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,欢迎进入数学课堂,1.1.1算法的概念,算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。,我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次函数图象的画法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。,一、算法的概念,算法(algorithm)一词源于算术(algorism),即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。,广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。,例1“一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？”,解：算术方法：如果没有小兔，那么小鸡应为17只，总的腿数应为217=34条，但现在有48条腿，造成腿的数目不够是由于小兔的数目为0，每有一只小兔便会增加两条腿，故应有(48172)2=7只小兔。相应的，小鸡有10只。,代数方法：设有x只小鸡，y只小兔.则,将第一个方程的两边同乘以2加到第二个方程中去，得到,解第二个方程得y=7.,把y代入到第一个方程得x=10.,思考1教材中例1是著名的“鸡兔同笼”问题，其中第一种解法是算术方法，教材中对它的评价是“简单直观，却包含着深刻的算法思想”，那么它是如何体现算法的思想呢？,S1假设没有小兔，则小鸡应为n只；S2计算总腿数为2n只；S3计算实际总腿数与假设总腿数的差值为m2n；,S4计算小兔只数为;,S5小鸡的只数为n.,思考2教材中例1的第二种解法是列方程组的方法，它是否也是一种算法呢？探究：是的，其算法步骤为：,S1设未知数；S2根据题意列方程组；S3解方程组；S4还原实际问题，得到实际问题的答案。,在实际中，很多问题可以归结为求解二元一次方程组，下面我们用消元法来解一般的二元一次方程组,S1假定a110，a11a21得,S2如果a11a22a12a210，则执行下步；否则执行S6,S3两边同除以a11a22a12a210得,S4代入.得,S5输出结果x1，x2，,S6若a11b2a21b10.则执行下一步；否则执行S8,S7输出“方程组无解”.,S8输出“方程组有无穷多个解”,以上解二元一次方程组的方法，叫做高斯消去法,二、算法的特点,不论在哪一种算法中，它们都是经有限次步骤完成的，因而它们体现了算法的有穷性。,在算法中，每一步都能明确地执行，且有确定的结果，因此具有确定性。,在所有算法中，每一步操作都是可以执行的，也就是具有可行性。,为了便于计算机运算，它们必须先输入已知数据，而计算的目的分别是解方程组和求最大值等，因此必须输出结果，也就是必须有输入和输出。,算法解决的都是一类问题（分别是解决求方程组的解和确定一个有理整数序列中的最大值问题），因此具有普适性。,体验：写出解方程x22x3=0的一个算法.,配方法：S1移项，得x22x=3S2式两边同加1并配方得(x1)2=4S3式两边开方，得x1=2S4解式得x=3或x=1,因式分解法：S1将方程左边因式分解得(x3)(x+1)=0S2由得x3=0或x+1=0S3解得x=3或x1,公式法：S1计算方程的判别式，判断其符号=(2)24(3)0；S2将a=1，b=2，c=3代入求根公式，得x=3或x=1,例2写出一个求有限整数列中的最大值的算法。,解：算法如下：S1先假定序列中的第一个整数为“最大值”;S2将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数；S3如果序列中还有其他整数，重复S2;S4在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。,如果让你去找，你可能不会这样做，可能认为，这样太机械、太枯燥。不要忘了，我们写的是算法。算法要求按部就班地做，每一步都有唯一的结果，又要求写出的算法对任意整数序列都适用，总能得到结果。所以上面写的，符合算法的要求。,下面我们用数学语言，写出对任意3个整数a，b，c求出最大值的算法。,S1max=aS2如果bmax,则max=b.S3如果Cmax,则max=c.S4max就是a,b,c中的最大值。,例3写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。,解：算法1：S1计算1+2得到3；S2将第一步中的运算结果3与3相加得到6S3将第二步中的运算结果6与4相加得到10S4将第三步中的运算结果10与5相加得到15S5将第四步中的运算结果15与6相加得到21,算法2：S1：取n=6；S2：计算S3：输出运算结果。,算法3：S1将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=37；S2计算37；S3输出运算结果。,例4.求1357911的值，写出其算法。,算法1；第一步，先求13，得到结果3；第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；第三步，再将15乘以7，得到结果105；第四步，再将105乘以9，得到945；第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。,算法2：用P表示被乘数，i表示乘数。S1使P=1;S2使i=3;S3使P=Pi；S4使i=i+2；S5若i11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。,由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句可以在很短的时间内完成。对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。,例6.利用二分法求函数y=f(x)(x在定义区间D)上的一个变号零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过正数，即使|xx0|，写出它的一个算法.,S1在D内取一个闭区间a，b，使f(a)与f(b)异号，即f(a)f(b)0；S2令x0=，计算f(x0)；,S3若f(x0)=0，则x0就是y=f(x)的零点；若f(x0)与f(a)异号，则a=a，b=x0，否则a=x0，b=b；S4判断|ab|是否成立，若成立，则区间a，b内任意实数都是x0的近似值；否则，返回S2，直到不等式|ab|2x+4；求M(1，2)与N(3，5)两点连线的方程可先求MN的斜率再利用点斜式方程求得A.1个B.2个C.3个D.4个,C,6写出求123100的一个算法.可以运用公式123n直接计算.第一步；第二步；第三步输出运算结果.,取n100,计算,7已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步取A89，B96，C99;第二步；第三步；第四步输出D，E.,计算总分DA+B+C,计算平均成绩E,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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