结点(left(i)、右孩子结点(right(i)的下标了,分别为：trunc(i/2)、2i、2i+1；,更重要的是，堆具有这样一个性质，对除根以外的每个结点i，Aparent(i)Ai。即除根结点以外，所有结点的值都不得超过其父结点的值，这样就推出，堆中的最大元素存放在根结点中，且每一结点的子树中的结点值都小于等于该结点的值，这种堆又称为“大根堆”；反之，对除根以外的每个结点i，Aparent(i)Ai的堆，称为“小根堆”。,常州市第一中学林厚从,堆结构及其应用,例1、合并果子（NOIP2004高中组第2题）【问题描述】fruit.?(pas,c,c+)在一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过n-1次合并之后，就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。例如有3种果子，数目依次为1，2，9。可以先将1、2堆合并，新堆数目为3，耗费体力为3。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为12，耗费体力为12。所以多多总共耗费体力=3+12=15。可以证明15为最小的体力耗费值。,常州市第一中学林厚从,堆结构及其应用,【输入文件】输入文件fruit.in包括两行，第一行是一个整数n（1=n=30000），表示果子的种类数。第二行包含n个整数，用空格分隔，第i个整数ai（1=ai=20000）是第i种果子的数目。【输出文件】输出文件fruit.out包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于231。【样例输入】3129【样例输出】15【数据规模】对于30%的数据，保证有n=1000；对于50%的数据，保证有n=5000；对于全部的数据，保证有nheapson)dobegintmp:=heapsondiv2;heapsondiv2:=heapson;heapson:=tmp;son:=sondiv2;end;end;,常州市第一中学林厚从,堆结构及其应用,functionget:longint;varfa,son,tmp:longint;stop:boolean;beginget:=heap1;heap1:=heaplen;len:=len-1;fa:=1;stop:=false;while(fa*2len)or(heapfa*2heapsonthenbegintmp:=heapfa;heapfa:=heapson;heapson:=tmp;fa:=son;endelsestop:=true;end;end;,常州市第一中学林厚从,堆结构及其应用,beginmainassign(input,fruit.in);reset(input);assign(output,fruit.out);rewrite(output);len:=0;readln(n);fori:=1tondo建堆beginread(tmp);put(tmp);end;ans:=0;fori:=1ton-1do取、统计、插入begina:=get;b:=get;ans:=ans+a+b;put(a+b);end;writeln(ans);close(input);close(output);end.,常州市第一中学林厚从,堆结构及其应用,下面介绍更为高效的算法：设置两个表A和B，其中表A放原n堆果子数，并按由小到大排列(注)；表B放新合并的果子数，因为后合并的果子数不会少于以前合并的果子数，所以新加入的数一定插在表B的尾部。每次合并分两步:(1)在A和B的头部取数（分3种情况aa、ab、bb);（2）合并后的新数加入B的尾部。整个合并的时间复杂度降为O(n)。注：因为n堆果子数20000，表A的排序可以用统计表来实现：a:array1.20000oflongint;ai为原n堆果子数是i的堆数，这样整个算法的时间复杂度为O(n),空间复杂度是O(20000)。,常州市第一中学林厚从,堆结构及其应用,二、堆排序问题例2、堆排序(heapsort.?)【问题描述】假设n个数存放在A1.n中，我们可以利用堆将它们从小到大进行排序，这种排序方法，称为“堆排序”。输入两行，第1行为n，第2行为n个整数，每个数之间用1个空格隔开。输出1行，为从小到大排好序的n个数，每个数之间也用1个空格隔开。,【问题分析】一种思路是完全按照上一个例题的方法去做，程序见heapsort1.pas；,二是考虑这样两个问题，一是如何构建一个初始（大根）堆？