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,欢迎进入数学课堂,2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系,1.了解空间两条直线的位置关系.2.理解并掌握公理4,等角定理,初步学会应用它们来证明简单的几何问题.3.了解异面直线所成的角,会用图形表示两条异面直线.4.用平移法求两条异面直线所成的角,初步体会把空间问题转化为平面问题的数学思想.,1.空间两条直线的位置关系:_.2.平行公理(公理4):平行于同一条直线的两条直线_.可用符号表示为_.3.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应_,那么这两个角_.4.不同在_一个平面内的两条直线叫做异面直线.,相交,平行,异面,互相平行,若ab,bc,则ac,平行,相等或互补,任何,5.直线a,b是异面直线,经过空间任一点O作直线ab,使_,_,我们把直线a与b所成的_,叫做异面直线a与b所成的角.其范围是_.当异面直线ab所成角为_时,就说异面直线互相垂直,记作_.,aa,bb,锐角或直角,直角,ab,1.不要将平面几何定理随意搬用于空间课本在本节中介绍公理4之前引用了平面几何中的相应命题:“在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.”这种“平行的传递性”在空间也是成立的.又如,在平面几何中,顺次连结四边形各边的中点,可以得到一个平行四边形;同样,顺次连结空间四边形各边的中点,也可以得到一个平行四边形.从上面的这些例子可以看出,有些平面几何的定理可以推广到空间图形中来,这种方法叫类比法,类比法是人类发现真理的一种重要方法.但类比法稍不注意有时就会出差错.,例如,在平面几何中,两条直线不相交就平行,而在空间可能是两条异面直线.又如“在平面几何中,垂直于同一直线的两直线互相平行”,而在空间,垂直于同一条直线的两条直线或是平行直线,或是相交直线,或是异面直线.一般来说,要把关于平面图形的结论推广到空间图形,必须经过证明,绝不能单凭自己的主观猜测.,2.如何理解异面直线所成的角由于两异面直线不在同一平面内,因此采用过空间任一点O,分别作两条异面直线的平行线,就形成了一组相交直线所成的角,由等角定理知,两条异面直线所成的角,只与两直线的相对位置有关,而与点O位置的选择无关,正因如此,在具体找角时,点O往往可以在两条异面直线中的一条上选取,这是研究异面直线所成的角时经常采用的方法.,3.如何求异面直线所成的角求两异面直线所成的角的一般步骤:(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角;(2)证:证明作出的角就是要求的角;(3)计算:求角的值,常利用解三角形.可用“一作”“二证”“三计算”来概括.平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角,要注意识别这种情况.在初中只学习了解直角三角形,而两异面直线所成角一般是放在斜三角形中,因此受到解三角形的限制,在本章中仅仅知道两异面直线所成角即可,不必在此过多纠缠,将来会在选修中学习两异面直线所成角的求法.,题型一平行公理的应用例1:已知正方体ABCDA1B1C1D1,EF分别为AA1CC1的中点,求证:BFD1E是平行四边形.分析:因为平行四边形是平面图形,只要证明一组对边平行且相等,或证两组对边分别平行即可.,证明:如图所示,取BB1的中点G,连结GC1,GE.F为CC1的中点,BGFC1.四边形BFC1G是平行四边形,BFGC1.又EGA1B1,A1B1C1D1,EGC1D1,四边形EGC1D1是平行四边形.ED1GC1.BFED1.四边形BFD1E是平行四边形.,规律技巧:空间几何问题,常转化为平面几何问题来作答,正方体作为一种典型的立体几何模型,常是解答立体几何问题的有效工具.,变式训练1:如图,已知在四面体ABCD中,ACBD,EFGH分别是棱ABBCCDDA的中点.求证:四边形EFGH是矩形.,证明:EF是ABC的中位线,EFAC,且同理,GHAC,且.GHEF,且GH=EF,四边形EFGH是平行四边形.又EFAC,FGBD,而ACBD.EFFG,四边形EFGH是矩形.,题型二等角定理的应用,例2:已知EE1分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱ADA1D1的中点.求证:BEC=B1E1C1.分析:解答本题要先证明角的两边分别平行,然后应用等角定理得出结论.,证明:如图,连接EE1.E1E分别为A1D1,AD的中点,A1E1AE.A1E1EA为平行四边形,A1AE1E.又A1AB1B,E1EB1B,四边形E1EBB1是平行四边形.E1B1EB,同理E1C1EC.又C1E1B1与CEB方向相同,C1E1B1=CEB.,规律技巧:证明角的相等问题,等角定理及其推论是较常用的方法.另外,通过证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明,如本例还可通过证明B1C1E1与BCE全等来证明角相等.,变式训练2:填空:(1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角_.(2)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相反,则这两个角_.(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,其中一组方向相同,另一组方向相反,那么这两个角_.(4)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组相交直线所成的角_.,相等,相等,互补,相等或互补,题型三异面直线所成的角例3:如图所示,A点是BCD所在平面外一点,AD=BC,EF分别是ABCD的中点,当时,求异面直线AD和BC所成的角.,解:如图,设G为AC的中点,连结EGFG.E,F分别为ABCD的中点,EGBC,且BC;FGAD,且又AD=BC,EG与GF所成的锐角(或直角)即为AD与CB所成的角.