二是确定了最大值后（堆顶元素A1即为最大值），如何在剩下的n-1个数中，调整堆结构产生次大值？,常州市第一中学林厚从,堆结构及其应用,对于第一个问题，我们可以这样理解，首先所有叶结点（编号为trunc(N/2)+1到N）都各自成堆，我们只要从最后一个分支结点（编号为trunc(N/2)）开始，不断“调整”每个分支结点与孩子结点的值，使它们满足堆的要求，直到根结点为止，这样一定能确保根（堆顶元素）的值最大。“调整”的思想如下：即如果当前结点编号为i,则它的左孩子为2*i,右孩子2*i+1,首先比较Ai与MAX（A2*i，A2*i+1）；如果Ai大，说明以结点i为根的子树已经是堆，不用再调整。否则将结点i和左右孩子中值大的那个结点j互换位置，互换后可能破坏以j为根的堆，所以必须再比较Aj与MAX（A2*j，A2*j+1）,依此类推，直到父结点的值大于等于两个孩子或出现叶结点为止。这样，以i为根的子树就被调整成为一个堆。,常州市第一中学林厚从,堆结构及其应用,Procedureheap(Varr:arrtype；nn,ii:Integer)；一次操作，使r满足堆的性质，Varx,i,j:Integer；得到1个最大数在rii中Begini:=ii；x:=rii；把待调整的结点值暂存起来j:=2*ii；j存放i的孩子中值大的结点编号，开始时为i的左孩子编号Whilej=nnDo不断调整，使以i为根的二叉树满足堆的性质BeginIf(jnn)And(rjrj+1)Thenj:=j+1；若i有右孩子且值比左孩子大，则把j设为右孩子的编号IfxrjThenBeginri:=rj；i:=j；j:=2*iEnd若父结点比孩子结点小，则调整父结点和孩子结点中值大的那个结点，确保此处满足堆的性质Elsej:=nn+1；故意让j超出范围，终止循环End；ri:=x；调整到最终位置End；,常州市第一中学林厚从,堆结构及其应用,经过第一步骤建立好一个初始堆后，可以确定堆顶元素值最大，我们就把它（A1）与最后一个元素（AN）交换，然后再对A1.N-1进行调整，得到次大值与AN-1交换，如此下去，所有元素便有序存放了。主程序的框架如下，详细程序见heapsort2.pas：Constmax=100000；Typearrtype=Array1.maxOfInteger；Vara:arrtype；i,n,temp:Integer；Begin输入n和n个元素；Fori:=nDiv2Downto1Doheap(a,n,i)；建立初始堆，且产生最大值A1Fori:=nDownto2Do将当前最大值交换到最终位置上，再对前i-1个数调整Begintemp:=a1；a1:=ai；ai:=temp；heap(a,i-1,1)；End；输出；End.,常州市第一中学林厚从,堆结构及其应用,【小结】堆排序在数据较少时并不值得提倡，但数据量很大时，效率就会很高。因为其运算的时间主要消耗在建立初始堆和调整过程中，堆排序的时间复杂度为O（nlog2n），而且堆排序只需一个供交换用的辅助单元空间，是一种不稳定的排序方法。,常州市第一中学林厚从,堆结构及其应用,例3、鱼塘钓鱼（fishing）,【问题分析】算法1：我们可以这样想：如果知道了取到最大值的情况下，人最后在第i个鱼塘里钓鱼，那么用在路上的时间是固定的，因为我们不会先跑到第i个鱼塘里钓一分钟后再返回前面的鱼塘钓鱼，这样把时间浪费在路上显然不划算，再说在你没到某个鱼塘里去钓鱼之前，这个塘里的鱼也不会跑掉（即数量不会减少）。所以这时我们是按照从左往右的顺序钓鱼的，也可以看成路上是不需要时间的，即人可以自由在1i个鱼塘之间来回走，只要尽可能选取钓到的鱼多的地方就可以了，这就是我们的贪心思想。其实，这个贪心思想并不是模拟钓鱼的过程，只是统计出在各个鱼塘钓鱼的次数。程序实现时，只要分别枚举钓鱼的终点鱼塘（从鱼塘1到鱼塘n），每次按照上述贪心思想确定在哪些鱼塘里钓鱼，经过n次后确定后最终得到的一定是最优方案。具体实现请看下面的参考程序fishing1。,常州市第一中学林厚从,堆结构及其应用,算法2：其实，这道题是考虑最优性问题的，所以我们也可以用动态规划来解决，假设用Opt(t,n)来表示第t分钟时，人在第n个鱼塘里钓鱼，最多所能钓到的鱼数。则：Opt(t,n)=MaxinumOpt(t-k,n-1)+S；穷举k，S为t-k+1到t之间，除去从第n-1的鱼塘走到第n个鱼塘的时间，在第n个鱼塘中可以钓到的鱼数，。具体实现请看下面的参考程序fishing2。,算法3：建立以fish为关键字的大根堆，包括能钓到鱼的数量和池塘的编号。然后借助枚举创造条件，实现复杂度为O（m*nlogn）的算法。具体实现请看下面的参考程序fishing3。,