在EFG中,由于,又,EG2+FG2=EF2,即EGFG.EGF=90.故AD与BC所成角为90.,规律技巧:求异面直线所成的角,通常把异面直线平移到同一个三角形中去,通过解三角形求得,但要注意异面直线所成角的范围是,变式训练3:空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30角,EF分别是BCAD的中点,求EF与AB所成的角.变式训练3:空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30角,EF分别是BCAD的中点,求EF与AB所成的角.,解:如下图所示,取BD的中点G,连结EG,FG,EF分别是BCAD的中点,EGCD,GFAB,且EGF(或其补角)为直线AB与CD所成的角.EGF=30.又AB=CD,EG=GF.在等腰三角形EGF中,EFG=75即为EF与AB所成的角.EF与AB所成角为75.,易错探究,例4:分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.相交或异面错解:C,错因分析:本题中没有限制交点的个数,因此应分两种情况解答.当有四个交点时,这两条直线异面;当有三个交点时,这两条直线相交,如下图所示.错解中只考虑了有四个交点的情形.,正解:D,基础强化1.若AOB=A1O1B1,且OAO1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是()A.OBO1B1且方向相同B.OBO1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行解析:可借见长方体找出反例.答案:D,2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线BD异面且成60角的面对角线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:画图易知,它们是AD1AB1,CB1,CD1共四条.答案:D,3.“a,b是异面直线”是指:ab=,且ab;a平面,b平面,且ab=;a平面,b平面,且=;a平面,b平面;不存在平面,使a,且b成立.上述说法中(),A.正确B.正确C.正确D.正确解析:说法等价于a与b既不相交,又不平行,所以a与b为异面直线.正确,说法等价于a与b不同在任何一个平面内,即ab异面,正确.答案:D,4.一条直线和两条异面直线的一条平行,则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交答案:B,5.在空间,下列命题中正确的个数为()有两组对边相等的四边形是平行四边形;四边相等的四边形是菱形;平行于同一条直线的两条直线平行;有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等.,A.1B.2C.3D.4解析:不正确,正确.因此选B.答案:B,6.右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,BM与ED平行;CN与BE是异面直线;CN与BM成60角;DM与BN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是(),A.B.C.D.解析:把展开图还原为正方体便知,正确.答案:C,7.设a,b,c表示直线,给出四个论断:ab;bc;ac;ac.以其中任意两个为条件,另外的某一个为结论,写出你认为正确的一个命题_.,8.如图所示,MN分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1B1C1的中点.(1)则MN与CD1所成角为._(2)则MN与AD所成的角为._,60,45,解析:(1)由图易知,MNAD1,ACD1构成正三角形.AD1与CD1成60角,MN与CD1成60角.(2)AD1与AD成45角,而MNAD1,MN与AD成45角.,能力提升,9.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,EF分别是ABCD的中点.若求ADBC所成的角.,解:取BD的中点H,连结EHFH,因为E是AB的中点,且AD=2,EHAD,EH=1.同理FHBC,FH=1,EHF是异面直线ADBC所成的角,又因为EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,EHF=90,即ADBC所成的角是90.,10.如图,直线a,b是异面直线,ABC为直线a上三点,DEF是直线b上三点,ABCDE分别为ADDBBEECCF的中点.,求证:(1)ABC=CDE;(2)ABCDE共面.,证明:(1)AB是ADDB的中点ABC的两边和CDE的两边平行且方向相同ABC=CDE,(2),都经过点B,C,Da,b异面B,C,D三点不共线过B,C,D有且只有一个平面平面,重合ABCDE共面.,11.(重庆高考)对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线m,使m与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线解析:当l时,A不成立,当l时,B不成立,当l时,D不成立,因此选C.答案:C,12.若P是两条异面直线l,m外任意一点,则()A.过点P有且只有一条直线与lm都平行B.过点P有且只有一条直线与lm都垂直C.过点P有且只有一条直线与lm都相交D.过点P有且只有一条直线与lm都异面解析:A不成立.若直线n过点P,且nl,nm,则有lm矛盾.B正确.在直线l上取一点O,过O作mm,则l与m确定一个平面,过点P可以做一条直线垂直平面,则这条直线也垂直l和m.C不正确.D不正确.可以有多条.答案:B,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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